Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

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Exercices

Exercice 1. On jette trois dés non pipés. 1. Calculer la probabilité d’obtenir au moins un 1. 2. Que vaut la probabilité d’obtenir au moins deux faces portant le même chiffre. 3. Calculer la probabilité que la somme des points marqués sur les trois faces soit paire. 4. Montrer que les deux évènements considérés aux questions 2 et 3 sont indépendants. Solution. On considère l’univers Ω = {1, .., 6}3 . Les évènements sont les parties de Ω. Les dés étant non pipé on prend comme probabilité la loi uniforme sur Ω. 1. On considère A l’évènement “au moins un 1 est obtenu”. Il est plus aisé de travailler sur l’évènement contraire “aucun
3 1 n’est obtenu” qui est de cardinal 53 . Le cardinal de A est donc 63 − 53 et sa probabilité est 1 − 56 , environ 0.42. 2. On note B l’évènement “au moins deux faces portent le même chiffre”. L’évènement contraire est “toutes les faces ont un chiffre distinct” et son cardinal est 120 = 6 × 5 × 4. La probabilité cherchée est donc 1 − 5×4 , c’est à dire 62 environ 0.44. 3. On note C l’évènement “la somme des points marqués sur les trois faces est paire”. Cet évènement a lieu dans le cas où deux des trois faces ont la même parité et la troisième est paire. Ayant trois dés, nécessairement deux dés ont la même parité, par conséquent la différence se fait sur le troisième. La probabilité de l’évènement C vaut 1/2. 4. Il suffit de calculer le nombre de cas où la somme des faces est paire et deux faces sont égales. Là encore deux faces B sont les mêmes la parité de la somme se joue sur la dernière face. On en déduit donc que Card (B ∩C) = Card 2 . Par conséquent P(B) P(B ∩C) = = P(B)P(C). 2 Les évènements sont donc indépendants. Exercice 2. On considère les deux situations suivantes : 1. Mon voisin a deux enfants dont au moins une fille. Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon. ? 2. Un autre voisin a deux enfants. Le plus jeune est une fille. Quelle est la probabilité que l’ainé soit un garçon ? Solution. L’ensemble Ω choisi est Ω = {( f , g), (g, f ), ( f , f ), (g, g)} où le premier élément du couple est l’ainé. On suppose que l’on a équiprobabilité. 1. On considère l’évènement F : “mon voisin a deux enfants dont une fille”. Il y a trois cas favorables par conséquent sa probabilité est 43 . On considère l’évènement G : “mon voisin a deux enfants dont un garçon”. Le cardinal de F ∩ G est 2. On cherche la probabilité de l’évènement G sachant l’évènement F ce qui donne donc P(G | F) =

1

P(G ∩ F) 2 = . P(F) 3

2. On note J l’évènement “le plus jeune enfant de mon second voisin est une fille”. La probabilité de cet évènement est 1/2. On note A l’évènement “l’ainé de mon second voisin est un garçon”. Le cardinal de A ∩ J est 1. Par conséquent la probabilité cherchée est P(A ∩ J) 1 P(A | J) = = . P(J) 2 Exercice 3. On jette deux dés non pipés, l’un est blanc l’autre est noir. Soit A l’évènement “le chiffre du dé noir est pair”, B l’évènement “le chiffre du dé blanc est impair” et C l’évènement “les deux chiffres ont la même parité”. Montrer que A et C, A et B, B et C sont indépendants mais que les trois évènements A, B, C ne le sont pas. Solution. On considère des couples (b, n) où b désigne le chiffre du dé blanc et n celui du dé noir. On note Ω l’ensemble de tous ces couples. La situation étant équiprobable on considère la probabilité uniforme. 1. L’ensemble Ω est {1, .., 6} × {1, .., 6} de cardinal 36. 2. L’ensemble A est {1, .., 6} × {2, 4, 6} de cardinal 18. 3. L’ensemble B est {1, 3, 5} × {1, .., 6} de cardinal 18. 4. L’ensemble A ∩ B est {1, 3, 5} × {2, 4, 6} de cardinal 18. 5. L’ensemble C est ({1, 3, 5} × {1, 3, 5}) ∪ {2, 4, 6} × {2, 4, 6}) de cardinal 18. 6. L’ensemble A ∩C est {1, 3, 5} × {1, 3, 5} de cardinal 9. 7. L’ensemble B ∩C est {2, 4, 6} × {2, 4, 6} de cardinal 9. 8. L’ensemble A ∩ B ∩C est vide. Ainsi nous avons P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 et

1 P(A ∩ B) = P(A ∩C) = P(B ∩C) = . 4 Les couples d’évènements (A, B), (A,C) et (B,C) sont donc indépendants. Cependant, les trois évènements ne sont pas tous les trois indépendants puisque le produit des trois probabilités est non nul alors que la probabilité de l’intersection est nulle. Exercice 4 (Problème des rencontres). On considère n boules numérotées de 1 à n que l’on met dans n boîtes numérotées elles aussi de 1 à n. 1. Donner un modèle probabiliste associé au problème. 2. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une coïncidence entre le numéro de la boîte et le numéro de la boule ? Quelle est sa limite lorsque n → ∞ ? 3. Quelle est la probabilité pour qu’il n’y ait aucune coïncidence ? Solution. Commençons par donner un modèle probabiliste. On note le résultat d’une expérience par un vecteur [(1, σ(1)), .., (n, σ(n))] où pour un couple (k, σ(k)) correspond à : la boule numéro σ(k) est dans la boîte numéro k. L’application σ est une permutation. L’univers considéré est donc Ω = {[(1, σ(1)), .., (n, σ(n))] | σ permutation} Son cardinal est n! L’ensemble des évènements considéré est A = P (Ω). Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité, par conséquent la probabilité à choisir est la loi uniforme. Soit A l’évènement “il y a au moins une coïncidence entre le numéro de la boule et celui de sa boîte”. On note Ai l’évènement “la boîte i contient la boule i.” Par conséquent, A = ∪ni=1 Ai et la probabilité de A découle de la formule de Poincaré : n

P(∪nk=1 Ak ) =

∑ (−1)k−1 k=1

∑

1≤i1 ≤...≤ik ≤n

2

P(Ai1 ∩ ... ∩ Aik ).

Soient k ∈ {1, . . . , n}, et i1 ,...,ik tels que 1 ≤ i1 ≤ ... ≤ ik ≤ n. P(Ai1 ∩ ... ∩ Aik ) = on en déduit donc

Card (Ai1 ∩ ... ∩ Aik ) (n − k)! = Card (Ω) n!

n

P(∪nk=1 Ak ) =

∑ (−1)k−1Cnk k=1

n 1 1 (n − k)! = ∑ (−1)k−1 → 1 − . n! k! e k=1

L’évènement “il n’y a aucune coïncidence” est l’évènement contraire du précédent, sa probabilité est donc 1 − P(A) c’est à dire ∑nk=0 (−1)k k!1 qui tend vers 1e . Exercice 5 (Le paradoxe du chevalier de Méré). Le chevalier de Méré est un personnage marquant de la cour de Louis XIV qui avait “très bon esprit, mais n’étais pas très bon géomètre” (cf lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654). Ce personnage était toujours à la recherche de règles cachées lui permettant d’avoir un avantage sur ses adversaires. Voici deux de ses règles. 1. Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un 6 en lançant un dé 4 fois de suite. 2. Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un double six en lançant deux dés 24 fois de suite. Qu’en pensez vous ? Quelle faute de raisonnement a pu faire le chevalier, quel est le paradoxe ? Solution. 1. Pour la première règle on considère l’ensemble Ω = {1, ..., 6}4 avec la loi uniforme. On considère l’évènement A : “avoir au moins un 6”. En utilisant l’évènement contraire nous obtenons que sa probabilité est  4 5 1 1− ' 0.5177 > . 6 2 Le chevalier a donc raison. 2. Pour la seconde règle on considère Ω = ({1, ..., 6} × {1, ..., 6})24 , avec la loi uniforme. On considère l’évènement A : “avoir au moins un double 6 sur 24 lancés de deux dés”. En utilisant l’évènement contraire nous obtenons que sa probabilité est 

35 1− 36

24

1 ' 0.4914 < . 2

Le chevalier a tort. Exercice 6 (Le problème des trois portes). Vous êtes à un jeu télévisé et le présentateur vous montre trois portes A, B et C. Dérrière une de ces portes il y a un cadeau. Derrière les autres portes il n’y a rien. Vous choisissez la porte A, le présentateur ouvre la porte B derrière laquelle il n’y a rien. Le présentateur vous propose alors de changer votre porte. Que faîtes vous ? On ne cherchera pas à construire un modèle probabiliste associé à la situation. On le suppose construit et on raisonne avec. Solution. On note A, B, C les trois portes et A (resp B et C) les évènements “le cadeau est derrière la porte A (resp B, C)”. La probabilité de ces trois évènements est P(A) = P(B) = P(C) = 1/3. Soit E l’évènement “le présentateur ouvre la porte B”. On doit donc examiner les probabilités P(A | E) et P(C | E). Pour cela on utilise les formules P(A ∩ E) P(E | A)P(A) P(A | E) = = , P(E) P(E) et de même P(C | E) =

P(C ∩ E) P(E | C)P(C) = . P(E) P(E)

Si le cadeau est effectivement derrière la porte A alors le présentateur a le choix entre les portes B et C, on en déduit donc que P(E | A) = 1/2. Si la voiture est effectivement derrière la porte C alors le présentateur ne peut que choisir la porte B car il ne peut ouvrir la porte A. Par conséquent P(E | C) = 1. 3

Enfin, lévènement E ne peut se produire si le cadeau est derrière la porte B. Par conséquent P(E | B) = 0. Les évènements A, B et C forment un système complet. On calcule donc P(E) par la formule 1 P(E) = P(E | A)P(A) + P(E | B)P(B) + P(E | C)P(C) = . 2 Ainsi, P(A | E) = 1/3 et P(C | E) = 2/3 et il y a donc tout intérêt à changer de porte. Exercice 7. On considère un de nos étudiants du cours de probabilité. Quand on téléphone chez lui, entre 18h et 19h, on a neuf chances sur dix de tomber sur son répondeur. Lorsqu’il est présent chez lui, il utilise son répondeur deux fois sur trois, précisément lorsqu’il travaille ses cours et ne souhaite pas être dérangé. Quand il est absent, il utilise toujours son répondeur. On ne cherchera pas à construire un modèle probabiliste associé à la situation. On le suppose construit et on raisonne avec. 1. Calculer la probabilité pour qu’il soit là chez lui entre 18h et 19h. 2. On tombe sur le répondeur, calculer la probabilité pour qu’il soit présent en train de travailler. Solution. On considère les évènements A : “tomber sur le répondeur” et B : “l’étudiant est présent”. On note B l’évènement, “l’étudiant est absent” D’après l’énoncé nous avons les probabilités suivantes : P(A) =

9 2 , P(A | B) = , P(A | B) = 1. 10 3

1. Par la décomposition A = (A ∩ B) t (A ∩ B) nous obtenons P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(B)P(A | B) + (1 − P(B))P(A | B). Par conséquent on a 9 2 = P(B) + 1 − P(B) 10 3 donc P(B) =

3 10 .

2. On calcule P(B | A) =

P(B ∩ A) P(B)P(A | B) 2 = = . P(A) P(A) 9

Exercice 8. Montrer que si l’on tape de manière aléatoire une infinité de fois sur une machine à écrire avec probabilité 1, votre roman préféré sera tapé une infinité de fois. Solution. On considère le modèle probabiliste (Ω, A , P) associé à l’expérience où Ω est constitué de l’ensemble des écrits (infinis !) possibles et A est l’ensemble des parties de Ω. Soit R votre roman préféré et L le nombre de caractères le constituant. On considère Rk l’évènement consistant en le fait que le roman soit écrit entre les caractères (k − 1)L + 1 et kL. Ces évènements sont indépendants et ont la même probabilité, d’où ∑ P(Rn ) = ∞. Par le lemme de Borel-Cantelli, avec une probabilité égale à 1, une infinité d’évènements Rk vont se produire. Autrement dit votre roman sera tapé une infinité de fois ! Exercice 9 (Modèles statistiques. Boules et urnes). On considère le problème de la répartition de r boules dans n urnes et l’on suppose les répartitions équiprobables. Cependant on obtient diverses situations suivant que l’on considère les boules et les urnes discernables ou indiscernables. Tous les modèles ci-dessous sont utilisés en mécanique statistique. 1. Boules et urnes sont discernables (modèles de Maxwell-Boltzmann). (a) Proposer un modèle. Quel est le cardinal de Ω ? (b) Calculer la probabilité de l’évènement Ai : “la i-ème urne est vide”. (c) Calculer la probabilité de l’évènement B “chaque boîte contient au plus une boule”. (d) Calculer la probabilité de l’évènement Cik : “la i-ème urne contient exactement k boules”. (e) Calculer la probabilité de l’évènement A “parmi m urnes fixés à l’avance, aucune n’est vide” 4

(f) On considère des entiers (k1 , ..., kn ) avec k1 + ... + kn = r. Calculer la probabilité d’avoir k1 boules dans l’urne 1, ... , kn boules dans l’urne n. 2. Boules indiscernables et urnes discernables (modèle de Bose-Einstein) (a) Proposer un modèle. Quel est le cardinal de Ω ? (b) Calculer la probabilité de l’évènement Ak : “une urne fixée contient exactement k boules”. 3. Boules indiscernables, urnes discernables et impossibilité d’avoir deux ou plus de deux boules dans une même urne (modèle de Fermi-Dirac) (a) Proposer un modèle. Quel est le cardinal de Ω ? (b) Calculer la probabilité de l’évènement A1 : “une urne fixée contient exactement une boule”.

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