PROBABILITES (RAPPELS) 1) Expérience aléatoire Une

PROBABILITES (RAPPELS) 1) Expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est dû au hasard, dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat, mais dont on connaît l'ensemble des résultats possibles, ou issues. Dans un premier temps, nous ne considèrerons que des expériences ayant un nombre fini d’issues. L’ensemble des issues est l’univers, généralement noté Ω. 2) Evénements a) Définition Un événement A est une partie de l’univers. On dit que A est réalisé quand le résultat de l’expérience aléatoire appartient à A. Un événement élémentaire est un événement ayant un seul élément, c'est-à-dire formé d'une seule issue. ∅ est l'événement impossible, aucune issue ne le réalise. Ω est l'événement certain, toutes les issues le réalisent. Exemple : on tire une carte dans un jeu de 32 cartes. L'univers Ω est l'ensemble des 32 cartes du jeu. On peut considérer les événements : A : "la carte tirée est une dame" B : "la carte tirée est une carte de carreau" C : "la carte tirée est noire" D : "la carte tirée est une figure" E : "la carte tirée est le roi de coeur". Chacun de ces événements peut être assimilé à une partie de l'univers. b) Evénements contraires Soit A un événement associé à une expérience aléatoire. L'événement contraire de A, noté A , est formé de toutes les issues n'appartenant pas à A. c) Intersection et réunion d'événements Soit A et B deux événements du même univers (c'est-à-dire relatifs à la même expérience aléatoire). A∩B (intersection de A et B) est réalisé lorsque A et B sont réalisés ; A∩B est formé des issues qui appartiennent à la fois à A et à B. A∪B (réunion de A et B) est réalisé lorsque A ou B est réalisé, c'est-à-dire lorsque l'issue de l'expérience aléatoire appartient à au moins l'un des deux événements A ou B (elle appartient alors à A et pas à B, ou à B et pas à A, ou à la fois à A et à B). Exemple :

3) Probabilité a) Loi faible des grands nombres Lorsqu’on répète l’expérience aléatoire un très grand nombre de fois, les distributions des fréquences obtenues (c'est-à-dire, pour chaque issue, le rapport entre le nombre de fois que cette issue a été obtenue et le nombre total d'expériences) se rapprochent de nombres p1 , p2 ,..., pn associés aux différentes issues e1, e 2, ..e n , appelés probabilités de ces issues, et tels que . 0 pi1 b) Loi de probabilité Définir une loi de probabilité sur un univers fini Ω = {e1, e2, .. en } , c'est associer à chaque issue ei n

∑ pi=1

(1 ≤ i ≤ n) sa probabilité pi, avec 1 pi1 et

.

i=1

Une loi de probabilité est souvent résumée par un tableau (sur la première ligne les issues, sur la deuxième les probabilités associées). pi est aussi la probabilité de l'événement élémentaire {ei } . c) Paramètres d'une loi de probabilité On garde les mêmes notations ; on suppose de plus que les issues e1, e 2, ..e n sont des nombres réels. n

L' espérance de la loi de probabilité est :

=∑ p i ei . i=1

n

La variance de la loi de probabilité est :

V =∑ pi ei − i =1

L' écart type de la loi de probabilité est :

2

n

ou encore

V =∑ pi e2i −2 . i =1

=  V .

d) Probabilité d’un événement La probabilité p ( A) d'un événement A est égale à la somme des probabilités des issues appartenant à A, c'est-à-dire la somme des probabilités des événements élémentaires dont A est la réunion. Cas particuliers p ∅=0 ; p =1 . e) Loi équirépartie Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité p, la loi est appelée loi équirépartie ; on dit qu'on est en situation d'équiprobabilité. 1 Alors p= (avec n nombre total d'issues) et, si A est un événement comportant k éléments, n k p  A= . n f) Propriétés Si A et B sont deux événements du même univers :

p  A∪B= p A p B− p  A∩B.

Si de plus A∩B=∅ , on dit que A et B sont incompatibles (ou disjoints), et on a : p  A∪B= p A p B p ( A) = 1 − p( A) .

4) Variable aléatoire a) Exemple On lance un dé à 4 faces non truqué et une pièce équilibrée. Si on obtient au dé le 1 on perd 1€, le 3 on gagne 3€ et le 2 ou le 4 on gagne 4€. Si on obtient pile on perd 2€, et face on gagne 2€. Soit X le gain (algébrique) du joueur. Les valeurs possibles de X sont :

Leurs probabilités sont :

b) Définition Une variable aléatoire X associe à une issue ei un nombre réel xi = X (ei ) . On définit la loi de probabilité de X à partir de la loi de probabilité définie sur Ω . c) Espérance mathématique, variance, écart type d'une variable aléatoire x 1, x 2, .. x m est :

L' espérance de la variable aléatoire X prenant les valeurs m

E  X =∑ xi p  X = xi  . i=1

m

La variance de la variable aléatoire X est :

V  X =∑ p X = xi  xi−E  X 2 ou encore i=1

m

V  X =∑ p X = xi  x 2i −E  X 2 . i=1

L' écart type de la variable aléatoire X est : Ex :

 X = V  X  .