PROBABILITES CONDITIONNELLES ET INDEPENDANCE 1

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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PROBABILITES CONDITIONNELLES ET

INDEPENDANCE

1 Un individu d'une population donnée à une probabilité 0,3 d'être contaminé par une maladie donnée. La moitié de la population a été vaccinée. On estime à 80 % la proportion de la population qui ayant été vaccinée ne sera pas contaminée. Un individu n'a pas été contaminé par la maladie : Quelle est la probabilité qu'il ait été vacciné? Citer des événements liés à ce problème dont on peut calculer les probabilités en fonction des données du texte.

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A , B et C sont trois événements d'un espace probabilisé tels que : P ( A) = 0,55 ; P ( A ∩ B ) = 0,3 ; P ( A ∩ B ∩ C ) = 0, 2

P ( B ) = 0,62 ; P ( B ∩ C ) = 0,37 ; P (C ) = 0, 4 ; P ( A ∩ C ) = 0, 2 a) Donner l'expression ensembliste de E = " A et B se produisent mais pas C " et F = " un seul des événements A , B ou C se produit ". b) Calculer P(E) et P(F) c) Calculer P(A / B) , P(B / A) , P( P( A ∩ B / C )

3 Une urne A contient 4 boules noires et 2 boules blanches, une urne B contient 2 noires et 4 blanches. Un joueur choisit au hasard une urne et y effectue trois tirages avec remise. Quelle est la probabilité que la troisième boule tirée soit noire sachant que les deux premières l'étaient ? Que se passerait-il si le joueur effectue le choix de l'urne à chacun des trois tirages ?

4 On considère deux urnes U1 et U 2 :

pour i = 1 , 2 U i contient des boules blanches et noires en proportion pi et qi . On effectue une suite de tirages avec remise suivant la règle : on choisit au hasard une urne pour le premier tirage. ensuite on tire dans U1 si la première boule tirée est blanche, dans U 2 sinon. De même la nième boule est tirée dans U1 ou U 2 suivant que la (n − 1)ième boule tirée était blanche ou noire. 1) Calculer les probabilités de tirer une blanche au premier , deuxième, troisième coup. 2) Soit la probabilité π n de tirer une blanche au n ième coup. Calculer π n ainsi que

lim π n . n→∞

5 Quelle est la probabilité au poker d'obtenir un carré ? a) Jean-Marc vient de recevoir sa première carte, un 8 de Pique : à combien peut-il évaluer ses chances d'avoir un carré ? b) Même question quand Jean-Marc a vu ses deux premières cartes : 8 P et 8K ? c) Même question quand Jean-Marc a vu ses trois premières cartes : 8 P , 8 K et 8 T ? Que pensez-vous de ces résultats ? 6 A et B jouent au tennis et sont à égalité 40-40 .

A gagne chaque point avec la probabilité p ∈ ]0,1[ . Quelle est la probabilité que le jeu s'arrête ? Que A remporte le jeu ? Que le jeu dure au moins 2n coups ?

1 ). 2 1) On choisit un dé et on le lance. On obtient 6 : quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ? 2) On relance le dé et on obtient à nouveau un 6 : même question ?

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Sur un stock de 100 dés, 25 sont pipés (la probabilité de tirer un 6 étant

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n urnes U1 , U 2 , …, U n contiennent respectivement 1 , 2 , … , n boules noires. On choisit une urne au hasard , on en retire une boule et on n'y met une boule blanche. Un tirage dans cette urne donne une boule blanche. Quelle est la probabilité que le tirage ait été effectué dans U i ?

9 Soient A et B deux événements indépendants d'un espace probabilisé.

Montrer que A et B

sont indépendants. idem pour A et B puis pour A et B .

Généraliser ce résultat à un système

( Ai )1 ≤ i ≤ n

d'événements mutuellement indépendants.

10 Un feu bicolore est déréglé : quand il est rouge, il passe au vert avec la probabilité p1

: quand il est vert, il passe au rouge avec la probabilité p2 (les changements éventuels ont lieu aux temps t = 1 ,2 , 3 , ….) On note rn ( resp. vn ) la probabilité que ce feu soit rouge (respectivement vert) à l'instant n . a) Établir des relations de récurrence sur ( rn ) et

( vn ) .( on écrira

 rn+1   rn    = A   avec  vn+1   vn 

A∈ M 2 (IR) ). b) Déterminer B et C tq B + C = I 2 et B + (1 − p1 − p2 )C = A

c) Exprimer rn et vn en fonction de n pour n ≥ 1. Calculer lim rn et lim vn : interpréter . n→∞

n →∞

11 Un damier est formé de 9 cases : celle du centre est notée O, celles des angles I et les autres J. Une puce est au temps t = 0 au centre du damier et se déplace la façon suivante : à chaque instant elle saute au hasard sur une case contiguë de celle où elle se trouve. 1) Quelle est la probabilité pour que la puce soit en O à l'instant t = n ? 2) Quelle est la probabilité pour que la puce revienne en pour la première fois à t = n ? 12 On lance m des non truqués, puis on laisse de côté ceux qui ont amené un 6 . On relance les autres, en laissant à nouveau de côté ceux qui ont amené six, et ainsi de suite. a) On considère un dé fixé . Quelle est la probabilité pour que ce dé soit lancé au moins n fois ? b) Calculer la probabilité de l'événement "on obtient la figure formée de m 6 en au plus n relances " ainsi que sa limite quand n → + ∞

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Deux joueurs A et B s'affrontent dans une succession de points. A remporte chaque point avec une probabilité p ∈ ]0,1[ (et B avec q = 1-p ) .Le perdant de chaque point donne un franc au vainqueur. A commence le jeu avec une fortune de a francs alors que B avec une fortune de b francs. On note α n la probabilité pour A d'être ruiné lorsqu'il commence avec une fortune de n francs. Établir une relation de récurrence linéaire double vérifiée par (α n ) n∈ℕ . En déduire la probabilité pour A d'être ruiné, de même pour B et enfin la probabilité que la partie dure indéfiniment .

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