Probabilités - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015

Espaces probabilisés finis Dans tout ce chapitre l’univers observable Ω ou espace des états sera un ensemble fini. En deuxième année, Ω pourra être dénombrable.

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Le langage des probabilités

Comme Ω est fini, un évènement est une partie de Ω. Un évènement élémentaire est un singleton de Ω. On dit qu’un évènement A est réalisé s’il existe ω ∈ Ω tel que ω ∈ A. On note A, l’évènement contraire de A. Si A et B sont deux évènements tels que A ⊂ B, la réalisation de A implique celle de B. Des évènements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent être réalisés simultanément. Un système complet d’évènements de Ω est une partition de Ω. Le couple (Ω, P(Ω)) est un espace probabilisable.

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Espaces probabilisés

On considère une expérience aléatoire dont l’univers est Ω. On va attribuer à chaque évènement élémentaire un nombre positif qui mesure le «degré de vraisemblance» de cet évènement. 1. Notion de probabilité : Définition 1 (Probabilité sur un univers fini) Une probabilité P sur Ω fini est une application de P(Ω) à valeurs positives telle que P (Ω) = 1 et additive i.e. si A et B sont incompatibles, on a P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Un espace probabilisable muni d’une probabilité est un espace probabilisé. Proposition 2 (Propriétés d’une probabilité) Soit P un probabilité sur Ω. On a : • Si A1 , . . . , An sont 2 à 2 disjoints, on a : P (A1 ∪ . . . ∪ An ) = P (A1 ) + · · · + P (An ). • P (A) = 1 − P (A),

P (∅) = 0

• P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) • Croissance :

A ⊂ B ⇒ P (A) 6 P (B)

• Formule du crible : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). Remarque : il faut connaître la formule du crible pour 3 évènements. 2. Construction de probabilités : Pour définir une probabilité P sur un univers fini Ω = {w1 , · · · , wn }, il faut et il P suffit d’attribuer une n probabilité pi (un réel positif) à chaque évènement élémentaire {wi } de sorte que i=1 pi = 1. Dans ce cas, pour tout évènement A, on a : P (A) =

n X i=1

wi ∈A

pi =

X

P ({w})1A (w).

w∈Ω

3. L’équiprobabilité : c’est lorqu’on munit (Ω, P(Ω)) de la probabilité uniforme, c’est à dire de l’unique probabilité pour laquelle tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, dans ce cas P (A) = Card A . Card Ω Les calculs de probabilité se ramènent alors à des calculs de dénombrement.

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Probabilités conditionnelles 1. Définition : Définition 3 si A est un évènement de l’espace probabilisé (Ω, P(Ω), P ) et si P (A) 6= 0, la probabilité de B sachant A est P (A ∩ B) PA (B) = . P (A) Proposition 4 L’application PA est une probabilité sur (Ω, P(Ω)). 2. Formule des probabilités composées : le plus souvent , on calculera P (A ∩ B) à partir de PA (B) et de P (B) grâce à la formule P (A ∩ B) = P (A)PA (B) (avec P (A) 6= 0). Cette formule se généralise. Proposition 5 Soit A1 , . . . , An des évènements tels que P (A1 ∩ . . . ∩ An−1 ) 6= 0, alors P (A1 ∩ . . . ∩ An−1 ) = P (A1 )PA1 (A2 ) . . . PA1 ∩...∩An−1 (An ). 3. Formule des probabilités totales : Proposition 6 si A1 , . . . , An est un système complet d’évènements non négligeables (P (Ai ) 6= 0), P (B) =

n X

P (B ∩ Ai ) =

i=1

n X

P (Ai )PAi (B).

i=1

4. Formule de Bayes ou de probabilité du passé : cette formule permet de calculer la probabilité d’un évènement passé sachant le présent. Vous devez absolument savoir retrouver cette formule : si B est un évènement (du présent) avec P (B) 6= 0 et si A1 , . . . , An est un système complet avec P (Aj ) 6= 0 (évènement passé) pour un certain j, alors PB (Aj ) =

P (Aj )PAj (B) P (B ∩ Aj ) = Pn . P (B) i=1 P (Ai )PAi (B)

5. Notion d’arbre de probabilités et règles : un arbre comporte des branches et des noeuds. (a) La somme des probabilités marquées sur des branches qui partent d’un même noeud vaut 1. (b) La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités marqués sur ses branches (formule des probas composées). (c) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement (formule des probas totales).

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Indépendance d’évènements 1. Indépendance de deux évènements : Définition 7 Deux évènements A et B sont dits indépendants si P (A ∩ B) = P (A)P (B) (on voit donc que la notion d’indépendance dépend du choix de la probabilité). Remarques : • si P (A) 6= 0 c’est équivalent à PA (B) = P (B) (la réalisation de A n’influe pas sur la réalisation de B). • Attention : ne pas confondre évènements indépendants et incompatibles. Proposition 8 si A et B sont indépendants les évènements A et B, A et B, A et B sont indépendants. 2. Indépendance d’une famille d’évènements :

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Définition 9 Des évènements A1 , . . . , An sont dits mutuellement indépendants si pour toute partie I de J1, nK, on a : Y P (∩i∈I Ai ) = P (Ai ). i∈I

Proposition 10 Des évènements mutuellement indépendants sont 2 à 2 indépendants mais la réciproque est fausse. Proposition 11 Si les évènements A1 , . . . , An sont mutuellement indépendants (resp. 2 à 2 indépendants), alors les évènements Bi = Ai ou Ai sont mutuellement indépendants (resp. 2 à 2 indépendants). Remarque : situation d’indépendance : répétition de manière «indépendante» d’une même expérience : on lance n fois une pièce équilibrée, ou des tirages avec remise, ou des joueurs sans psychologie ou qui ne fatiguent pas..