PROBABILITÉS I. LOI DE PROBABILITÉ On réalise des

PROBABILITÉS I. LOI DE PROBABILITÉ On réalise des expériences aléatoires, encore appelées épreuves, qui peuvent être répétées dans des conditions identiques, On connaît l’ensemble des résultats possibles, sans pour autant en prévoir le résultat à priori. On suppose que l’épreuve a un nombre fini n d’issues ou d’éventualités. On les notera e i . On désigne par Ω (oméga) l’ensemble de toutes les issues e i . Ω est appelé l’univers. Ω = {e 1 ; e 2 ; e 3 ; … ; e n} Définition 1 Définir une loi de probabilité sur l’univers Ω, c’est associer à chaque issue e i un réel positif p i , tel que : p1 + p2 + … + pn = 1. n On écrit : ∑ p i = 1 . On lit: « somme pour i variant de 1 à n de p indice i égale 1 ». i=1 On représente souvent une loi de probabilité par un tableau.

issues e i probabilités pi

e1 p1

e2 e3 p2 p3

… …

en pn

Modéliser l’expérience c’est choisir une loi de probabilité sur Ω qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue On admet que, pour des épreuves se prêtant à des expérimentations répétées, les fréquences f i d’apparition de chaque issue x i ont tendance à se stabiliser, lorsque le nombre de répétitions devient grand. C’est la loi des grands nombres. On peut alors modéliser l’expérience en associant à chaque issue e i le réel p i vers lequel semble tendre f i . On a 0  p i  1. Définition 2 On dit que la loi est équirépartie, ou qu’il y a équiprobabilité, 1 lorsque tous les réels p i sont égaux à . n Définition 3 Dans le cas où ei est un réel on définit l’espérance E, la variance V et l’écart type σ n de la loi de probabilité ainsi : E = p1 e 1 + p2 e 2 + … + pn e n =

∑ pi ei

;

i=1 n n V = ∑ p i (e i – E) 2 = ∑ p i e i 2 – E i=1 i=1

2

et

σ= V

II. PROBABILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT Définition 4 Un événement A est une partie, ou un sous-ensemble, de l’univers. Un événement élémentaire est un événement formé d’une seule issue e i . On le note { e i }. On dit que l’issue e i réalise l’événement A lorsque e i appartient à A. Ω est l’événement certain, toutes les issues le réalisent et ∅ est l’événement impossible, aucune issue ne le réalise. 1/2

Définition 5 Une loi de probabilité est définie sur l’univers Ω. La probabilité de l’événement A est la somme des probabilités pi des issues qui le réalisent. On la note p (A). La probabilité de l’événement impossible ∅ est p (∅ ∅) = 0 . La probabilité de l’événement élémentaire {e i} est p ({e i}) = p i , celle de l’événement certain est p (Ω Ω) = 1 propriété 1 Pour tout événement A, 0 £ p (A) £ 1.

Toute probabilité non comprise entre 0 et 1 doit être signalée comme fausse.

propriété 2 Lorsqu’il y a équiprobabilité : p(A) =

nombre de cas favorables nombre d’issues réalisant A = nombre total de cas nombre total d’issues dans Ω

III. ÉVÉNEMENTS A ∩ B , A ∪ B et Ā Définition 6 Soient A et B deux événements de l’univers Ω. • L’événement A et B, noté A ∩ B , est constitué des issues qui réalisent A et B en même temps. •

L’événement A ou B , noté A ∪ B , est constitué des issues qui réalisent au moins l’un des deux événements.

•

Lorsque A ∩ B = ∅ (aucune issue ne réalise A et B en même temps) on dit que A et B sont incompatibles ou disjoints.

propriété 3 1 p (A ∪ B) = p (A) + p (B) – p (A ∩ B ) 2 p (A ∪ B) = p (A) + p (B) si, et seulement si, A et B sont incompatibles. Définition 7 L’événement contraire de A, noté Ā (on lit : « A barre ») est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas A. Le contraire de l’événement impossible ∅ est l’événement certain Ω ( ∅ = Ω ) et vice-versa ( Ω = ∅ ). Un événement A et son contraire Ā sont incompatibles : A ∩ Ā = ∅. propriété 4 p (Ā) + p (A) = 1.

Pour calculer p (A) il est parfois plus facile de calculer p (Ā).

IV. VARIABLES ALÉATOIRES Définition 8 Ω est l’univers associé à une expérience aléatoire. •

Une variable aléatoire X sur l’univers Ω est une fonction définie sur Ω. On considère le cas où les images sont des réels

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La variable X prenant les valeurs x 1 , x 2 , … , x k , on note (X = x i ) l’événement « X prend la valeur x i ». Il contient toutes les issues dont l’image par X est x i .

•

On définit la loi de probabilité de la variable aléatoire X en associant à chaque valeur x i la probabilité p’i = p (X = x i ).

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L’espérance, la variance et l’écart type de cette loi de probabilité sont aussi appelées espérance, variance et écart type de la variable aléatoire X. 2/2