Probabilités - Denis Vekemans

Probabilités Denis Vekemans

1

∗

Vocabulaire Une expérience aléatoire vérifie trois conditions : — elle est reproductible dans les mêmes conditions ; — on en connaît tous les résultats possibles ; — on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire lorsqu’on réalise l’expérience. Chacun des résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé une issue de cette expérience.

L’univers Ω d’une expérience aléatoire est l’ensemble de toutes les issues de cette expérience. Un événement A est un sous-ensemble de Ω. Un événement A est réalisé par une expérience si celle-ci abouti à une issue appartenant à A. Deux événements A et B sont incompatibles si ils ne peuvent pas être réalisés en même temps ce qui signifie que A et A

T

T

B = ∅. L’événement contraire de A est noté A il vérifie A

S

A=Ω

A = ∅ (donc A et A sont incompatible). Un événement qui ne comporte qu’une seule issue est un

événement élémentaire. Des événements élémentaires distincts sont incompatibles.

2

Loi des grands nombres Considérons une expérience aléatoire et A un événement relatif à cette expérience. Si on répète n

fois cette expérience, l’événement A sera réalisé un certain nombre de fois que l’on notera xn . Lorsque n augmente, la fréquence fn =

xn n

tend à se stabiliser vers une valeur qui est la probabilité de l’événement A

et est notée P (A).

3

Propriétés 1. 0 ≤ P (A) ≤ 1. 2. Si P (A) = 1, l’événement A est appelé l’événement certain et A = Ω. 3. Si P (A) = 0, l’événement A est appelé l’événement impossible et A = ∅. ∗

Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais

cedex ; France

1

4. P (A) = 1 − P (A). 5. P (A

S

B) = P (A) + P (B) − P (A

T

B).

6. Si A et B sont incompatibles, alors P (A

S

B) = P (A) + P (B).

7. La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.

4

Situation d’équiprobabilité Lorsque tous les événements élémentaires d’une expérience aléatoire ont la même probabilité on dit

qu’ils sont équiprobables. Soit n le nombre d’éléments de Ω. Si tous les événements élémentaires sont équiprobables alors la probabilité de chacun d’entre eux est situation, alors P (A) =

5

card(A) n

1 . n

Considérons un événement A dans cette

(le cardinal deA, noté card(A), est le nombre d’éléments de A).

Exemples 1. Lancer un dé à 6 faces équilibrées et noter le nombre de points inscrits sur la face supérieure. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ? Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} et tous les événements élémentaires sont équiprobables. Notons A l’événement "Obtenir un nombre pair", A = {2; 4; 6}. 3 1 Donc la probabilité d’obtenir un nombre pair est de = . 6 2 2. Lancer deux fois une pièce de monnaie équilibrée. Une des deux faces sera notée "p" (pour pile) et l’autre "f" (pour face). Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois "pile" ? Ω = {(p; p); (p; f ); (f ; p); (f ; f )} et tous les événements élémentaires sont équiprobables. Notons A l’événement "Obtenir au moins une fois pile", A = {(p; p); (p; f ); (f ; p)}. 3 Donc la probabilité d’obtenir au moins une fois "pile" est de . 4 3. Prendre au hasard et successivement sans remise deux boules dans une urne contenant 2 boules rouges et 2 boules vertes. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules identiques ? On note "r" la boule rouge et "v" la boule verte. Ω = {(r; r); (r; v); (v, r); (v; v)} et tous les événements élémentaires ne sont pas équiprobables. Soit A l’événement "Obtenir deux boules identiques", A = {(r; r); (v; v)}. 1 1 1 1 1 La probabilité d’obtenir deux boules identiques est de × + × = . 2 3 2 3 3

Exercice 1

Un sac opaque contient des bonbons bleus, rouges ou verts, tous indiscernables au tou-

cher. Quand on tire un bonbon au hasard, on a deux chances sur cinq de prendre un bonbon rouge, et trois chances sur dix de prendre un bonbon bleu. 1. Quelle est la probabilité d’obtenir un bonbon rouge ou un bonbon bleu ? 2

2. En déduire la probabilité d’obtenir un bonbon vert. Solution 1

3 . 10 2 — R l’événement "prendre un bonbon rouge" ; P (R) = . 5 — V l’événement "prendre un bonbon vert". — B l’événement "prendre un bonbon bleu" ; P (B) =

[

2 7 3 + = . 10 5 10 [ [ 3 7 S = . 2. Ensuite, comme V = R B, P (V ) = P (R B) = 1 − P (R B) = 1 − 10 10

1. Les événements B et R sont incompatibles, donc P (R

Exercice 2

B) = P (R) + P (B) =

Dans un sac on a placé trois jetons numérotés 3 ; 4 et 5. On tire au hasard, successive-

ment et sans les remettre dans le sac, tous les jetons du sac. On écrit le nombre qui a comme chiffre des centaines, le premier nombre tiré, comme chiffre des dizaines le deuxième nombre titré, et comme chiffre des unités le troisième nombre tiré. 1. Quelle est la probabilité d’obtenir 453 ? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 453 ? 3. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre multiple de 3 ? 4. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre multiple de 6 ? Solution 2

Arbre de probabilités : b

b

1

4

5

345 et P (345) =

1 6

354 et P (354) =

1 6

435 et P (435) =

1 6

453 et P (453) =

1 6

534 et P (534) =

1 6

543 et P (543) =

1 6

1 2

3 b

1 2

4

5

1 3 b

b

1 b

1 2

4 b

b

1

3

5

b

1 3

1 2

5

3

b

b

1

1 3 b

b

1

3

4

1 2

5 b

1 2

3

4 b

b

1

abc l’événement "tirer le jeton a (a ∈ {3, 4, 5}), puis le jeton b (b ∈ {3, 4, 5} et b 6= a) et enfin le jeton c (c ∈ {3, 4, 5}, c 6= a et c 6= b)". Ces événements sont élémentaires et équiprobables : P (abc) = 16 . 3

1 1. P (453) = . 6 2. P (abc < 453) = P (345) + P (354) + P (435) =

3 1 = . 6 2

3. P (abc = 3 × k avec k ∈ N) = P (345) + P (354) + P (435) + P (453) + P (534) + P (543) = 4. P (abc = 6 × κ avec κ ∈ N) = P (354) + P (534) =

Exercice 3

2 1 = . 6 3

6 = 1. 6

On dispose de deux sacs identiques contenant des boules numérotés de 1 à 5. On tire au

hasard une boule dans chaque sac et on additionne les numéros figurant sur chaque boule. 1. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 3 ? 2. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir une somme supérieure ou égale à 4 ? ab l’événement "tirer la boule a (a ∈ {1, 2, 3, 4, 5}) dans le premier sac et la boule b 1 (b ∈ {1, 2, 3, 4, 5}) dans le second sac". Ces événements sont élémentaires et équiprobables : P (ab) = . 25 1 2 1 + = . 1. P (ab tel que a + b = 3) = P (12) + P (21) = 25 25 25 2.

Solution 3

P (ab tel que a + b < 4) = P (ab tel que a + b = 2

[

ab tel que a + b = 3)

= P (ab tel que a + b = 2) + P (ab tel que a + b = 3) car ab tel que a + b = 2 et ab tel que a + b = 2 sont incompatibles = P (11) + P (12) + P (21) 1 1 1 3 = + + = 25 25 25 25

Exercice 4

On dispose d’une roue de loterie comportant 9 secteurs numérotés de 1 à 9 et d’un sac

qui contient deux boules blanches et trois boules noires. Si la roue de loterie tombe sur un nombre pair alors on tire une boule dans le sac. Quelle et la probabilité de ne pas obtenir de boule ?, d’obtenir une boule blanche ?, d’obtenir une boule noire ? Solution 4 — P l’événement "obtenir un secteur numéroté pair". — I l’événement "obtenir un secteur numéroté impair". — B l’événement "obtenir une boule blanche sachant l’obtention d’un secteur numéroté pair". — N l’événement "obtenir une boule noire sachant l’obtention d’un secteur numéroté pair". Arbre de probabilités : 4

B b

2 5

P b

3 5

4 9

N b

b

5 9

I b

5 — La probabilité de ne pas obtenir de boule est P (I) = . 9 8 4 2 — La probabilité d’obtenir une boule blanche est P (P ) × P (B) = × = . 9 5 45 4 3 4 — La probabilité d’obtenir une boule noire est P (P ) × P (N ) = × = . 9 5 15 Exercice 5

Quelle est la probabilité de n’obtenir qu’une fois le côté pile en lançant trois fois une pièce

de monnaie équilibrée ? Solution 5

P désigne l’obtention de pile ; F désigne l’obtention de face.

abc l’événement "le premier lancer de pièce fournit le résultat a (a ∈ {P, F }), le deuxième lancer de pièce fournit le résultat b (b ∈ {P, F }) et le troisième lancer de pièce fournit le résultat c (c ∈ {P, F })". 1 Ces événements sont élémentaires et équiprobables : P (abc) = . 8 La probabilité de n’obtenir qu’une fois le côté pile en lançant trois fois une pièce de monnaie équilibrée 3 est P (P F F ) + P (F P F ) + P (F F P ) = . 8 Exercice 6

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

— A l’événement "on obtient un roi". — B l’événement "on obtient un as". — C l’événement "on obtient un trèfle". 1. Les événements A et B sont-ils incompatibles ? Et les événement B et C ? Justifie tes réponses. 2. Décrire par une phrase sans négation l’événement contraire de l’événement C. 3. Proposer un événement D incompatible avec l’événement C. 4. Déterminer les probabilités des événements A, B et C. 5. Quelle est la probabilité de l’événement contraire de l’événement C ? 5

6. Donner la probabilité de l’événement D proposé à la question 3.

Solution 6 1. — Les événements A et B sont incompatibles car une carte tirée ne peut être simultanément un as et un roi. — Les événements B et C sont compatibles car une carte tirée peut être simultanément un as et un trèfle : l’as de trèfle. 2. L’événement contraire de l’événement C est C : "on obtient une carte qui n’est pas un trèfle" ou "on obtient un pique, un coeur ou un carreau". 3. Soit D l’événement "on obtient une carte rouge". Les événements C et D sont incompatibles car une carte tirée ne peut être simultanément rouge et un trèfle. 4. Chaque carte a la même probabilité d’être tirée (situation d’équiprobabilité). 1 4 = (formule de Laplace). — Parmi les 32 cartes, 4 sont des rois, donc P (A) = 32 8 4 1 — Parmi les 32 cartes, 4 sont des as, donc P (B) = = (formule de Laplace). 32 8 1 8 = (formule de Laplace). — Parmi les 32 cartes, 8 sont des trèfles, donc P (C) = 32 4 1 3 5. P (C) = 1 − P (C) = 1 − = . 4 4 1 16 = (formule de Laplace). 6. Parmi les 32 cartes, 16 sont rouges, donc P (D) = 32 2 Exercice 7

Une roue de loterie est partagée en six secteurs identiques : un à zéro point, deux à 50

points et trois à 10 points. Un joueur fait tourner la roue et gagne le montant indiqué par l’aiguille. 1. Quelle est la probabilité de ne rien gagner ? 2. Quelle est la probabilité de gagner 10 euros au moins ? Solution 7 — Z l’événement "obtenir un secteur à 0 point". — D l’événement "obtenir un secteur à 10 points". — C l’événement "obtenir un secteur à 50 points". 1. Les secteurs sont identiques, on est donc sur une situation d’équiprobabilité au niveau des secteurs, 1 3 1 2 1 donc P (Z) = , P (D) = = et P (C) = = . 6 6 2 6 3 S 2. La probabilité de gagner 10 euros au moins est P (D Z), soit P (D) + P (Z) = 12 + 31 = 65 car les événements D et Z sont incompatibles.

Exercice 8

Une urne opaque contient 3 boules bleues (B), 2 boules vertes (V). On tire une boule au

hasard, on la remet dans l’urne, puis on tire une deuxième boule au hasard. 6

1. Dessiner l’arbre des probabilités pondéré par les probabilités sous forme décimale. 2. Calculer la probabilité de tirer 2 boules bleues. 3. Calculer la probabilité de tirer 2 boules de même couleur. Solution 8 — B désigne une boule bleue. — V désigne une boule verte. — ab l’événement "tirer une boule a (avec a ∈ {B, V }), puis une boule b (avec b ∈ {B, V })". 1. Arbre des probabilités pondéré par les probabilités sous forme décimale.

B b

P (BB) = 0, 6 × 0, 6 = 0, 36.

0, 6

B b

0, 4

0, 6

V b

P (BV ) = 0, 6 × 0, 4 = 0, 24.

b

B b

P (V B) = 0, 4 × 0, 6 = 0, 24.

0, 4 0, 6

V b

0, 4

V b

P (V V ) = 0, 4 × 0, 4 = 0, 16.

2. La probabilité de tirer 2 boules bleues est P (BB) = 0, 36. 3. La probabilité de tirer 2 boules de même couleur est P (BB

S

V V ) = P (BB) + P (V V ) = 0, 36 +

0, 16 = 0, 52 car les événements BB et V V sont incompatibles.

Exercice 9

On considère deux dés cubiques, l’un rouge et l’autre vert. Chaque face de chaque dé est

numérotée de 1 à 6. On lance simultanément les deux dés. 1. Élaborer un tableau indiquant tous les couples qu’il est possible d’obtenir lors d’un lancer. Combien en existe-t-il ? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir un couple composé des mêmes chiffres ? 3. On s’intéresse maintenant à la somme des nombres apparus lors d’un lancer. (a) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 2 ? (b) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 7 ? (c) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 11 ? 7

(d) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 3, ou plus ?

Solution 9

1. ab l’événement (ou le couple) "le dé rouge donne a (a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}) et le dé vert donne b (b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6})". Ces événements (au nombre de 36) sont élémentaires et équiprobables : 1 P (ab) = . 36 2. La probabilité d’obtenir un couple composé des mêmes chiffres est P (11) + P (22) + P (33) + P (44) + 6 1 P (55) + P (66) = = . 36 6 1 . 3. (a) La probabilité d’obtenir une somme égale à 2 est P (ab tel que a + b = 2) = P (11) = 36 (b) La probabilité d’obtenir une somme égale à 7 est P (ab tel que a + b = 7) = P (16) + P (25) + P (34) + P (43) + P (52) + P (61) =

6 1 . 36 6

(c) La probabilité d’obtenir une somme égale à 11 est P (ab tel que a + b = 11) = P (56) + P (65) = 2 1 . 36 18

(d) La probabilité d’obtenir une somme égale à 3, ou plus est P (ab tel que a + b ≥ 3) = P (ab tel que a + b < 3) = P (ab tel que a + b = 2) = 1 − P (ab tel que a + b = 2) 35 1 = . = 1 − P (11) = 1 − 36 36

Exercice 10

À la rentrée scolaire, on fait une enquête dans une classe de 3ème de 25 élèves. 48% des

élèves ont 14 ans,

1 5

ont 16 ans, les autres ont 15 ans.

1. On interroge au hasard un élève de cette classe et on lui demande son âge. Dessiner l’arbre des possibles, pondéré par les probabilités. 2. Lors de cette enquête, on leur a demandé s’ils utilisaient un sac à dos ou un sac en bandoulière. (a)

1 6

des élèves de 14 ans ont un sac à dos.

(b)

3 8

des élèves de 15 ans ont un sac en bandoulière. 8

(c) 60% des élèves de 16 ans ont un sac à dos. On interroge au hasard un élève de cette classe et on lui demande le type de sac qu’il utilise. (a) Dessiner l’arbre des possibles pondéré par les probabilités en complétant celui de la question 1. (b) Calculer la probabilité de chacun des événements : i. A : "L’élève a 14 ans et un sac à dos" ; ii. B : "L’élève a 15 ans et un sac à dos" ; iii. C : "L’élève a 16 ans et un sac à dos". (c) En déduire la possibilité que l’élève ait un sac à dos. 12 1 5 = 0, 48 des élèves ont 14 ans ; = = 0, 2 des élèves ont 16 ans ; donc Solution 10 48% = 25 5 25 12 5 8 1− − = = 0, 32 des élèves ont 15 ans. 25 25 25 — 14 l’événement "avoir 14 ans". — 15 l’événement "avoir 15 ans". — 16 l’événement "avoir 16 ans". — SD l’événement "utiliser un sac à dos". — B l’événement "utiliser un sac en bandoulière". Arbre des possibles pondéré par les probabilités.

1 6

SD b

14 b

B 5 6 b

0, 48 5 8

SD b

15 b

b

B

0, 32

0, 2

3 8

16

60%

b

SD b

b

B 40% b

1. Voir plus haut. 2. (a)

1 6

des élèves de 14 ans ont un sac à dos. Il résulté de ceci que 1 −

ont un sac en bandoulière. (b)

3 8

1 5 = des élèves de 14 ans 6 6

des élèves de 15 ans ont un sac en bandoulière. Il résulté de ceci que 1 −

15 ans ont un sac à dos. 9

5 3 = des élèves de 8 8

(c) 60% des élèves de 16 ans ont un sac à dos. Il résulté de ceci que 1 − 60% = 40% des élèves de 16 ans ont un sac en bandoulière. (a) Voir plus haut. (b) i. P (A) = P (14

\

SD) = 0, 48 ×

[

B

[

1 = 0, 08. 6 \ 5 ii. P (B) = P (15 SD) = 0, 32 × = 0, 2. 8 \ iii. P (C) = P (16 SD) = 0, 2 × 60% = 0, 12.

(c) P (SD) = P (A

C) = P (A) + P (B) + P (C) = 0, 08 + 0, 2 + 0, 12 = 0, 4 car les événements

A, B et C sont deux à deux incompatibles.

Exercice 11

On considère l’expérience suivante, qui se déroule en 2 étapes : d’abord on tire 1 boule

dans une urne contenant 3 boules blanches (B) et 1 boule noire (N). Ensuite on tire 1 boule dans une autre urne contenant 2 boules numérotées 1, 3 boules numérotées 2 et 2 boules numérotées 3. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. Si on tire une boule blanche, puis une boule numérotée 1, on note (B, 1) le résultat obtenu, etc. 1. Dessine l’arbre des possibles pondéré par les probabilités et note chaque issue possible. 2. Imaginons que l’on reproduise 120 000 fois cette expérience à 2 épreuves. Quelle proportion de ces 120 000 expériences conduisent alors au résultat (B, 1) ? 3. Quelle est la probabilité d’obtenir (N, 2) ? Et (B, 3) ?

Solution 11 1. Arbre des possibles pondéré par les probabilités : — B l’événement "le premier tirage donne une boule blanche". P (B) = 43 . — N l’événement "le premier tirage donne une boule noire". P (N ) = — 1 l’événement "le deuxième tirage donne une boule numérotée 1". — 2 l’événement "le deuxième tirage donne une boule numérotée 2". — 3 l’événement "le deuxième tirage donne une boule numérotée 3".

10

1 4

1 b

2 7 3 7

B b

3 4

2 7

1 4

2 7

2 b

3 b

B1 et P (B1) =

3 2 3 × = 4 7 14

B2 et P (B2) =

3 9 3 × = 4 7 28

B3 et P (B3) =

3 2 3 × = 4 7 14

N 1 et P (N 1) =

1 2 1 × = 4 7 14

N 2 et P (N 2) =

3 3 1 × = 4 7 28

N 3 et P (N 3) =

2 1 1 × = 4 7 14

b

1 b

3 7

N b

2 7

2 b

3 b

2. Imaginons que l’on reproduise 120 000 fois cette expérience à 2 épreuves. D’après la loi des grands nombres, 120 000 fois étant suffisamment grand, la proportion de réalisation 3 de l’événement B1 est voisin de P (B1) = . 14 Les réalisations de l’événement B1 seront donc proches de 25 714 sur les 120 000 expériences réalisées. 3 . 28 3 — P (B3) = . 14

3. — P (N 2) =

11