Probabilités

PROBABILITES I LANGAGE DES PROBABILITES : JETS DE DE On utilise un dé à 6 faces numérotées respectivement de 1 à 6. Connaissez-vous une technique pour obtenir un 6 de façon certaine en lançant le dé ? Obtenir un 6 est-il dû au hasard ? On appelle expérience aléatoire, une expérience dont le résultat est dû au hasard Lors du jet de dé, quels sont les résultats qu'on peut obtenir ? Les écrire, séparés par un point-virgule entre les accolades suivantes:

={

}

Ces résultats que l'on peut obtenir sont les issues de cette expérience Cet ensemble est l’univers des possibles (ensemble des résultats que peut donner l'expérience aléatoire). Cet univers peut être décrit par un arbre de probabilités Nous disposons de deux urnes, l’une contient 3 boules rouges, 3 boules noires et 2 boules bleues, l’autre deux jetons numérotés 1 et trois jetons numérotés 2 On effectue un tirage dans chaque urne et on note la couleur et le numéro. Donner les tirages possibles ou issues.

Premier tirage

deuxième tirage ...........................................

.......................

......................................... .....................................

.......................

....................................... .............................................

.........................

.............................................

Chaque élément de l'univers est un événement élémentaire . Exemple, "obtenir 6". Un événement est une partie de l'univers. Exemple, si A est l'événement "obtenir un chiffre pair": A={

}

- Est-il possible d'obtenir 7 en lançant le dé ? ............ Si S désigne l'événement "obtenir 7 en lançant le dé", alors on note: S =  ( désigne l'ensemble vide )

L'événement S est impossible

- Est-il possible d'obtenir un chiffre pair et un chiffre impair en lançant le dé une fois ? .................. - Si A désigne l'événement "obtenir un chiffre pair", alors "obtenir un chiffre impair" est l’événement contraire de A. Il est noté Error!.

- Est-il possible d'obtenir un chiffre pair et le chiffre 5 en lançant le dé une fois ? ..........................

Deux événements peuvent être incompatibles, s'ils ne peuvent être réalisés simultanément. La non-réalisation de l'un n'entraîne pas la réalisation de l'autre. LP Rompsay La Rochelle

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II LIEN ENTRE FREQUENCE ET PROBABILITE : JETS DE DE Echantillon de 10 valeurs : 10 jets de dé sont simulés Compléter le tableau: face

1

2

3

4

5

6

nombre de jets fréquence % Les fréquences obtenues sont-elles égales ?..................... Pourquoi ne peuvent-elles pas l'être ?.......................... Calculer l'écart entre la plus petite et la plus grande des fréquences................................... Echantillon de 100 valeurs : 100 jets de dé sont simulés Compléter le tableau: face

1

2

3

4

5

6

nombre de jets fréquence % Calculer l'écart entre la plus petite et la plus grande des fréquences. ............................................... Cet écart est-il plus ou moins important que celui obtenu avec un échantillon de 10 valeurs ?.................................................... Echantillon de 1000 valeurs : 1000 jets de dé sont simulés Reproduire la même démarche pour analyser les résultats d'un échantillon de 1000 valeurs. face

1

2

3

4

5

6

nombre de jets fréquence % Calculer l'écart entre la plus petite et la plus grande des fréquences....................... Cet écart est-il plus ou moins important que celui obtenu avec un échantillon de 10 et 100 valeurs ?................................. Vers quelle valeur se dirigerait la fréquence du 6 dans le cas d'un échantillon de 100 000 valeurs?.............................................. Conclusion Intuitivement vous savez que la probabilité d'obtenir un 6 en lançant un dé est Error! (soit 0,167 ou 16,7%). La probabilité d'un événement est la valeur vers laquelle tend la ............................ de cet événement pour un grand nombre de répétitions de l'expérience.

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III PROBABILITES On considère un jeu de 32 cartes. On procède au tirage d'une carte, qu'on remet dans le paquet après tirage. On réalise un grand nombre de tirages. On procède à 10000 tirages (10 séries de 1000 tirages) . événement: la carte tirée est: 1ère série de 1000 tirages 2ème série de 1000 tirages 3ème série de 1000 tirages 4ème série de 1000 tirages 5ème série de 1000 tirages 6ème série de 1000 tirages 7ème série de 1000 tirages 8ème série de 1000 tirages 9ème série de 1000 tirages 10ème série de 1000 tirages TOTAL fréquence %

un cœur

un trèfle

un as

un 7

le roi de carreau

248 256 255 249 254 256 259 242 251 253

251 254 259 247 250 254 260 242 245 253

122 126 128 121 123 128 125 123 128 124

127 121 126 132 126 123 120 125 126 127

30 32 36 31 28 35 24 28 30 35

Parmi ces fréquences, certaines ont des valeurs proches. Pourquoi ? Classer les fréquences obtenues dans l'ordre croissant. Expliquer pourquoi il est logique d'obtenir ce classement. 1° Calcul de probabilités La probabilité de l'événement A, notée P(A), est un nombre tel que 0  P(A)  1. Dans le cas où les événements élémentaires de l'univers  ont la même probabilité (ils sont alors équiprobables), P(A) se calcule par : P(A) = Error! = Error! 2 ° Equiprobabilité • On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la ................ ......................... Exemple : On lance un dé non truqué, la probabilité d’obtenir les nombres 1,2,3,4,5 et 6 est Error! pour chacun d’eux . Dans le cas du tirage d'une carte parmi 32, chaque carte a la même probabilité d'être tirée. Les événements élémentaires sont équiprobables, calculer alors: - la probabilité de tirer la dame de pique :...................... - la probabilité de tirer un trèfle :............................ - la probabilité de tirer un as :................................... - la probabilité de tirer une carte rouge..............................

3° Intersection de deux événements LP Rompsay La Rochelle

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L'intersection de deux événements A et B est notée A  B. Le symbole  signifie « ET » . A  B est réalisé si les deux événements sont réalisés simultanément. Si les événements sont indépendants et non-incompatibles, alors P(A  B) = P(A)  P(B). Si les événements sont incompatibles, alors P(A  B) = 0. A désigne l'événement tirer un cœur. B désigne l'événement tirer un 10. Calculer P(A  B):................................... A désigne l'événement tirer une carte rouge. B désigne l'événement tirer une carte noire. Calculer P(A  B):................................. 4° Réunion de deux événements La réunion de deux événements A et B est notée A  B. Le symbole  signifie « OU » . A  B est réalisé si l'un au moins des deux événements est réalisé. Dans ce cas, P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) A désigne l'événement tirer un 7. B désigne l'événement tirer un carreau. Calculer P(A  B):......................... A désigne l'événement tirer une carte rouge. B désigne l'événement tirer une carte noire. Calculer P(A  B):............................ 5° Probabilités de deux événements contraires: A est un événement, Error! l'événement contraire. Alors P(Error! ) = 1 - P(A). A désigne l'événement tirer un pique. Calculer P(Error!):......................... A désigne l'événement tirer un valet. Calculer P(Error!):........................ 6° Formule reliant la probabilité de A  B à celle de A  B Si A et B sont deux événements, alors : P(A  B) + P(A  B) = P(A) + P(B) Soit A l'événement "tirer un 10" et B l'événement "tirer une carte rouge". Calculer :

P(A) : ........................

P(B) : ........................

P(A  B) : ....................

P(A  B) : ....................

Vérifier que P(A  B) + P(A  B) = P(A) + P(B) : ...................................

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Exercice 1 : On lance un dé régulier à six faces. Calculer la probabilité que le résultat soit : a) pair et strictement supérieur à 4 ; b) pair ou strictement supérieur à 4 Exercice 2 : Une urne contient cinq jetons blancs numérotés 1, 2, 3, 4, 5 et deux jetons noirs numérotés 1, 2. On tire un jeton au hasard. Calculer la probabilité : a) qu’il soit noir ; b) qu’il soit noir et pair ; c) qu’il soit noir ou pair ; Exercice 3 : Dans une classe, on a relevé les renseignements suivants : Porte des lunettes ne porte pas de lunettes Garçons 6 4 Filles 6 14 On choisit au hasard un élève dans la classe. On note G l’événement « L’élève est un garçon » et L l’événement « L’élève porte des lunettes ». 1) Calculer P(G) et P(L). 2) Calculer P(G∩L), On énoncera chaque résultat par une phrase. 3) Les deux évènements G et L sont-ils indépendants ? Pourquoi ? 4) Donner deux représentations différentes de cette épreuve par un arbre pondéré. Exercice 4 Une urne contient 10 boules : 2 bleues, 5 noires, 3 rouges. On effectue deux tirages successifs sans remise. On peut représenter cette situation par un arbre. On se propose de calculer la probabilité de l’événement « tirer une boule bleue au deuxième tirage ». On note B2 cet événement, et : B1 : « tirer une boule bleue au premier tirage », N1 : « tirer une boule noire au premier tirage », R1 : « tirer une boule rouge au premier tirage ». Trois situations sont possibles pour obtenir l’événement B2 :

Exercice 5 : Dans une usine d’automobiles, trois chaînes « a », « b » et « c » fournissent respectivement 25%, 35% et 40% de la production de moteurs. Certains de ces moteurs sont écartés comme défectueux, dans les proportions suivantes : 5% pour la chaîne « a », 4% pour la chaîne « b » et 1% pour la chaîne « c ». On prend un moteur au hasard et on définit les évènements suivants : A : « Le moteur est issu de la chaîne « a » » ; B : « Le moteur est issu de la chaîne « b » » ; C : « Le moteur est issu de la chaîne « c » » ; D : « Le moteur est défectueux ». Les résultats sont donnés à 10-4 près. 1. Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités et tracer un arbre pondéré illustrant la situation. 2. Calculer la probabilité que le moteur sorte de la chaine a ou b, P (A U B) , 3. Calculer P(D). 4. Quelle est la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « a » et qu’il est défectueux ? 5. Calculer la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « c » et qu’il ne soit pas défectueux ? LP Rompsay La Rochelle

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Exercice 6 : Une entreprise comprend 375 salariés. Elle dispose d'un restaurant d'entreprise. Une enquête a été réalisée sur la fréquentation de ce restaurant par les salariés de cette entreprise. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Nombre de salariés qui mangent régulièrement au restaurant d'entreprise Nombre de salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d'entreprise Nombre de salariés qui ne mangent jamais au restaurant d'entreprise Nombre total de salariés

Hommes

Femmes

Total

110

55

165

42

33

75

58

77

135

210

165

375

On choisit au hasard un salarié dans la liste des 375 salariés de cette entreprise. Tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis. On considère les événements suivants : F : "Le salarié choisi est une femme" ; R : "Le salarié choisi mange régulièrement au restaurant d'entreprise" ; O : "Le salarié choisi mange occasionnellement au restaurant d'entreprise". 1. Traduire par une phrase l'événement F ∩ R, puis calculer sa probabilité (arrondir le résultat au millième). 2. Traduire par une phrase l'événement R U O, puis calculer sa probabilité. 3. Calculer la probabilité que le salarié soit une femme 4. Calculer la probabilité que le salarié mange occasionnellement au restaurant 5. Calculer la probabilité que le salarié mange occasionnellement au restaurant et qu'il soit une femme. 6. Les événements F et O sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse. Exercice 7 : À l'aide d'une machine, un supermarché contrôle l'authenticité de 2 000 billets de banque. Les coupures de 20 € représentent 40 % de l'ensemble des billets contrôlés. On a détecté 5 fausses coupures. Les billets de 20 € représentent 60 % des fausses coupures. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant. Faire figurer le détail des calculs sur votre copie. Coupure Coupure Coupure de 10 € de 20 € de 50 € Billets 2 falsifiés Billets 600 authentiques Total

Total

2000

Dans les questions suivantes, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible. Un billet est choisi au hasard parmi les 2 000 billets contrôlés. On considère les évènements suivants : F : « le billet choisi est falsifié » ; C : « le billet choisi est une coupure de 50 € » ; V : « le billet choisi est une coupure de 20 € » . 1 . Calculer la probabilité d'avoir une coupure de 20 € 2 . Calculer la probabilité d'avoir une coupure falsifiée 3. Définir par une phrase l'évènement V ∩ F et calculer p (V ∩ F). 4. Les événements F et V sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse. LP Rompsay La Rochelle

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