Probabilités I. Vocabulaire

January 15, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Probabilités I. Vocabulaire 1°) Expérience aléatoire : Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est déterminé par le hasard. Il ne peut donc pas être prévu à l’avance avec certitude. Exemples: « Pile ou face » , « lancer de dés » , « tirage au sort »,…

2°)Evénement / Evénement élémentaire Un événement est une issue ou un ensemble de plusieurs issues à la suite d’une expérience aléatoire. Un événement est élémentaire lorsqu’il est composé d’une seule issue. Exemple : Lors du jet d’un dé. Il y a 6 issues qui sont les 6 événements élémentaires : { 1,2,3,4,5,6} L’événement A : « Obtenir un chiffre pair » est composé de 3 issues {2,4,6} L’événement B : « Obtenir un chiffre supérieur ou égal à 3 » est composé de 4 issues {3,4,5,6} Les événements A et B sont non élémentaires.

3°) Evénements contraires L’événement contraire d’un événement A est celui que se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note . Exemple : Dans une urne, il y a 3 boules vertes, 5 boules bleues et 7 boules blanches. Tirer au hasard une boule dans l’urne et noter sa couleur est une expérience aléatoire. On note B l’événement « la boule tirée est blanche »". L’événement contraire est « la boule tirée n’est pas blanche " ce qui équivaut à « la boule tirée est verte ou bleue ».

4°) Evénement impossible/ événement certain Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire. Un événement est dit certain s’il se produit nécessairement. Exemple : On jette un dé équilibré à 6 faces. L’événement « obtenir le chiffre 7 » est un événement impossible. L’événement « obtenir le chiffre 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 » est un événement certain.

5°) Evénement incompatible Deux événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Exemples : Lors du lancer d’un dé, soit I l’´événement «obtenir un nombre impair » et soit D l’événement « obtenir 2 » . Les événements I et D sont incompatibles car « obtenir un nombre impair et obtenir 2 » est un événement impossible. Deux événements élémentaires sont incompatibles.

II. Notion de probabilité 1°) Définition Quand une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois, la fréquence d’apparition d’un événement (

) se rapproche d’une valeur particulière qui est la

probabilité de cet événement. Exemples (Issus d’une simulation par ordinateur http://www.intermaths.info/simu.html): Au bout de 20 000 « pile ou face » , les fréquences d’apparition des événements élémentaires se rapprochent de 0,5 Au bout de 20 000 « lancers d’un dé » , les fréquences d’apparition des événements élémentaires se rapprochent de Au bout de 20 000 « lancers de 2 dés » , la fréquence d’apparition de l’événement « obtenir 7 » se rapprochent de 2°) Equiprobabilité Si tous les événements élémentaires d’une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que les événements élémentaires sont équiprobables ou qu’il y a équiprobabilité. Exemples de situations d’équiprobabilité : « Pile ou face » , « lancer de dés » Exemple de situation de non équiprobabilité : « lancer d’un dé pipé».

3°) Propriété : « la probabilité d’un événement est une mesure de ses chances de se réaliser. »  Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est égale au quotient

 La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1  La probabilité d’un événement certain est égale à 1  La probabilité d’un événement impossible est égale à 0.  La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.  Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité. Exemple : P(I ouD) = P(I) + P(D)=  La somme des probabilités d’un événement A et de son contraire est 1 par conséquent pour tout événement A : P( ) =1-P(A).

=

=

4°) Application : On lance 2 dés de couleurs distinctes simultanément Il y a 36 événements élémentaires et on est en situation d’équiprobabilité.

1 2 3 4 5 6

1 (1 ;1) (2 ;1) (3 ;1) (4 ;1) (5 ;1) (6 ;1)

2 (1 ;2) (2 ;2) (3 ;2) (4 ;2) (5 ;2) (6 ;2)

3 (1 ;3) (2 ;3) (3 ;3) (4 ;3) (5 ;3) (6 ;3)

4 (1 ;4) (2 ;4) (3 ;4) (4 ;4) (5 ;4) (6 ;4)

5 (1 ;5) (2 ;5) (3 ;5) (4 ;5) (5 ;5) (6 ;5)

6 (1 ;6) (2 ;6) (3 ;6) (4 ;6) (5 ;6) (6 ;6)

La probabilité d’obtenir une somme égale à 7 est

(Les événement favorables sont en bleu) La probabilité d’obtenir deux dés de même parité est

(Les événements favorables sont soulignés) La probabilité de ne pas obtenir un produit égal à 6 est 1-P(« Obtenir un produit égal à 6 » )= 1-

=

III/ Expériences aléatoires ayant 2 épreuves consécutives et arbre pondéré de probabilités 1°) Représentation des issues avec un arbre pondéré : Illustration : On joue à Pile (P) ou Face (F) avec une pièce bien équilibrée. Ensuite, on fait tourner la roue bien équilibrée ci-dessous et on relève le numéro du secteur qui s'arrête face au repère.

L’arbre des issues possibles est Il ya 6 issues : (P ;1) (P ;2) (P ;3) (F ;1) (F ;2) (F ;3) Chaque issue correspond à une branche complète

L’arbre pondéré des issues possibles est

2°) Propriété (admise) Dans un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités se trouvant sur sa branche complète Exemple : P(« obtenir Pile puis 1 »)=  =

P(« obtenir Face puis 2 »)=  =

IV/ Exercices d’application : P.205 n°20, P.208 n°44, n°45

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