Probabilités et Biostatistique

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Probabilités et Biostatistique 2 – Variables aléatoires P incipales lois de probabilité Principales p obabilité

PAES Faculté de Médecine P. et M. Curie V Morice V. M i

Variable aléatoire „

Une variable aléatoire désigne la grandeur mesurée lors d'une d une expérience aléatoire „

„

„

Exemples : âge, couleur des yeux

Résultats possibles de l'expérience ⇒ valeurs possibles ibl de d la l variable bl aléatoire lé Types de variables aléatoires „

Si résultats numériques (variable quantitative) „ „

„

V.a. continue : les valeurs couvrent Թ ou un intervalle V.a. discrète : les valeurs sont discontinues (Գ)

Sinon (variable qualitative) „ „

V.a. ordinale : les valeurs sont ordonnées V.a. nominale ou catégorielle : valeurs sans ordre

V. Morice - Biostatistique PAES

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Fonction de répartition „ „

„

„ „

Soit X une v.a. quantitative On cherche une fonction définissant la probabilité de tout intervalle [a p [ ; b]] Soit l’événement [X ≤ x] où x est un nombre Pr ([X ≤ x]) dépend de la valeur x FX(x) ( ) = F( F(x)) = Pr P ([X ≤ x]) ]) = fonction de répartition de X V. Morice - Biostatistique PAES

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Fonction de répartition : premières propriétés „ „ „

FX(-∞) = 0 FX(+∞) ( )=1 a 0) Si X et Y sont N et indépendantes, alors aX+bY est N C particulier Cas ti li N(0 (0 ; 1) ƒ ƒ

Loi centrée (μ = 0) et réduite (σ = 1)

1 − x2 f(x)  =   e 2 2π V. Morice - Biostatistique PAES

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Allure de la loi N(0 ; 1) „ „ „ „ „

„

Courbe de la densité Surface sous la courbe = 1 Loi symétrique Axe de symétrie = espérance Maximum sur l’axe de symétrie Ecart-type = distance entre axe de symétrie et point d inflexion d’inflexion

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Loi N(0 ; 1) et probabilités „

„

„

„

„

Probabilité d’un intervalle = surface sous la courbe Pr (0,5 ≤ X ≤ 2) = 0,312 = surface grisée Calcul = intégration de f(x) ⇒ ??? Des tables numériques donnent les résultats Pr (-2 ≤ X ≤ 2) ≈ 0,95

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Loi N(μ ; σ2) : influence de μ „ „

„

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σ = 1 pour les 3 courbes L’allure de la courbe se conserve si on change de moyenne Il s’agit d’un simple décalage

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Loi N(μ ; σ2) : influence de σ „ „ „ „

„

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μ = 0 pour les 3 courbes La courbe s’aplatit si σա Elle se resserre si σբ Le maximum ss’ajuste ajuste pour que la surface = 1 Le maximum peut dépasser 1

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Loi N(μ ; σ2) et probabilités Soit X→ N(μ ; σ2). On cherche Pr (a ≤ X ≤ b) „ Seule S l N(0 ; 1) estt tabulée t b lé X −μ „ Mais Y = → N(0 ; 1)

σ

„

„ „

O va centrer On t ett réduire éd i pour obtenir bt i la l probabilité b bilité a -μ X -μ b -μ ≤ ≤ Pr(a ≤ X ≤ b) = Pr( ) σ σ σ Posons c = a - μ et d = b - μ σ

σ

Alors Pr (a ≤ X ≤ b) = Pr (c ≤ Y ≤ d) La probabilité sur Y se lit dans la table de la loi normale centrée réduite V. Morice - Biostatistique PAES

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Loi du « chi-deux » „

Famille de lois dérivées de

„

Si X1 →

„

„ „ „ „

2 χ (n)

N(0 ; 1)

N(0 ; 1), alors X = X12 → χ2(1) Si X1, X2, …, Xn → N(0 ; 1) et sont indépendantes, alors X = X12 + X22 + … + Xn2 → χ2(n) n est le nombre de degrés g de liberté ((ddl)) X≥0 E(X) = n, var(X) = 2n La probabilité d’un intervalle est donnée par une table (qui dépend du ddl) V. Morice - Biostatistique PAES

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Allure de la loi du „ „ „

„

2 χ

Exemples avec un ddl n = 1, 2, et 8 Courbes = densités de probabilité Si n > 2, la courbe présente un maximum en n – 2 Si n augmente, la courbe se rapproche d’une loi normale

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Loi de Bernoulli „ „ „ „

„ „

Base des lois discrètes ou qualitatives Expérience é à deux résultats é possibles succès è et échec é Variable de Bernoulli : X(échec) = 0, X(succès) = 1 Pr (succès) è = Pr ([X = 1]) = Π Pr (échec) = Pr ([X = 0]) = 1 – Π E(X) = Π × 1 + (1 - Π) × 0 = Π var(X) = E(X 2) – E(X)2 „ „

E(X 2) = Π × 12 + (1 - Π) × 02 = Π var(X) = Π - Π 2 = Π(1 - Π)

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Loi binomiale B(n, Π) „

„

„

Construite sur n expériences de Bernoulli indépendantes (Π ne change pas entre les épreuves) La variable X est le nombre de succès p parmi les n expériences (valeur entre 0 et n) La p probabilité d’avoir exactement k succès est n! Πk(1−Π)n−k Pr(X =k) = kn Πk(1−Π)n−k = k!(n−k)!

()

( kn) est le nombre de manières d’obtenir k succès parmi n Πk(1-Π)n-k est la probabilité d’en obtenir une

„

E((X) = nΠ ; var((X) = nΠ(1( Π))

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Loi de Poisson „

Loi concernant la réalisation d’événements „ „ „

„ „ „

Faiblement probables (loi des événements rares) Indépendants Exemples : accidents, files d’attente, ruptures de stock

La variable X est le nombre de réalisations de l’événement La loi dépend d’un paramètre λ (λ > 0) La probabilité d d’avoir avoir k réalisations de l’événement l événement rare est k λ λ Pr(X =k) = e

„ „ „

k! LLe nombre b kd de réalisations é li ti varie i entre t 0 ett ∞ (≠ loi l i binomiale) bi i l ) −λ

E(X) = λ ; var(X) = λ ; Pr(X=0) = e Si X1→Poisson(λ1), ) X2→Poisson(λ2), ) X1 et X2 indépendantes, indépendantes alors X=X1+X2 → Poisson(λ1 +λ2) V. Morice - Biostatistique PAES

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Approximations d d’une une loi binomiale B(n, Π) X → B(n, Π)

„

Approximation par une loi normale „

Conditions : nΠ ≥ 5 et n(1-Π) ≥ 5

„

Variable pour ll’approximation approximation Y →

„ „

„

N(nΠ ; nΠ(1 (1- Π))

On a Pr ([X=k]) ≈ Pr ([k - 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5]) Les probabilités Pr([Y n]) sont faibles, mais non nulles ll

Approximation par une loi de Poisson „ „ „

„

Conditions : Π < 0,1 et n ≥ 50 Variable pour l’approximation Y → Poisson(λ = nΠ) On a Pr ([X=k]) ≈ Pr ([Y=k]) L probabilité La b bilité Pr P ([Y > n]) ]) estt faible, f ibl mais i non nulle ll V. Morice - Biostatistique PAES

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Approximation d d’une une loi de poisson par une loi normale „

X → Poisson(λ)

„

Conditions : λ > 25 Variable pour l’approximation Y → N(λ ; λ)

„

On a Pr ([X=k]) ≈ Pr ([k - 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5])

„

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Loi de Poisson et risque sanitaire pas encore observé „ „ „

„

Après 10.000 prescriptions d'un nouveau médicament pas d médicament, d'effet effet indésirable Que se passera-t-il après 1.000.000 prescriptions ? Π = risque individuel d'effet indésirable, inconnu mais faible Sur n individus, si X est le nombre d'effets indésirables observés, X → B(n, Π) „ „

Π faible, n grand : X → Poisson(λ = nΠ) Pr(X=0) ( ) = e-λ = e-nΠ V. Morice - Biostatistique PAES

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Loi de Poisson et risque sanitaire pas encore observé (2) „

„

„

„ „

Que peut-on dire de Π qui soit compatible avec la non observation d'effet indésirable sur n individus ? Règle : il n'est pas raisonnable d'imaginer ne pas observer d'effet indésirable si la probabilité de cette non observation est inférieure à 5% Si X=0 X 0 sur n individus, i di id Pr(X=0)= P (X 0) e-nΠ≥0,05 0 05 ⇒ nΠ ≤ 3 ⇒ Π ≤ 3/n La non observation d'effet indésirable sur n individus est compatible avec un risque individuel Π ≤ 3/n Si n=10000 prescriptions sans effet indésirable, et Π=3/n=3×10-4 „

„

Avec 1.000.000 1 000 000 de prescriptions on ss'attend attend à 300 effets indésirables Ce qui est énorme

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