PROBABILITÉS 1. Expérience aléatoire A) Trois exemples

PROBABILITÉS 1. Expérience aléatoire A) Trois exemples Expérience A On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 3 boules rouges et 1 boule noire. Quelle est la couleur de la boule ? Deux résultats sont possibles : rouge ou noire On ne sait pas lequel des deux résultats on va obtenir. Expérience B On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 4 boules rouges. Quelle est la couleur de la boule ? Un seul résultat possible : on tire une boule rouge. Expérience C On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 4 boules de couleurs différentes. Quelle est la couleur de la boule ? Quatre résultats sont possibles mais on ne sait pas lesquels. Seule, l’expérience A est appelée une expérience aléatoire B) Définition Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle vérifie les trois conditions suivantes : — elle conduit à plusieurs résultats possibles. — on peut décrire tous ces résultats — on ne peut pas savoir d’avance le résultat qu’on va obtenir. Chacun des résultats s'appelle un événement de l'expérience aléatoire. 2. Evénement A) Exemple On jette un dé à 6 faces. " obtenir le chiffre 2 " est un événement. " Obtenir un chiffre pair " est réalisé dans trois cas : obtenir le 2 ou le 4 ou le 6. « Obtenir un chiffre pair » est aussi un événement. ( ensemble de trois possibilités ). B) Définition Dans une expérience aléatoire, un événement est un ensemble de un ou plusieurs résultats possibles. 3. Probabilité A) Exemple 1 On jette un dé ( non truqué ) à 6 faces. La probabilité d’obtenir le 6 est de 1/6 ( 1 chance sur 6 ) La probabilité d’obtenir un chiffre pair est de 3/6 ou 1/2. ( 1 chance sur 2 )

B) Exemple 2 Expérience A : on tire une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 1 boule noire. La probabilité de tirer une boule rouge est de 3/4. C) Définition Dans une expérience aléatoire, la probabilité d’un événement est le quotient qui exprime « la chance » que cet événement a de se réaliser. D) Remarques 1. La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1. 2. La somme des probabilités de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est égale à 1. Exemple de l’expérience A Probabilité de tirer une boule rouge : 3/4 Probabilité de tirer une boule noire : 1/4 3/4 + 1/4 = 1 4. Calculer une probabilité A) Exemple On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit l’événement A « tirer un as ». Quelle est la probabilité de A ? Chaque carte du jeu a la même probabilité d'être tirée. Il y a 4 as dans le jeu donc on a 4 chances sur 32 de tirer un as. 4 1 p(A) = = 32 8 B) Procédé Quand les résultats possibles d’une expérience aléatoire ont tous la même probabilité € € alors la probabilité d’un événement A est donné par le quotient nombre de résultats favorables à l′événement A p(A) = nombre total de résultats possibles C) Evénement contraire € On a 10 cartons numérotés de 1 à 10. On tire un carton au hasard. Soit l’événement A : « tirer un nombre premier » L’événement contraire de A est l’événement B : « tirer un nombre non premier » 4 2 p(A) = = ( 4 nombres sont premiers : 2 / 3 / 5 / 7 ) 10 5 donc

p(B) = 1 – €

€

€ 3 p(B) = 5 €

2 5

L’événement contraire d’un événement A se note A . Donc p( A ) = 1 – p(A) € €

5. Probabilité et fréquence

A) Exemple Dans une urne, il y a 5 boules, les unes noires et les autres blanches. On tire une boule. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? Solution On ne connaît pas le nombre de boules blanches donc on ne peut pas calculer cette probabilité comme dans les exemples précédents. Idée : on teste un très grand nombre de fois l’expérience et on regarde la fréquence du tirage d’une boule blanche . Cette fréquence est . . . . . . . . . On compte ensuite les boules blanches. Il y en a 2. Donc la probabilité de tirer une boule blanche est 2/5 = 0,4. C’est à peu près la fréquence obtenue. Conclusion Si on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d’un événement est un nombre qui se rapproche de la probabilité de cet événement.

6. Expérience à deux épreuves Expérience A ( expérience à une seule épreuve ) On lance 1 pièce de monnaie. Quelle est la probabilité d’obtenir pile » ? Deux résultats possibles : F ou P Donc la probabilité de tirer P est 1/2. Expérience B ( expérience à deux épreuves ) On lance deux pièces de monnaie. Quelle est la probabilité d’obtenir pile et face ? Quatre résultats sont possibles. On utilise « un arbre » 1ère pièce P F

2ème pièce

Résultat

P

P-P

F

P-F

P

F-P

F

F-F

Donc, 4 résultats sont possibles et deux résultats conviennent : P - F et F - P La probabilité d’obtenir pile et face est donc de 2/4 ou 1/2.