Probabilités et statistiques

Mathématiques Bac ST2S

Probabilités et statistiques Les probabilités sont souvent considérés comme délicates, voir compliqués, car elles introduisent des notions et des notations spécifique. Pour bien aborder ce chapitre, il faut avoir une idée claire de ces formalisations, les exercices étant souvent des applications directes de formules du cours, plus simples qu’ils n’y paraissent.

1 Probabilités, conditionnement et indépendance a) Vocabulaire On définit P une mesure de probabilité sur les ensembles, appelés événements, de l’univers Ω. Pour un ensemble A quelconque, on a 0 ≤ P(A) ≤ 1 et P(Ω) = 1 Exemple : dé à six faces : Les événements sont, entre autres : A={le résultat est paire} , B={le résultat est strictement supérieur à 4}… On a Ω={1,2,3,4,5,6} l’ensemble de tous les résultats possibles. A={2,4,6} et B={5,6} . Pour deux événements A et B :

Si A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B) b) Conditionnement On définit la probabilité conditionnelle pour deux événements A et B , P(B) ≠ 0 par 𝑃(𝐴⋂𝐵) « Probabilité de A sachant B » : PB(A) = 𝑃(𝐵) Exemple : On reprend l’exemple du dé avec les mêmes A et B : PB(A) = ½ = 0,5 Si le résultat est supérieur à 4 (événement B), il y a alors 1 chance sur 2 pour qu’il soit paire (événement A). c) Indépendance. Intuitivement, deux événements sont indépendants si l’un n’influence pas l’autre, et inversement. Mathématiquement, on dit que les événements A et B sont indépendants si P(A⋂B)=P(A). P(B) On a alors PB(A) = P(A), ce qui veut dire que connaître B ne permet pas de mieux connaître A. Exemple : On reprend les événements A et B du lancé de dé, on montre qu’ils sont indépendants en vérifiant P(A⋂B) = 1/6 = P(A). P(B). On voit donc que le fait que le résultat soit supérieur à 4 (B) ne favorise pas l’apparition de nombre paire (A). Si l’on considère maintenant C = { le résultat est supérieur ou égal à 4} = {4, 5, 6} , on a Pc(A) = 2/3 ≠ P(A), ou P(A). P(C)= 1/4 ≠ P(A⋂C) , A et C ne sont donc pas indépendants.

2 - Statistiques à 2 variables et nuage de points a) Etude fréquentielle, définitions : Fréquence conjointe : rapport entre l’effectif d’une catégorie particulière et l’effectif total. Exemple : les petites boules bleues représentent par rapport au total des boules : 25/149 = 0,16 = 16%

Petites 25 35 60

Bleues Rouges Total

Grosses 38 51 89

Total 63 86 149

Fréquence conditionnelle : le rapport entre l’effectif total d’une catégorie et l’effectif total. Exemple : Les grosses boules représentent 89/149 = 60 % de l’effectif total des boules. b) Construction du nuage de points : On représente chaque point sur un graphique en faisant correspondre pour tout i la valeur xi en abscisse et la valeur yi en ordonné.

xi yi

1,2 2,2

2,6 2,6

3,4 3,4

4,6 4,6

6 5 4 yi 3 2 1 0 1

2

xi

3

4

5