PROBABILITES I) Vocabulaire des probabilités II) Calcul des

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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PROBABILITES I) Vocabulaire des probabilités Exemple : Lancer un dé est une expérience aléatoire comportant 6 issues ; l’ensemble Ω de toutes les issues est appelé univers des possibles et est dans cet exemple Ω = {1,2,3,4,5,6}. Langage des ensembles A est une partie de Ω B est un singleton C est égal à Ω D est vide E est la réunion de A et B F est l'intersection de A et G A et B sont disjoints A et H sont complémentaires

Langage des événements A est un événement B est un événement élémentaire C est l’événement certain l’événement D est impossible E est l’événement A ou B

Notation A⊂ Ω

Exemples avec le jet d'un dé « obtenir un nombre pair » : A = {2,4,6} « obtenir 5 » : B = {5}

C=Ω D=∅

« obtenir un résultat compris entre 1 et 6 » « obtenir 7 »

E =A ∪ B

« obtenir 2,4,5 ou 6 » : E = {2,4,5,6} G : « obtenir un multiple de 3 » G = {3,6} F est l’événement A et G F =A ∩ G F : « obtenir 6 » F = {6} A et B sont des A ∩ B= ∅ A : « obtenir un nombre pair » événements incompatibles B : « obtenir 5 » A et B sont des A : « obtenir un nombre pair » événements contraires H : « obtenir un nombre impair » H= A

II) Calcul des probabilités 1) Définition et premières propriétés La probabilité d'un événement A d'un univers Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. p(Ω) = 1 ;

p(∅) = 0 ;

Pour tout événement A : 0 ≤ p(A) ≤ 1.

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité (équiprobabilité), on a : nombre de cas favorables nombre d' éléments de A p(A) = = . nombre de cas possibles nombre d' éléments de Ω 2) Théorèmes a) Si A et B sont deux événements incompatibles, on a : p( A∪B ) = p(A) + p(B) ; b) Pour tout événement A, la probabilité de l’événement contraire A est : p( A ) = 1 − p(A). c) De manière générale, p(AUB) = p(A) + p(B) . p(AVB).

III) Des méthodes 1) Utilisation de schémas, arbres, tableaux : à ne pas négliger... 2) La modélisation de l’expérience aléatoire et de ses issues est indispensable pour mener à bien tout exercice de probabilités ; notamment pour déterminer le nombre d’issues. 3) Principe multiplicatif : • On répète n fois une expérience qui comporte p issues : on définit ainsi une nouvelle expérience aléatoire comportant pn issues (Ex : loto sportif). • Les procédures de classement ou répétition sans remise : 1er exemple : On tire successivement 2 boules d’une urne qui contient 6 boules indiscernables au toucher ; on a 6 possibilités pour la 1 ère, 5 pour la 2 ème, ce qui donne 30 issues possibles. 2ème exemple : Le tiercé relatif à une course avec 13 chevaux au départ, il y a 13×12×11 « combinaisons » possibles. Probabilités

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