PROBABILITÉS I. LOI DE PROBABILITÉ On réalise des

January 16, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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PROBABILITÉS I. LOI DE PROBABILITÉ On réalise des expériences aléatoires, encore appelées épreuves, qui peuvent être répétées dans des conditions identiques, On connaît l’ensemble des résultats possibles, sans pour autant en prévoir le résultat à priori. On suppose que l’épreuve a un nombre fini n d’issues ou d’éventualités. On les notera e i . On désigne par U l’ensemble de ces n issues e i . U est appelé l’univers. U = {e 1 ; e 2 ; e 3 ; … ; e n} Définition 1

Définir une loi de probabilité sur l’univers U, c’est associer à chaque issue e i

On a toujours

un réel positif pi , tel que p1 + p2 + … + pn = 1.

0  p i.  1

Ce réel p i est appelé probabilité de l’issue e i . On représente souvent une loi de probabilité par un tableau.

issues e i e1 probabilités pi p1

e2 p2

e3 p3

… …

en pn

Exercice 1 On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro porté par la face supérieure. issues e i L’univers est U = { …… La loi de probabilité est donnée par le tableau probabilités pi ci-contre. Définition 2

On dit que la loi est équirépartie, ou qu’il y a équiprobabilité, lorsque toutes les issues ont la même probabilité.

Dans l’exercice 1 la loi est équirépartie. Propriété 1 Si la loi est équirépartie alors chacune des n issues a pour probabilité 1 . n Démonstration

On a p1 + p2 + … + pn = 1 et p1 = p2 = … = pn = p donc n p = 1, soit p = 1 . n

Exercice 2 On dispose d’un dé cubique pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Une étude statistique permet d’observer que les faces de 1 à 5 ont la même fréquence de sortie et que plus le nombre de lancers augmente plus la fréquence de sortie de la face 6 se rapproche de 0.3. Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.

ei pi

II. PROBABILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT Définition 3 Un événement A est une partie, ou un sous-ensemble, de l’univers U . On note : A  U . Vocabulaire

 On dit que l’issue e i réalise l’événement A lorsque e i  A.  U est appelé événement certain, toutes les issues le réalisent.   est appelé événement impossible, aucune issue ne le réalise.

Définition 4 Une loi de probabilité est définie sur l’univers U. La probabilité de l’événement A est la somme des probabilités pi des issues qui le réalisent. On la note p (A). La probabilité de l’événement impossible  est p () = 0 . 1/2

Propriété 2  La probabilité de l’événement certain U est p (U) = 1 .  Pour tout événement A, 0  p (A)  1.

Toute probabilité non comprise entre 0 et 1 doit impérativement être signalée comme fausse.

Exercice 3 On lance le dé pipé de l’exercice 2. 1) Soit A l’évènement « Obtenir un résultat pair ». Compléter. A est réalisé par les issues ……

On peut noter A = {……

La probabilité de l’évènement A est p (A) = …… Si le dé n’est pas pipé alors la probabilité de l’évènement A est p (A) = …… 2) Définir les évènements B = { 1 , 2 } et C = { 4 , 5 , 6 } par une phrase et calculer leur probabilité.

3) Définir par une phrase un événement certain puis un événement impossible.

Propriété 3 Lorsqu’il y a équiprobabilité :

p(A) = nombre d’issues réalisant A = nombre de cas favorables nombre total d’issues dans U nombre total de cas

III. ÉVÉNEMENTS A  B , A  B et Ā Définition 5 Soient A et B deux événements de l’univers U.  L’événement A et B, noté A  B , est constitué des issues qui réalisent à la fois A et B.  L’événement A ou B , noté A  B , est constitué des issues qui réalisent au moins l’un des deux événements.  Lorsque A  B =  (aucune issue ne réalise A et B en même temps) on dit que A et B sont incompatibles ou disjoints. Propriété 4  p (A  B) + p (A  B ) = p (A) + p (B) .  p (A  B) = p (A) + p (B) si, et seulement si, A et B sont incompatibles. Exercice 4 Suite de l’exercice 3. Compléter puis calculer p (A  B) et p (B  C) à l’aide de la propriété 4. A  B est réalisé par ……

donc p (A  B ) = ……

B  C est réalisé par ……

donc p (B  C ) =

A  B = { 2 , 4 , 6 }  { 1 , 2 } = …… B  C = { 1 , 2 }  { 4 , 5 , 6 } = ……

p (A  B) = …… p (B  C) = …… Définition 6

L’événement contraire de l’évènement A est formé de toutes les issues qui ne réalisent pas A. On le note Ā (on lit : « A barre »).

 Le contraire de l’événement impossible  est l’événement certain  (  = U ) et vice-versa ( U =  ).  Un événement A et son contraire Ā sont incompatibles : A  Ā = . Propriété 5 p (Ā) + p (A) = 1

Cette propriété est particulièrement utile pour calculer p (A) lorsque le calcul de p (Ā) est plus simple que celui de p (A) .

Exercice 5 Suite de l’exercice 3. Définir par une phrase les événements Ā et ̅. Calculer p (Ā) et p (̅) à l’aide de la propriété 5

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