PROBABILITES ET STATISTIQUES 1) Loi Binomiale (rappels)

Lycée Bernard Palissy Terminale STI2D2

Année 2012-2013 Mr FOUTEL

PROBABILITES ET STATISTIQUES 1) Loi Binomiale (rappels) a) Exemple : En France, la probabilité de la naissance d’un garçon est de p=0,515. Pour une famille de 3 enfants on note X le nombre de garçons. X est une VARIABLE ALÉATOIRE. A l’aide de l’arbre, déterminer la probabilité qu’une famille de 3 enfants ait 3 garçons : P(X=3)= A l’aide de l’arbre, déterminer la probabilité qu’une famille de 3 enfants ait exactement 2 garçons : P(X=2)=

Déterminer la LOI DE PROBABILITÉ de X. Autrement dit, compléter le tableau suivant : k P(X=k)

0

1

1

2

3

b) Définition et résultat : On considère un schéma de Bernoulli formé de n répétitions (indépendantes) d’une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès à l’issue des n épreuves. On dit que X suit la LOI BINOMIALE DE PARAMÈTRES n et p. On le note X B(n; p). On fait un arbre pour n=3 ou S représente le succès et E l’échec.

Déterminer, en fonction de p, la loi de probabilité de X. k

0

1

2

3

P(X=k)

La généralisation du résultat n’est pas simple. S’il y a n répétions alors la probabilité qu’il ait k succès est : n  n  n k où le nombre   se calcule à la machine à l’aide de la touche nCr ou P(X  k)    pk  1  p  k  k  combinaison dans option PROBA. c) Exemples : Calculer à l’aide de votre machine : 7 5   25  2=  4 =  12  =      

2

 3 0=  

d) Exemple : On jette cinq fois un dé. On considère la variable aléatoire X=» le nombre de 6 obtenue à l’issue des cinq lancers ». Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres (cette phrase est à apprendre par cœur pour le bac).

Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux 6 à l’issue des cinq lancers? P  X  2 

Calculer, à la machine, la loi de probabilité de X (on donnera les valeurs à 0,001 près). k

0

1

2

3

4

5

P(X=k) En déduire la probabilité d’avoir au moins un 6 à l’issue des cinq lancers. P  X  1 

Question : Combien de 6 peut-on espérer obtenir à l’issue de 600 lancers de dé ?

e) Définition et résultats : Lorsque l’on répète n fois (de façon indépendante) une même épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p, on a en moyenne p  n succès. Si X est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès à l’issue des n répétitions on dit que l’ESPÉRANCE DE X est p  n et on le note E(X). Autrement dit : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p alors E(X)=np. On admettra que l’écart-type de x est   X   np  1  p .

Si X

n  n k B(n; p) alors P(X  k)    pk  1  p  , k 

E(X)=np et   X   np  1  p f) Exemple : On jette cinq fois un dé. On considère la variable aléatoire X=» le nombre de 6 obtenue à l’issue des cinq lancers ». Déterminer E(X) et   X  .

3

2) Loi uniforme a) Introduction : On va tirer au hasard un nombre réel X entre 0 et 1. Pour cela on met dans une urne dix boules numérotées de 0 à 9, puis on fait une infinité de tirage successif d’une boule avec remise. Par exemple : si les premiers tirages sont 5-3-5-9-0-1 alors le début du nombre tiré est 0,535901… Un tel tirage permet (en théorie) de tirer au hasard un nombre réel de l’intervalle [0 ; 1] (rappel : 0,99999…=1) En supposant qu’un tirage soit réalisable jusqu’au bout, quelle est intuitivement la probabilité que le réel tiré soit le 0,3333333… ? P(X=O,3333333…)=… Quelle est intuitivement la probabilité que le réel tiré soit le O,5 ? P(X=O,5)=… Quelle est intuitivement la probabilité que le réel tiré soit compris entre 0 et 0,5 ? P( 0  X  0,5) =… Quelle est intuitivement la probabilité que le réel tiré soit compris entre 0,3 et 0,4 ? P( 0,3  X  0,4) =…





P X  0; 0, 7  =… Prenons deux réels x 1 et x 2 ( x 1  x2 ) entre 0 et 1. Quelle est intuitivement la probabilité que le réel tiré soit compris entre x 1 et x 2 ? P  x 1  X  x 2  =…

b) Remarques : Dessiner le graphe de la fonction f définie par :  f(x)  0 pour x   ;0  1;   f(x)  1 pour x  0;1   Pour tout réel x 1 et x 2 de a;b avec x 1  x2 la probabilité

P  x 1  X  x 2  est égale à l’aire comprise entre le graphe de f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x= x 1 et x= x 2 .

y 1

-1

0

Ce que l’on peut écrire :

P  x 1  X  x 2  =  1 dx . x2

x1

4

1

2

x

c) Définition : i) Si une variable aléatoire X peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle I, on dit que X est une VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE sur I. ii) Une variable aléatoire X suit la LOI UNIFORME SUR  0; 1  si, et seulement si, pour tout réel x 1 et x 2 de  0; 1  avec x 1  x2 on a P  x 1  X  x 2  =  1 dx . x2

x1

iii) La fonction f s’appelle la DENSITÉ DE PROBABILITÉ de la loi uniforme sur  0; 1  d) Remarques: Puisque P(X= x 1 )=0 et que P(X= x 2 )=0 on peut dire que : P(x1  X  x2 )  P(x 1  X  x2 )  P(x 1  X  x 2 )  P(x 1  X  x 2 ) Autrement dit : Dans la suite, lorsque les variables aléatoires seront continues, on pourra remplacer les inégalités au sens large, comme  , par des inégalités au sens strict, comme < , sans changer la valeur des probabilités. e) Loi uniforme sur un intervalle  2; 7  Généralisons la loi uniforme sur l’intervalle  2; 7  . Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle  2; 7  . La densité de probabilité de X est une fonction constante f  x   c sur  2; 7  . On a P( 2  X  7)=1 donc l’aire « sous la fonction constante » vaut 1. Autrement dit :  7  2   c  1 donc c 

1 1  . 72 5

Pour tout réel x 1 et x 2 de  2; 7  avec x 1  x2 on a x2 1 P  x1  X  x2  =  dx . x1 5 Déterminer P(2  X  3) =

P(2, 9  X  3,4)=

P(3  X  7) =

f) Définition et résultat : Une variable aléatoire X suit la LOI UNIFORME SUR a;b si, et x2 1 dx . seulement si, pour tout réel x 1 et x 2 de a;b avec x 1  x2 on a P  x 1  X  x 2    x1 b  a

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g) Exemple : Vous arrivez à un arrêt de bus. Vous ne connaissez pas son horaire de passage mais vous savez qu’il passe toutes les 15 minutes. On note X votre temps d’attente avant l’arrivée du bus. X est une variable aléatoire qui suit la uniforme sur 0; 15  . Calculer la probabilité que vous attendiez le bus moins de 4 minutes.

P(0  X  4)  Calculer la probabilité que vous attendiez le bus plus de 7 minutes.

P(7  X  15)  Si vous vivez cette situation très souvent, quel est, en moyenne, votre temps d’attente ?

E(X)=

g) Résultat : L’ESPÉRANCE d’une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur a;b est

ab  b  a . Sa Variance est V(X)  E(X)  2 2

2

et son écart-type est (X)  V  X  

ba . 2

h) Exemple : Quelle est la variance et l’écart-type du temps d’attente X du bus de l’exemple précédent.

3) Loi exponentielle a) Définition : Soit  un réel strictement positif. Considérons la fonction f définie sur 0; par f(x)= e x . Soit X une variable aléatoire continue sur 0; dont la loi de probabilité est définie par : Pour tout x 1 et x 2 réels positifs on pose x2

x2

x1

x1

P(x 1  X  x 2 )   f(x)dx   e xdx . On dit que X suit une LOI EXPONENTIELLE DE PARAMÈTRE  . b)Définition : La fonction f définie sur 0; par f(x)= e x s’appelle la DENSITÉ DE PROBABILITÉ de la loi exponentielle. c) Exemple : Considérons la variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre 2. La densité de probabilité de X est : f(x)= Colorier l’aire donnant P(0  X  0,5) et P(X  1,5)

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Calculer P(0  X  0,5)  ...

P(1  X  2)  ...

P(X  1,5)  ...

P(X  1,5)  ...

d) Exemple : Vous achetez une ampoule dont la durée de vie en heure T est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre   0,001 . Calculer la probabilité que la durée de vie de l’ampoule soit comprise entre 800 et 1000h.

P(800  T  1000)  ...

Calculer la probabilité que la durée de vie de l’ampoule soit inférieure à 500h.

P(T  500)  ...

Calculer la probabilité que la durée de vie de l’ampoule soit supérieure à 1000h.

P(1000  T)  ... e) Résultat : L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètres  1 est E  X   .  f) Exemple : Quelle espérance de vie de l’ampoule de l’exemple précédent ?

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4) Loi normale

a) définition :  et  sont des réels avec  >0. Une variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance  et d’écart-type  si sa densité de probabilité est définie sur par : 1 x  2   

  1 f  x  e2  2

Colorier les aires donnant les probabilités données :

1 x  2   

  1 2 e b) Exemples : Voici le graphe de f  x    2

pour différentes valeurs de  et  .

1 x  2   

  1 e2 c) Remarque : Ne sachant pas trouver une primitive de f  x    2 probabilités avec la calculatrice.

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on calcule les

d) Exemple : Votre poule pond des œufs dont le poids X varie à chaque ponte. X est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance  =60g et d’écart-type  =4g. i) Calculer à l’aide de la machine (voir livre p448 pour TI et p453 pour CASIO) la probabilité que l’œuf du jour pèse entre 58 et 62g.

P(58  X  62)  ... ii) Calculer la probabilité que l’œuf du jour pèse moins de 60g.

P(X  60)  ... iii) Calculer la probabilité que l’œuf du jour pèse plus de 57g .

P(57  X)  ... e) Définition et résultats: Si X suit la loi normale d’espérance  et d’écart-type  on le note X N ,   . On a E  X    et (X)   . Cas particulier : La loi normale d’espérance   0 et d’écart-type   1 s’appelle la LOI CENTRÉE RÉDUITE. f) Exemples : i) X suit la loi centrée réduite X N 0; 1  , calculer P      X      . Autrement dit : Calculer P  1  X  1 

ii) X suit la loi normale X N 2;0,1  . Calculer P      X      .

iii) X suit la loi normale X N 0,8;2  . Calculer P      X      .

De même calculer dans chacun des cas P    2  X    2  et P    3  X    3  .

P     X    

P    2   X    2 

X N 0; 1  X N 2;0,1  X N 0,8;2 

9

P    3  X    3 

g) Résultats : Si X N ,   alors on a P      X      0,68

P    2  X    2  0, 95

P    3  X    3  0, 997 .

5) Approximation de la loi binomiale par la loi normale a) Exemple 1 : Considérons X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,4. On a E  X   30  0,4  12 et   X   30  0,4  1  0,4 2,68 . Considérons Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance   12 et d’écart-type   2,68 . On trace l’histogramme de X et la densité de Y. Colorier l’aire correspondant à P(X  10). Colorier l’aire correspondant à P(X  10). Graphiquement on peut dire que P(X  10) P(Y  10). Calculer P(X  10) Calculer P(Y  10) b) Exemple 2 : On jette 100 fois une pièce de monnaie équilibrée. X compte le nombre de Faces obtenue. On a X B(100;0,5). On a E  X   100  0,5  50 et   X   100  0,5  1  0,5   5 . On superpose à l’histogramme de x la densité de Y N 50; 5  . Colorier la partie de l’histogramme qui représente la probabilité que le nombre de Faces soit entre 45 et 55. Colorier la partie du plan correspondant à P(45  Y  55) . Les deux aires sont approximativement égales. C’est-àdire : P(45  X  55) P(45  Y  55) . On dit que l’on approxime la loi binomiale B(100 ;0,5) par la loi normale N(50 ;5). 10

c) Exemple 3 : Dans les exemples qui suivent on a tracé l’histogramme de X





B(n; p) et la densité

de Y N np; np  1  p  . Dire s’il vous semble judicieux d’approximer X





B(n; p) par Y N np; np  1  p  .

d) Résultat : Si n est « grand » et si p n’est « ni trop proche de 0 ni trop proche de 1 » alors la loi binomiale B(n ;p) admet pour approximation la loi normale N   ;   de même espérance et de même écarttype, c’est-à-dire avec   np et   np  1  p . e) Exemple : On jette 100 fois un dé. Quelle est la probabilité que le nombre de 6 obtenue soit compris entre 10 et 20 ? (Pour répondre à la question vous ferez une approximation de la loi binomiale par une loi normale).

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