Probabilités - Collège Sismondi

Mathématiques 4 Niv.1 41.

Probabilités

Exercices chapitre 3

On jette une pièce de monnaie une seule fois. Quel est l'univers ? Décrire la variable aléatoire associant à chaque évènement de U, le nombre de face se présentant à l'épreuve. En faire la loi de probabilité. Déterminer l'espérance mathématique, la variance et lʼécart-type.

42.

On jette cette même pièce de monnaie trois fois. Quel est l'univers ? Décrire la variable aléatoire associant à chaque évènement de U, le nombre de face se présentant à l'épreuve. En faire la loi de probabilité. Déterminer l'espérance mathématique, la variance et lʼécart-type.

43.

On jette cette même pièce de monnaie trois fois. Quel est l'univers ? Décrire la variable aléatoire associant à chaque évènement de U, le nombre de face moins le nombre de piles. En faire la loi de probabilité. Déterminer l'espérance mathématique, la variance et lʼécart-type.

44.

On jette cette même pièce de monnaie trois fois. La pièce n'étant pas bien équilibrée, P(face) = P(pile) =

2 et 3

1 . Quel est l'univers ? Décrire la variable aléatoire associant à chaque évènement de U, le 3

plus grand nombre de faces successives. En faire la loi de probabilité. Déterminer l'espérance mathématique, la variance et lʼécart-type. 45.

Une urne contient 3 boules numérotées 1, 2 et 3. On tire successivement deux boules (avec remise). Quel est l'univers ? Décrire la variable aléatoire associant à chaque évènement de U la somme de leur nombre. En faire la loi de probabilité. Déterminer l'espérance mathématique, la variance et lʼécart-type.

46.

On lance deux dés. Quel est l'univers ? Décrire la variable aléatoire associant aux évènements la somme de leur nombre. En faire la loi de probabilité. Déterminer l'espérance mathématique, la variance et lʼécart-type.

47.

On lance deux dés. Quel est l'univers ? Décrire la variable aléatoire associant à chaque événement le plus petit des nombres obtenus. En faire la loi de probabilité. Déterminer l'espérance mathématique, la variance et lʼécart-type.

48.

Dans un exercice dʼune série précédente, on avait considéré les familles de 4 enfants. Soit X la variable aléatoire dénombrant le nombre de garçons dans une telle famille. En faire la loi de probabilité. Calculer l'espérance mathématique et la variance. Comparer aux résultats théoriques suivants : Si X est une variable aléatoire binomiale, E(X) = np et VAR(X) = npq (p probabilité de "succès", q = 1 - p).

49.

Un échantillon de 3 objets est choisi au hasard d'une boîte contenant 12 objets parmi lesquels 3 sont défectueux. Soit X la variable aléatoire dénombrant le nombre dʼobjets défectueux de lʼéchantillon. Calculer M(X) et V(X)

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2010 - 2011

p.1

Mathématiques 4 Niv.1 50.

Probabilités

Exercices chapitre 3

Dans un jeu de pari, l'espérance mathématique M(X) est considérée être la valeur du jeu pour le joueur. Un jeu est dit être favorable au joueur si M(X) est positif et défavorable s'il est négatif. Si M(X) = 0, le jeu est dit équitable. Un joueur lance un dé bien équilibré. Si un nombre premier apparaît, il gagne ce nombre en pièces d'or, mais s'il s'agit d'un nombre non premier, il perd ce nombre en pièces d'or. Ce jeu est-il favorable au joueur ?

51.

Une pièce est lestée telle que P(F) =

1 3 et P(P) = . Elle est lancée 3 fois. Soit X la variable aléatoire 4 4

dénotant le plus grand nombre de sorties de faces consécutives. Trouver la loi de probabilité, l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de X. ! 52.

Un joueur lance deux pièces bien équilibrées. Il gagne 2 francs si deux faces apparaissent, 1 franc si seulement 1 face apparaît, mais par contre, il perd 5 francs si face n'apparaît pas. Déterminer si ce jeu est favorable au joueur.

53.

Lorsqu'on tire un chiffre au hasard (parmi les chiffres de 0 à 9, en affectant à chacun d'eux la même probabilité), quelle est l'espérance, la variance, l'écart-type de la valeur obtenue ?

54.

Un joueur lance 3 pièces de monnaie bien équilibrée. Il gagne 8 francs s'il obtient 3 faces, 3 francs s'il obtient 2 faces et 1 franc s'il obtient qu'une face. Combien doit-il perdre quand il n'obtient aucune face pour que le jeu soit équitable.

55.

Une boîte contient 10 transistors dont 2 sont défectueux. On choisit un transistor au hasard et on le teste. On poursuit jusqu'à obtenir un transistor en état de marche. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de transistors que l'on a dû tirer de la boîte. Calculer l'espérance mathématique de X.

56.

Même problème si 3 transistors parmi les 10 sont défectueux.

57.

Une urne contient 12 boules, 7 portant le chiffre 1 et 5 portant le chiffre 2. On tire 3 boules de l'urne et on fait la somme des chiffres inscrits sur ces boules. Soit X, la variable aléatoire qui associe cette somme à un tirage de trois boules. Etablir la loi de probabilité de X et calculer la moyenne E(X) ou µ ainsi que l'écart-type S(x) ou σ.

58,

On choisit au hasard un point dans le 4

triangle ci-contre. Calculer : P(X > 1) P(-1 < x ≤ 2)

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-2

2010 - 2011

4

p.2

Mathématiques 4 Niv.1 59,

Probabilités

Exercices chapitre 3

Soit X une variable aléatoire continue avec la distribution suivante :

" 1 $ si 0 ! x ! 8 f(x) = # 8 $ % 0 autrement a) Montrer que f(x) est une distribution de probabilité. b) Calculer 60.

i) P(2 ≤ x ≤ 5)

ii) P(X ≥ 6)

iii) P(X ≤ 0)

iv) P(X ≥ 8)

Soit X une variable aléatoire continue avec la distribution suivante :

" x $ si 0 ! x ! 2 f(x) = # 2 $ 0 autrement % a) Montrer que f(x) est une distribution de probabilité. b) Calculer P(1 ≤ X ≤ 1,5) c) Calculer M(X) (= µ) 2

2

d) Calculer VAR(X) (= M(X ) - µ ).

61,

" x $ +k Soit X une variable aléatoire continue avec la distribution : f(x) = # 6 $ % 0

si 0 ! x ! 3 autrement

a) Evaluer k afin que f(x) soit une distribution de probabilité. b) Trouver P(1 ≤ X ≤ 2) c) Calculer M(X) et VAR(X). 62,

Soit x une variable aléatoire continue dont la distribution est constante sur un intervalle I = {a ≤ x ≤ b} et

"$ k si a ! x ! b 0 d'autre part, à savoir f définie par f(x) = # %$ 0 autrement a) Déterminer k afin que f(x) soit une distribution de probabilité. b) Calculer M(X). 63,

a) Déterminer a afin que f(x) = ax + 1 soit une fonction de probabilité.

"$ ax + 1 si 0 ! x ! 2 f(x) = # $% 0 autrement

1 ax + b

b) Calculer P(1 ≤ x ≤ 1,5) c) Calculer M(X)

2

d) Calculer VAR(X)

64,

On montre que l'intervalle de temps qui sépare deux émissions d'une particule par une source radioactive est régi par une loi dite exponentielle, dont la densité, définie pour x ≥ 0, est de la forme f(x) = he

-kx

Déterminer la valeur du coefficient h, afin d'avoir une densité de probabilité.

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2010 - 2011

p.3

Mathématiques 4 Niv.1 65.

66.

Probabilités

Exercices chapitre 3

Trouver l'aire comprise sous la courbe normale entre : a) z = 0 et z = 1,2

b) z = -0,68 et z = 0

d) z = 0,81 et z = 0,94

e) z ≥ -1,28

c) z = -0,46 et z = 2,21

Par aire, on entend celle située sous la courbe normale. Dans ces conditions, déterminer la ou les valeurs de z telle que l'aire a) comprise entre 0 et z, soit 0,3770

b) à gauche de z, soit 0,8621

c) entre z = -1,5 et z, soit 0,0217.

67.

Le poids moyen de 1000 colis entreposés dans un hangar est de 141 kg et l'écart-type est de 15 kg. En supposant que ces poids sont normalement distribués, calculer le nombre de colis a) entre 120 et 155 kg

68.

b) ayant plus de 185 kg.

Le diamètre intérieur moyen d'un échantillon de 200 corps de stylos produits par une machine est de 0,502 cm et l'écart-type moyen est de 0,005 cm. Ne peuvent être acceptées pour des opérations automatiques de montage suivantes uniquement les pièces dont le diamètre est compris entre 0,496 et 0,508 cm, les autes étant considérées comme défectueuses. Quel est alors le pourcentage de corps de stylos défectueux, sachant que les diamètres des pièces sont distribués normalement.

69.

Supposons que le poids de 2000 gorilles est distribué normalement avec une espérance (moyenne) de 155 kg et un écart-type de 20 kg. a) Trouver le nombre de gorilles dont le poids est inférieur à 100 kg. b) Trouver le nombre de gorilles dont le poids est compris entre 120 et 130 kg. c) Trouver le nombre de gorilles dont le poids est compris entre 150 et 175 kg. d) Trouver le nombre de gorilles dont le poids est supérieur à 200 kg. e) Quelle est la proportion de gorilles dont le poids est inférieur à 110 kg ? f) Quelle est la proportion de gorilles dont le poids est supérieur à 110 kg ? g) Si, lors d'une étude, on veut "éliminer" les 15 % des gorilles trop petits, quel sera le poids minimum des gorilles concernés par l'étude. h) Si, lors de la même étude, on ne veut considérer le comportement du 10 % des gorilles dont le poids est le plus petit et du 10 % des gorilles dont le poids est le plus important, quel sera le poids maximum des petits gorilles et le poids minimum des grands gorilles ?

70.

Supposons que la taille de 800 hommes est normalement distribuée avec une moyenne de 1 m 75 et un écart-type de 10 cm. a) Trouver le nombre d'hommes dont la taille est supérieure à 1 m 90 b) Si une publicité veut s'adresser au 5% des hommes dont la taille est la plus petite, quelle est la longueur maximale à prendre en compte ?

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2010 - 2011

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