Probabilités

Probabilités

Table des matières 1

q.c.m préliminaire 1.1 énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 5

2

loi des grands nombres 2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7

3

probabilité 3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 11 13

4

probabilités et 4.1 activité . 4.2 à retenir 4.3 exercices

opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 16 18 20

5

probabilités et 5.1 activité . 5.2 à retenir 5.3 exercices

expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

évaluations

sur les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 25 26 27

1 1.1

q.c.m préliminaire énoncé
   

         


 

 
 




    


  

 
  





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1.2

réponses question

résultat 1 2 1 p(1) = 6 1 p(2) = 6

1

p(pile) =

2 3 4

p(P air) = p(2) + p(4) + p(6) = 0, 68 4 32 8 p(Coeur) = 32

5

7

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

p(Roi et coeur) =

1 32

4 8 1 11 + − = 32 32 32 32 4 32 4 28 p(Roi) = 1 − = − = 32 32 32 32 17 p(F ille) = 32 25 p(Droitier) = 30 15 p(F illeetDroitier) = 30 27 17 25 15 + − = p(F illeouDroitier) = 30 30 30 30 2 pGaucher (F ille) = 5 2 pF ille (Gaucher) = 17 4 p(2 vertes) = 9 1 p(2 rouges) = 9 2 p(2 vertes) = 6 p(Roi ou coeur) =

19

p(2 rouges) = 0

20

p(2 six) =

1 36

V1

V1

V2

arbre 2

R1 V1

V1



V1 V2 R1 V1

V2 R1



nombre de nombre nombre de nombre nombre de nombre

cas f avorables de cas total cas f avorables de cas total cas f avorables de cas total

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)





p(A = 1 − p(A)



nombre de nombre nombre de nombre nombre de nombre

R1

V2









cas f avorables de cas total cas f avorables de cas total cas f avorables de cas total

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) nombre de cas f avorables nombre de cas total nombre de cas f avorables nombre de cas total  nombre de cas f avorables arbre1
et nombre de cas total nombre de cas f avorables arbre1 et nombre de cas total nombre de cas f avorables arbre2 et nombre de cas total nombre de cas f avorables arbre2 et nombre de cas total nombre de cas f avorables arbre3 et nombre de cas total

1 2 3 4 5 6

V2 R1

V2 R1 V1

R1

somme des probabilit´ es des cas f avorables

arbre 3

arbre 1

V2



p(Roi) =

6

8

méthode  nombre de cas f avorables

nombre de cas total nombre de cas f avorables nombre de cas total nombre de cas f avorables nombre de cas total 

1 2 3 4 5 6 b

b

b

 

2

loi des grands nombres

2.1

activité 
          




 




 


 

 
  

 

     

       


  
  
  
  
  
  
  
 
 
 

         

         

         

         

         

         

         

         

         

  

 






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2.2

à retenir définition 1 : (expérience aléatoire et univers)  on connaît tous les résultats qui peuvent arriver (1) Une expérience est aléatoire si : on ne connaît pas le résultat qui va arriver (2) L’ensemble U des "résultats" possibles est appelé "l’univers" de l’expérience aléatoire Exemples : a. lancer d’une pièce : U = {P ; F } b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur; ...; 7 de pique} d. jouer au loto (7 nombres différents de 1 à 49) : U = {(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7); (1; 2; 3; 4; 5; 6; 8); ...; (43; 44; 45; 46; 47; 48; 49)} Remarques : a. chaque résultat est aussi appelé "issue", "événement élémentaire" ou "éventualité" b. l’univers est aussi noté Ω (grand oméga) c. à notre niveau, l’univers U aura toujours un nombre n entier et fini d’éléments on pourra alors noter U = {x1 ; x2 ; ...; xn }

propriété 1 : (loi des grands nombres) Etant donnée une expérience aléatoire d’univers U = {x1 ; x2 ; ...xn } On répète k fois cette expérience aléatoire Soit fk (xi ) la  proportion de fois où l’on obtient le résultat xi ∈ U parmi les k expériences nombre de f ois o` u on obtient xi c’est à dire : fk (xi ) = nombre d ´ exp´ eriences 

Quel que soit xi ∈ U : 

plus k est grand et 

  (1) plus fk (xi ) se rapproche d’une certaine valeur pi 

(2) plus les "fluctuations" des valeurs de fk (xi ) sont petites

 

Remarques : a. Plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois et plus la fréquence d’apparition du résultat auquel on s’intéresse se rapproche d’une certaine valeur Exemples : a. pièce équilibrée : fk (P ) se rapproche de 0,5 = 50% quand k grandit 1 b. dé à six faces équilibré : fk (1) se rapproche de ≃ 16, 7% quand k 6 4 ≃ 12, 5% quand k grandit c. jeu de 32 cartes : fk (Roi) se rapproche de 32

g

activité (a) le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

i

i. donner l’univers U des résultats possibles

e

h

activité 1

j

5

c

d

1

ii. donner la valeur de la probabilité de chacun des résultats possibles (p(a) = ...)

2

k

iii. on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon le grand secteur

b

3.1

probabilité f

3

l

a

A. donner la probabilité p(R = 5) de recevoir 5 euros puis p(R = 1) et p(R = 2) B. déterminer les probabilités p(R ≥ 2) et p(R < 2) et interpréter les résultats (b) on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs i. combien y a t-il de résultats possibles ? (penser à un arbre de dénombrement) ii. combien y a t-il de cas où l’on reçoit 10 euros au total ? iii. en déduire la probabilité de recevoir 10 euros au total iv. quelle est la probabilité de recevoir 2 euros au total ? (c) en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 euros, le "gain" du jeu est alors X = R − 2 ( par exemple : X = 5 − 2 = 3) i. compléter le tableau suivant somme reçu : R gain du jeu : X

total total

5 3

probabilité ii. quelle est la probabilité p(X > 0) de gagner de l’argent à ce jeu ? iii. quelle est la probabilité p(X < 0) de perdre de l’argent ? iv. calculer le gain moyen de faisant la moyenne des gains avec pour coefficients les probabilités v. ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou de l’organisateur ? (d) dans le cas où l’on fait tourner la roue 2 fois de suite i. quelle est la probabilité d’avoir un gain total nul ii. quelle est la probabilité d’avoir un gain total strictement négatif ? activité 2 pour ce dé à 6 faces non équilibré : résultat : X probabilité

1 0, 1

calculer : A. p(Xpair) B. p(X ≥ 3) C. p(X < 3)

2 0, 1

3 0, 2

4 0, 3

5 0, 25

6 0, 05

total 1

f

g

corrigé activité



A. p(R = 5) =







d 2

k

1 ii. p(a) = p(b) = p(c) = ... = p(k) = p(l) = 12

iii. on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon le grand secteur 

c



j

 



1

b



i. U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l}

5

i

(a) le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

e

h

corrigé activité 1

l



a

1 1 3 4 5 = = p(R = 1) = p(R = 2) = 12 4

12 3

12 

8 2 B. p(R ≥ 2) = = la probabilité de gagner au moins 2 euros est de ≃ 67% 12 3

  1 p(R < 2) = p(R = 1) = 3

la probabilité de gagner strictement moins de 2 euros est de ≃ 33% (b) on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs 



i. il y a 12 × 12 = 144 résultats possibles (voir l’arbre partiel ci dessous)   a b c d(5) e(5) f (5) b g c h d(5) i e(5) j a f (5) k g l h i j k l   ii. nombre de cas où l’on reçoit 10 euros (5 puis 5) au total : 3 × 3 = 9 cas  b b b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b b b b





9 iii. probabilité de recevoir 10 euros au total : = 6, 25% 144

  16 4×4 = ≃ 11, 1% iv. probabilité de recevoir 2 euros (1 puis 1) au total : 144

144 (c) en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 euros, le "gain" du jeu est alors X = R − 2 ( par exemple : X = 5 − 2 = 3) i.

somme reçu : R gain du jeu : X 

probabilité

1 −1 4 12

2 0 5 12



3 ii. p(X > 0) = p(X = 3) = 12

  4 iii. p(X < 0) = p(X = 1) = 12

5 3 3 12

total total 12 12

iv. gain moyen = 

  5 3 11 4 × (−1) + ×0+ ×5= ≃ 0, 92 euros   12 12 12 12

v. ce jeu est à l’avantage du joueur car le gain moyen est positif. (0,92 > 0) 

(d) dans le cas où l’on fait tourner la roue 2 fois de suite 







5×5 25 i. probabilité d’avoir un gain total nul : p(double 2) = = ≃ 17, 3% 144 144



ii. probabilité d’avoir un gain total strictement négatif :   56 4×4+4×5+5×4 = ≃ 39% p(”double 1” ou ”1 puis 2”ou ”2 puis 1”) = 144 144



corrigé activité 2 pour ce dé à 6 faces non équilibré : résultat : X probabilité

1 0, 1

2 0, 1

3 0, 2

4 0, 3

5 0, 25

6 0, 05

total 1

calculer :





A. p(Xpair) = p(X = 2) + p(X = 4) + p(X = 6) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 05 = 0, 45 = 45%  B. p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) +  p(X= 6) p(X ≥ 3) = 0, 2 + 0, 3 + 0, 25 + 0, 05 = 0, 8 = 80% 





C. p(X < 3) = p(X = 1) + p(X = 2) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2 = 20% 

3.2

à retenir définition 2 : (probabilité et événement élémentaire ) Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Une probabilité p définie sur U est une fonction de U vers [0; 1] qui p(xi ) compris entre 0 et 1 et telle que :   à chaque xi associe un nombre p(x1 ) + p(x2 ) + ... + p(xn ) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1) 



Remarques : a. le nombre p(xi ) compris entre 0 et 1 est appelé la "probabilité" de xi b. La somme des probabilités des éléments de U est égale à 1 Exemples : a. lancer d’une pièce équilibrée : b. pièce non équilibrée :

résultat probabilité

résultat probabilité

P 0, 3

F 0, 7

F total 1 1 2 total 1

1 2 3 4 1 1 1 1 probabilité 6 6 6 6 résultat 1 2 d. dé à 6 faces non équilibré : probabilité 0, 1 0, 1 c. dé à 6 faces équilibré :

résultat

P 1 2

5 6 total 1 1 1 6 6 3 4 5 0, 2 0, 3 0, 25

6 0, 05

total 1

définition 3 : (probabilité et événement quelconque ) Soit un l’univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } sur lequel est défini une probabilité p Soit A une partie de U  • Si A 6= ∅ est constituée des issues xi1 ; ...; xik (A = {xi1 ; ...;xik })        alors la probabilité de A est le nombre noté p(A) avec : p(A) = p(xi1 ) + ... + p(xik )  (p(A) est la somme des issues qui constituent A)           • Si A = ∅ alors p(A) = 0 on dit que A est un événement "impossible" 

Remarque : 





si p(A) = 1 on dit que A est un événement "certain" 



propriété 2 : (cas de l’équiprobabilité) Soit l’univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } constitué de n > 0 issues et p une probabilité   1 (1) Si p(x1 ) = p(x2 ) = ... = p(xn ) = alors on dit qu’il y a "équiprobabilité" n

(toutes les éventualités ont la même probabilité) (2) Soit A une de U constituée des k événements élémentaires xi1 ; ...; xik  partie   k nombre de cas f avorables pour A on alors p(A) = ou encore p(A) = n nombre de cas au total





Exemples : i. dé à 6 faces équilibré :

résultat : X probabilité

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

total 1

p(Xpair) = ... p(X ≥ 3) = ... p(X < 3) = ... ii. dé à 6 faces non équilibré :

p(Xpair) = ... p(X ≥ 3) = ... p(X < 3) = ...

résultat : X probabilité

1 0, 1

2 0, 1

3 0, 2

4 0, 3

5 0, 25

6 0, 05

total 1

3.3

exercices exercice 1 : le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

2e

5e

on reçoit le nombre d’euros indiqué 0e

(a) donner les probabilités suivantes i. p(R = 0), p(R = 2) et p(R = 5) de recevoir respectivement 0e, 2e et 5e, ii. p(R > 0) (interpréter le résultat par une phrase) iii. p(R < 5) (interpréter le résultat par une phrase)

(b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités ? (c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou de l’organisateur ? exercice 2 : une pièce de monnaie est truquée

3 21 donner la valeur exacte de p(f ace) ainsi que cette valeur en % à 1% près par excès si 5 la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) =

exercice 3 : un dé à 6 faces est tel que score S : 1 2 3 probabilité 0,1 0,05 0,15

4 0,02

5 0,28

6

total

i. compléter les deux cases vides et préciser si le dé est truqué ou non ii. calculer les probabilités suivantes A. p(P air) (probabilité que le score S soit Pair) B. p(S ≥ 3) C. p(S ≥ 3) exercice 4 : Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac. i. Le contenu des sacs est le suivant : Sac d’Ali :

Sac de Bernard :

Sac de Claude :

5 billes rouges

10 billes rouges et 30 billes noires

100 billes rouges et 3 billes noires

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ? ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d’Aline ?

exercice 5 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Garçon 140 410 150 700

Seconde Première Terminale total

Fille 20 90 190 300

Total 160 500 340 1000

(a) on choisit au hasard un des élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. i. A : l’élève est une fille ii. B : l’élève est en première iii. C : l’élève est un garçon et est en terminale iv. E : l’élève n’est pas en première (b)

i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ? ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

exercice 6 : Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2. 1

2

3

1

1 2

Question Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ? Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux point ? Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?

A 2 3 1 4 1 3 2 6 5 6

B 6 4 1 6 2 4 1 2 1 6

C 4 1 3 3 6 2 3 1 6

exercice 7 : Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets. – 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. – 12 permettent de gagner une grosse peluche. – 36 permettent de gagner une petite peluche. – 68 permettent de gagner un porte-clés. – Les autres billets sont des billets perdants. Quelle est la probabilité pour un participant : (a) de gagner un lecteur MP3 ? (b) de gagner une peluche (grande ou petite) ? (c) de gagner quelque chose ? (d) de ne rien gagner ?

exercice 8 : Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11e fois. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au 11e lancer ? exercice 9 : Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous. 7 6 5 4 3 2 1 0

chien

chat

dauphin perroquet araignée

lion

On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes : (a) p(chat) (la probabilité que l’élève ait un chat pour animal préféré) (b) p(félin) (c) p(4 pattes)

4 4.1

probabilités et opérations sur les événements activité activité 1 Un groupe de 10 amis dont on ne connaît que les initiales des prénoms est tel que : • a, b, c, d et e pratiquent un sport • d, e, f et g jouent d’un instrument de musique • h , i et j ne font ni l’un ni l’autre représenter cette situation par un schéma à bulle appeler M l’ensemble des "musiciens", S celui des "sportifs" i. on choisit une de ces personnes au hasard A. quelle est la probabilité p(M ) qu’elle soit musicienne ? B. quelle est la probabilité p(S) qu’elle soit sportive ? C. quelle est la probabilité p(S ∩ M ) qu’elle soit sportive et musicienne ? D. quelle est la probabilité p(S ∪ M ) qu’elle soit sportive ou musicienne ? (donner 2 méthodes dont une à partir des trois résultats précédents ) E. quelle est la probabilité p(S) qu’elle ne soit pas sportive ? (donner deux méthodes) F. quelle est la probabilité p(M ) qu’elle ne soit pas musicienne ? (donner deux méthodes) G. quelle est la probabilité p(S ∩ M ) ? (donner la phrase d’interprétation) H. quelle est la probabilité p(S ∪ M ) ? (donner la phrase d’interprétation) activité 2 on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée

Seconde Première Terminale total

Garçon 280 820 300 1400

Fille 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

(a) on choisit au hasard un des 2000 élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. i. A : l’élève est une fille ii. B : l’élève est en première iii. C : l’élève est un garçon et est en terminale iv. D : l’élève est un garçon ou est en terminale v. E : l’élève n’est pas en première (b)

i. définir l’événement A ∩ B par une phrase et donner sa probabilité à 1% près ii. définir l’événement A ∪ B par une phrase et donner sa probabilité à 1% près iii. définir l’événement A par une phrase et donner sa probabilité

(c)

i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ? ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

corrigé activité activité 1 A

i. on choisit une de ces personnes au hasard  4 A. p(M ) = = 40% 10



•i M S





5 B. p(S) = = 50% 10

  2 = 20% C. p(S ∩ M ) = 10



D. p(S ∪ M ) =



•c •a

•d

•f

•b

•e

•g

•h



7 = 70% 10

p(S ∪ M ) = p(S) + p(M ) − p(S ∩ M ) = 50% + 40% − 20% = 70%

 

E. p(S) =





5 = 50% 10

p(S) = 1 − p(S) = 1 − 0, 5 = 0, 5 = 50%

 

F. p(M ) =





6 = 60% 10



 





p(M ) = 1 − p(M ) = 1 − 0, 4 = 0, 6 = 60%

 

•j

 

3 = 30% 10

  H. p(S ∪ M ) = p(S) + p(M ) − p(S ∩ M ) = 50% + 60% − 30% = 80%

G. p(S ∩ M ) = 



activité 2 on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée (a)

  600 = 0, 3   2000   1000 ii. p(Première) = p(B) = = 0, 5   2000   300 iii. p(Garçon et terminale) =p(C) = = 0, 15   2000   1400 + 680 − 300 1780 iv. p(Garçon ou terminale) =p(D) = = = 0, 89   2000 2000

i. p(Fille) = p(A) =



v. p(pas en première) =p(E) = 1 − p(B) = 1 − 0, 5 = 0, 5 (b)







Fille 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

 

  180 = 0, 09     2000     1000 + 600 − 180 = 0, 71 ii. A ∪ B : l’élève est une fille et est en première ; p(A ∪ B) =     2000

i. A ∩ B : l’élève est une fille et est en première ; p(A ∩ B) =







iii. A : l’élève n’est pas une fille ; p(A) = 1 − 0, 3 = 0, 7 

(c)

Seconde Première Terminale total

Garçon 280 820 300 1400

  180 = 0, 3   600   180 = 0, 18 ii. pB (A) =   1000

i. pA (B) =









4.2

à retenir U

définition 4 : (événement contraire) Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Soit A ⊂ U un sous ensemble de U (un "événement")

A

 

A

"L’événement contraire" de A est noté A où   A est le sous ensemble de U constitué de tous les éléments de U qui ne sont pas dans A 



Remarques : a. U = ∅,

∅ = U,

U =U

Exemples : a. lancer d’une pièce : U = {P ; F } , le contraire de "pile" est "face" b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} le contraire de "six"= {6} est "tout sauf six"= {1; 2; 3; 4; 5} le contraire de "pair"= {2; 4; 6} est "impair"= {1; 3; 5} le contraire de "Score > 3"= {4; 5; 6} est "Score ≤ 3"= {1; 2; 3} c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur; ...; 7 de pique} le contraire de "roi" est "tout sauf roi" U définition 5 : (intersection d’événements) Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Soient A ⊂ U un sous ensemble de U Soient B ⊂ U un sous ensemble de U

U

U

B

A

B

A∩B

A∩B

A

B

A

A∩B =∅  "L’intersection de A avec B est notée A ∩ B
("A inter B") où   A ∩ B est constitué de tous les éléments de U qui sont à la fois dans A et dans B 

   si A etB n’ont aucun éléments en commun on note alors : A ∩ B = ∅    


et on dit que A et B sont "disjoints" ou encore "incompatibles" 









(cas 2 ci dessus)

Remarques : a. A ∩ B se lit aussi "A et B" Exemples : a. lancer d’une pièce : U = {P ; F } : pile ∩ f ace = ∅, "pile" et "face" sont incompatibles b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} [Score > 3] ∩ [Score pair] = {4; 6} [Score ≤ 3] ∩ [Score impair] = {1; 3} c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur; ...; 7 de pique} roi ∩ as = ∅ roi ∩ coeur = {roi de coeur}

définition 6 : (réunion d’événements)

B

Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Soient A ⊂ U un sous ensemble de U Soient B ⊂ U un sous ensemble de U

U

U

A∪B

A∪B

U B A∪B

A

A∪B

A



"la réunion " des ensembles A et B est notée A ∪ B
("A union B") où   A ∪ B est constitué des éléments de U qui sont dans au moins un des ensembles A ou B 



Remarques : a. A ∪ B se lit aussi "A ou B" Exemples : a. lancer d’une pièce : U = {P ; F } pile ∪ f ace = {P ; F } = U b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} [Score > 3] ∪ [Score pair] = {2; 4; 5; 6} [Score ≤ 3] ∪ [Score impair] = {1; 2; 3; 5} c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {As♥; ...; 7♠} roi ∪ as = {R♠; R♣; R♥; R♦; As♠; As♣; As♥; As♦} propriété 3 : Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Soient A ⊂ U un sous ensemble de U Soient B ⊂ U un sous ensemble de U 







(1) pour A le contraire de A on a : p(A) = 1 − p(A)   





(2) pour A ∪ B la réunion de A et B
on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)   







(3) si A ∩ B = ∅ (A et B incompatibles) on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B)   Exemples : a. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {As♥; ...; 7♠} p(Roi ∪ ♥) = p(Roi) + p(♥) − p(Roi ∩ ♥) p(Roi ∪ ♥) =

4 8 1 11 + − = 32 32 32 32

b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} p([Score > 3] ∪ [Score pair]) = p(Score > 3) + p(Score pair) − p([Score > 3] ∩ [Score pair]) p([Score > 3] ∪ [Score pair]) =

4 3 3 2 + − = 6 6 6 6

12

1

exercice 10 :

i. p(pair), p(gris) iii. p(pair et gris) iv. p(pair ou gris)

4

2

11

ii. p(gris)

3

10

(a) calculer les probabilités suivantes

9

le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

5

8

7

exercices

6

4.3

v. p(pair et gris) vi. p(pair ou gris) vii. p(pair et gris) viii. p(pair ou gris) (b) pair et gris sont-ils incompatibles ? (c) gris et S ≥ 9 sont-ils incompatibles ? exercice 11 : dans une classe de terminale, pour l’année suivante : – 80% ont fait un dossier de B.T.S – 60% ont fait un dossier d’ I.U.T – 50% ont fait les deux calculer les probabilités suivantes et interpréter chaque valeur par une phrase i. p(IU T ), p(BT S) ii. p(IU T ∪ BT S) iii. IU T et BT S sont-ils incompatibles ? exercice 12 : un dé à 6 faces est tel que score S : 1 2 3 probabilité 0,2 0,15 0,05

4 0,1

5 0,3

6 0,2

i. calculer les probabilités suivantes A. p(impair), p(S > 3) B. p(impair), p(S > 3) C. p(S > 3 et impair) D. p(S > 3 ou impair) E. S > 3 et impair sont-ils incompatibles ?

total 1

exercice 13 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée

Seconde : S Première : P Terminale : T total

Garçon : G 280 820 300 1400

Fille :F 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

(a) on choisit au hasard un des 2000 élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près et donner une phrase d’interprétation. i. p(G) ii. p(S) iii. p(S) iv. p(G ∩ S) v. p(T ∩ S) vi. p(G ∪ S) vii. p(T ∪ S) viii. p(G ∪ F ) (b) G et S sont-ils incompatibles ? (c) T et S sont-ils incompatibles ?

5 5.1

probabilités et expériences aléatoires composées activité activité 1 on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée (a) on lance la pièce deux fois soit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile" i. proposer une valeur pour la probabilité p(X = 2) d’obtenir deux fois pile ii. utiliser l’arbre de dénombrement suivant pour déterminer p(X = 1) iii. déterminer p(X = 0)

b

P :X =2 b

F :X =1 b

P :X =1 b

F :X =0

P b

b

iv. en déduire p(X > 0) et interpréter cette valeur

F b

(b) on lance la pièce trois fois i. déterminer la probabilité p(X = 0) ii. en déduire la probabilité p(X > 0) et interpréter le résultat (c) on lance la pièce n fois où n > 0 i. exprimer p(X = 0) en fonction de n ii. en déduire p(X > 0) en fonction de n iii. déterminer le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d’obtenir "au moins une fois pile" soit de 99% activité 2 une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge et un noir) puis une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge) calculer les probabilités suivantes : (a) elle est tout de blanc vêtue

B

b

b b

(b) elle porte du blanc (c) elle porte du blanc et du rouge

b

R

b

b

b

b

b

(d) elle porte du blanc ou du rouge

N

b

b

b

(e) elle n’est pas tout de blanc vêtue b

B R N B R N B R N

activité 3 on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée déterminer les probabilités suivantes (a) les deux élèves sont des filles (b) les deux élèves sont des premières (c) il y a un garçon et une fille

Seconde Première Terminale total

Garçon 280 820 300 1400

Fille 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

corrigé activité activité 1 on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée (a) on lance la pièce deux fois soit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile" 







1 i. p(X = 2) = = 25% d’obtenir deux fois pile 4



2 ii. p(X = 1) = = 50% 4



b

P :X =2 b

F :X =1 b

P :X =1 b

F :X =0

P



b

1 iii. p(X = 0) = = 25% 4



b

iv. p(X > 0) = 1 − p(X = 0)   p(X > 0) = 1 − 0, 25 = 0, 75 = 75%  Il y a 75% de chance de faire au moins une fois "pile"

F b

(b) on lance la pièce trois fois soit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile" 



P

1 i. p(X = 0) = = 12, 5% 8



b

P b

F b

P b

F b

P b

F b

P b

F

b

P b

F b

b

P b

F 



b

F

1 ii. p(X > 0) = 1 − = 87, 5% 8



b

(c) on lance la pièce n fois où n > 0 



1 1 i. p(X = 0) = n = ( )n = 0, 5n 2 2



ii. p(X > 0) = 1 − 0, 5n 





iii. le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d’obtenir "au moins une fois pile" soit de 99% est n = 7 car : un = 1 − 0, 5n défini une suite numérique strictement croissante (admis) n 1 − 0, 5n

6 ≃ 0, 98

7 ≃ 0, 992

activité 2 une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge et un noir) puis une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge) calculer les probabilités suivantes : 





1 (a) p(elle est tout de blanc vêtue) = 9



1 8 (e) p(pas tout de blanc vêtue) = 1 − = 9 9

B B   R 5 (b) p(elle porte du blanc) = N 9

B R   2 R (c) p(elle porte du blanc et du rouge) = 9 N

B   N 8 R (d) p(elle porte du blanc ou du rouge) = 9 N

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

activité 3 on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée Garçon Fille Total Seconde 280 40 320 Première 820 180 1000 Terminale 300 380 680 total 1400 600 2000 déterminer les probabilités suivantes 



359400 600 × 599 = ≃ 9% (a) p(2 filles ) = 2000 × 1999 3998000

  1000 × 999 999000 (b) p(2 premières) = = ≃ 25% 2000 × 1999 3998000





1680000 1400 × 600 + 600 × 1400 = ≃ 42% (c) p(un garçon et une fille) = 2000 × 1999 3998000



5.2

à retenir définition 7 : (expérience aléatoire composée) 



(1) une expérience est composée si elle est constituée     d’ au moins deux expériences aléatoires consécutives 

  (2) pour dénombrer
l’univers U d’une expérience aléatoire composée (calculer les nombre de cas possibles) ou tout autre événement A on peut utiliser un arbre de dénombrement


Exemples : a. série de deux lancers d’une pièce équilibrée donc 2 × 2 = 4 cas au total b. série de trois lancers d’un dé à six faces équilibré donc 6 × 6 × 6 = 196 cas au total c. série de quatre cartes distinctes dans un jeu usuel de 32 cartes donc 32 × 31 × 30 = 29760 cas au total d. série de 7 numéros distincts parmi 49 donc 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 × 43 = 432938943360 cas au total

5.3

exercices exercice 14 : on lance deux fois un dé équilibré à 8 faces (a) calculer les probabilités suivantes i. on obtient un double huit ii. on obtient aucune fois 8 iii. on obtient au moins une fois 8 (b) combien de fois lancer le dé pour que la probabilité d’avoir au moins une fois 8 soit d’au moins 99 % (c) calculer la probabilité que la somme des deux scores soit égale à 12 exercice 15 : on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée déterminer les probabilités suivantes (a) les deux élèves sont des garçons (b) les deux élèves sont des terminales (c) il y a un première et un terminale

Seconde Première Terminale total

Garçon 280 820 300 1400

exercice 16 : une urne contient 4 billes rouges et 8 vertes on choisit au hasard et avec remises deux billes dans l’urne calculer les probabilités suivantes A. les deux billes sont vertes B. les deux billes sont rouges C. les deux billes sont de couleurs différentes exercice 17 : une urne contient 4 billes rouges et 8 vertes on choisit au hasard et sans remises deux billes dans l’urne calculer les probabilités suivantes A. les deux billes sont vertes B. les deux billes sont rouges C. les deux billes sont de couleurs différentes

Fille 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

6

évaluations corrigé devoir maison exercice 1 : 1 page 149 1. probabilité qu’il n’y ait pas de soleil : p(pas de soleil) = 1 − p(soleil) = 1 − 0, 05 =



0, 95







2. probabilité qu’il y ait neige, pluie ou verglas : p(neige ou pluie ou verglas) = 0, 5 + 0, 3 =



0, 8







exercice 2 : 3 page 150 1. tableau de probabilités :

2.

zone

1

2

3

4

5

6

total

probabilité

3 24

8 24

4 24

2 24

3 24

4 24

24 24

a. probabilité que le numéro soit impair





3 4 3 10 5 p(impair) = p(1) + p(3) + p(5) = + + = = 24 24 24 24 12 

b. probabilité que le numéro soit un multiple de 3

 

4 8 1 4 + = = p(multiple de 3) = p(3) + p(6) = 24 24 24 3 

c. probabilité que le numéro soit inférieur ou égal à 4





17 3 8 4 2 p(score ≤ 4) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = + + + = 24 24 24 24 24  exercice 3 : 6 page 151 

1. population totale : 202714 + 215740 = 418454 personnes 2.



  215740 ≃ 0, 52 a. p(A) = p(f emme) =   418454

b. p(B) = p(homme entre 30 et 44 ans) = c. p(C) = p(f emme de 60 ans ou plus) = d. p(D) = p(moins de 29 ans) = 



  29843 + 21499 + 3297 54639 = ≃ 0, 12   418454 418454

  35620 + 34152 + 42547 + 43116 155435 = ≃ 0, 37   418454 418454

p(C) = 1 − p(C) ≃ 1 − 0, 12 ≃ 0, 88 



  40230 ≃ 0, 1   418454

3. C : la personne n’est pas une femme de 60 ans ou plus 



 





exercice 4 : 44 page 160 1.

a. p(E) = p(externe) =

  128 ≃ 0, 17   749

  393 ≃ 0, 52   749

b. p(F ) = p(f ille) =

c. p(M ) = p(homme et interne) = 2. pF (D) = p(D.P. sachant f ille) =

  42 ≃ 0, 06   749

  96 70 + 26 = ≃ 0, 24   393 393

3. pD (G) = p(homme sachant D.P.) =

  256 ≃ 0, 46   553

exercice 5 : 55 page 162 1. tableau mode de paiement M ≤ 200 20% × 70% = 14% 70% − 15% − 14% = 41% 15% 70%

espèce chèque carte total 2.



a. p(A) = p(plus de 200 euros) = 0, 3 

 

montant M > 200 2% 50% − 41% = 9% 34% − 15% = 19% 100% − 70% = 30%



b. p(B) = p(carte ou cheque) = 0, 5 + 0, 34 = 0, 84 

c. p(C) = p(carte) = 0, 34 3.

















a. A ∩ C : l’achat est dépasse 200 et est payé par carte  

b. A ∪ C : l’achat est dépasse 200 ou est payé par carte 

4.

total 16% 50% 100% − 16% − 50% = 34% 100%



a. p(A ∩ C) = 0, 19 

 



b. p(A ∪ C) = 0, 3 + 0, 34 − 0, 19 = 0, 45 

 





exercice 6 : 39 page 159 1. p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1 p(6) = 1 − (p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6)) 

p(6) = 1 − (0, 2 + 0, 2 + 0, 1 + 0, 1 + 0, 1) = 0, 3 2.



 

 

a. A et B ne sont pas incompatibles car un numéro peut-être un diviseur de 15 et ne   pas être un multiple de 3 en même temps, par exemple : 1 b. Les diviseurs de 15 en question sont : 1, 3et 5  p(A) = p(1) + p(3) + p(5) = 0, 2 + 0, 1 + 0, 1 = 0, 4 



c. Les scores en question qui ne sont pas des multiples de  3sont : 1, 2 , 4 et 5 p(B) = p(1) + p(2) + p(4) + p(5) = 0, 2 + 0, 2 + 0, 1 + 0, 1 = 0, 6 



corrigé devoir maison exercice 1 : 10 page 153 b

V1 b

b b

 (a) Au total, il y a 4 × 4 =  16 issues


(b) p(V1 ) =

(c) p(2) =



b

b

V2



b

7 = 43, 75% 16 



b

b

b b b

R1



b

b

8 = 50% 16 

(d) p(2 couleurs) =



b

b

b

R2



b

b

8 = 50% 16  b

b

exercice 2 : 12 page 153  (a) Au total, il y a 3 × 3 =  9 issues
 

1 ≃ 11, 1% (b) p(JR) = 9   

4 ≃ 44, 4% (c) p(1 bleu) = 9 

(d) p(2 couleurs identiques) =

B

b

b b

b

R

b

b

b

b

b

 

2 ≃ 22, 2% 9 

J

b

b

b

exercice 3 : 31 page 157 

1. Au total, il y a 15 × 15 × 15 =  3375 issues
 2. a. nombre d’issues favorables à A : 7 × 15 × 7 =  735 issues
  735 ≃ 22% b. p(A) = 3375

b

B R N B R N B R N

V1 V2 R1 R2 V1 V2 R1 R2 V1 V2 R1 R2 V1 V2 R1 R2

P b

P b

F b

P b

F b

P b

F b

P b

F

b

P b

F b

b

P b

F b

F b

P b

b

b

P

b

F b

b

P

b

b

P b

b

b

F

b

F b

b b b

P b

b

b

P

b

F b

b

F

b

b

P b

b

b

F

b

F b

b b

P F P F P F P F P F P F P F P F