probabilités sur un ensemble fini

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Chapitre 11: P ROBABILITÉS

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P ROBABILITÉS SUR UN ENSEMBLE FINI V OCABULAIRE PROBABILISTE Expérience aléatoire : toute expérience dont le résultat est soumis au hasard. Epreuve : expérience pouvant être répétée dans des conditions identiques. Eventualité ou issue : tout résultat possible de l’expérience. Univers : ensemble des éventualités, souvent noté Ω. Evénement : toute partie A de l’univers ; A est dit réalisé si le résultat de l’expérience appartient à A. Evénement élémentaire : tout événement réduit à un seul élément (singleton) ; si Ω est fini et de cardinal n, il y a n événements élémentaires. Ω est appelé événement certain ; ∅ est appelé événement impossible. Si A est un événement quelconque, le complémentaire de A dans Ω, c’est-à-dire l’ensemble des éléments appartenant à Ω et n’appartenant pas à A, est appelé événement complémentaire de A et noté A (si A est réalisé, A ne l’est pas, et inversement). A et B sont des événements incompatibles si A ∩ B = ∅ (« A et B est impossible ») ; deux événements élémentaires distincts sont donc incompatibles. Exemple 1 Un professeur peu scrupuleux lance un dé à vingt faces (à titre culturel, un polyèdre régulier à 20 faces s’appelle un icosaèdre) afin de mettre ses notes de bac blanc à ses élèves. Sur un tel dé, les faces sont numérotées de 1 à 20. Quelles sont les éventualités de l’expérience ? Quel est l’univers de l’expérience ? Les éventualités (ou issues) sont donc : 1, 2, 3, 4,..., 19, 20. L’univers (souvent noté Ω est l’ensemble des éventualités, soit Ω = {1, 2, 3, ..., 20}. Décrivons les événements A « la note est supérieure à 15 » et B « la note est un multiple de 6 » (les événements sont ici décrits concrètement en français). D’après la définition, un événement (en langage ensembliste) est une partie de l’univers. Ici, A = {15, 16, 17, 18, 19, 20} et B = {6, 12, 18}. L’événement A ∩ B est donc A ∩ B = {18}. Concrétement (en français), l’événement A ∩ B est « la note est supérieure à 15 et est un multiple de 6 ». L’événement A ∪ B est donc A ∪ B = {6, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. Concrétement (en français), l’événement A ∪ B est « la note est supérieure à 15 ou est un multiple de 6 ». L’événement contraire de A, noté A est A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}, soit en français A « la note est strictement inférieure à 15 ». Quels sont les événements élémentaires ? D’après la définition, les événements élémentaires sont les singletons (en langage ensembliste). Il y a donc 20 événements élémentaires : A 1 = {1}, A 2 = {2}, A 3 = {3},..., A 20 = {20}. Concrètement en français, l’événement A 11 est « la note est 11 » mais aussi « la note est comprise entre 10,5 et 11,5 » ou encore « la note est multiple de 11 ». Les événements « la note est supérieure à 21 », « la note est égale à 13,5 », « la note est égale à 0 », sont des événements impossibles. Les évenements « la note est inférieure à 20 », « la note est supérieure à 0 », « la note est un nombre entier », sont des événements certains. Considérons l’événement C « la note est un multiple de 5 ». C = {5, 10, 15, 20}. Les événements C et B sont incompatibles : la note, étant comprise entre 1 et 20, ne peut pas être à la fois un multiple de 6 et un multiple de 5. En langage ensembliste, B ∩C = {6, 12, 18} ∩ {5, 10, 15, 20} = ∅. Exemple 2 Une urne contient 5 boules, indiscernables au toucher, dont trois rouges notés R 1 , R 2 , R 3 et deux jaunes J 1 , J 2 . On tire simultanément 2 boules de l’urne : le résultat s’exprime donc sous la forme d’une paire de type {J 2 , R 1 }, l’ordre n’ayant aucune importance. L’univers est donc l’ensemble des éventualités suivantes : {R 1 , R 2 }, {R 1 , R 3 }, {R 1 , J 1 }, {R 1 , J 2 }, {R 2 , R 3 }, {R 2 , J 1 }, {R 2 , J 2 }, {R 3 , J 1 }, {R 3 , J 2 }, {J 1 , J 2 }. Remarque : card(Ω) = 10, pouvait-on prévoir ce résultat ? Le nombre de façons de prendre 2 boules parmi 5 simultané5! ment est le nombre de façons de prendre 2 éléments parmi 5 sans tenir compte de l’ordre, c’est donc C 52 = = 10. © ª 3!2! Considérons l’événement A « on a tiré deux boules rouges ». Concrètement, A = {R 1 , R 2 }; {R 1 , R 3 }; {R 2 , R 3 } . Remarque : card(A) = 3, pouvait-on prévoir ce résultat ? Le nombre de façons d’obtenir 2 boules rouges est le nombre de

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façons de prendre 2 boules parmi les 3 boules rouges, c’est donc C 32 = 3. © ª Considérons l’événement B « on a tiré deux boules jaunes ». Concrètement, B = {J 1 , J 2 } .

Considérons l’événement C « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ». Concrètement, © ª C = {R 1 , J 1 }; {R 1 , J 2 }; {R 2 , J 1 }; {R 2 , J 2 }; {R 3 , J 1 }; {R 3 , J 2 } . Remarque : card(C ) = 6 ; ici aussi, pouvait-on prévoir ce résultat ? Obtenir 2 boules de couleurs différentes c’est prendre une boule rouge parmi les trois (C 31 possibilités) et une boule jaune parmi les deux (C 21 possibilités), le nombre de façons de prendre 2 boules de couleurs différentes est donc C 31 ×C 21 = 3 × 2 = 6. Exercice 3 On lance deux dés cubiques (l’un bleu et l’autre rouge). Le résultat d’un tirage s’exprime sous la forme d’un couple (x; y) où x est le numéro obtenu avec le dé bleu et y le numéro obtenu avec le dé rouge. Contrairement à l’exemple précédent, ici il faut tenir compte de l’ordre : (2; 3) 6= (3; 2). a) Décrire l’univers Ω d’une telle expérience (autrement dit tous les couples possibles. . .) à l’aide d’un tableau à double entrée. b) Décrire les événements suivants : A : « les deux faces obtenues ont un numéro pair » ; B : « les deux faces obtenues ont des numéros dont la différence (en valeur absolue) est 1 » ; C : « la somme des numéros des deux faces est 4 » ; D : « le produit des numéros des deux faces est 28 ».

D ÉFINITION D ’ UNE PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE FINI Soit un univers non vide Ω = {e 1 , e 2 , . . . , e n } (n ∈ IN∗ ). On appelle probabilité sur Ω toute fonction P de P (Ω) (ensemble des parties de Ω) dans IR (en fait dans [ 0 ; 1 ]) définie par : (i) P (∅) = 0. (ii) La donnée de n réels positifs p 1 , p 2 , . . ., p n de somme 1, p i = P ({e i }), appelés probabilités des événements élémentaires. (iii) La probabilité d’un évenement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent (dont il est la réunion). Exemple 4 On lance un dé cubique à 6 faces. Les éventualités sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. L’univers est donc Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Les événements élémentaires sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. L’événement A « obtenir un nombre pair » est {2, 4, 6}, A = {2, 4, 6}. L’événement B « obtenir un multiple de 3 » est B = {3, 6}. L’événement C « obtenir un multiple de 6 » est un événement élémentaire, C = {6}. On peut définir une loi de probabilité p sur l’ensemble des parties de Ω de la façon suivante (il s’agit de définir les 1 1 1 1 1 1 probabilités des événements élémentaires) : p({1}) = ; p({2}) = ; p({3}) = ; p({4}) = ; p({5}) = ; p({6}) = . 6 6 6 6 6 6 On vérifie bien que p({1}) + p({2}) + p({3}) + p({4}) + p({5}) + p({6}) = 1. Cette loi de probabilité a un « sens » si le dé est bien équilibré. Imaginons cette fois que le dé soit truqué, que les nombres 1 et 2 sortent à peu près autant de fois l’un que l’autre (lorsque l’on fait beaucoup de lancers du dé), que les nombres 3, 4, 5 et 6 sortent à peu près autant de fois les uns que les autres et qu’enfin le nombre 1 sorte à peu près deux fois plus que le nombre 3. On peut alors définir une loi de probabilité p 0 1 1 1 1 1 1 sur notre univers de la façon suivante : p 0 ({1}) = ; p 0 ({2}) = ; p 0 ({3}) = ; p 0 ({4}) = ; p 0 ({5}) = ; p 0 ({6}) = . On vérifie 4 4 8 8 8 8 bien que p 0 ({1}) + p 0 ({2}) + p 0 ({3}) + p 0 ({4}) + p 0 ({5}) + p 0 ({6}) = 1. Déterminons les probabilités des événements A, B et C dans le premier cas où le dé est bien équilibré et où P (Ω) est muni de la loi p. D’après la définition, la probabilité de l’événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent A donc (par définition) p(A) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = 16 + 16 + 16 = 12 . Cette probabilité peut s’interpréter ainsi « il y a une chance sur deux d’obtenir un nombre pair » (ce qui ne paraît pas aberrant pour un dé non truqué). De même, p(B ) = p({3}) + p({6}) = 61 + 16 = 31 et p(C ) = p({6}) = 61 . Il y a « 1 chance sur 3 » d’obtenir un 3 ou un 6. Déterminons les probabilités des événements A, B et C dans le second cas où le dé est truqué et où P (Ω) est muni de la loi p 0 . Toujours par définition, on a : p(A) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = 41 + 18 + 18 = 12 . De même, p(B ) = p({3}) + p({6}) = 18 + 18 = 41 et p(C ) = p({6}) = 18 . Contrairement au cas du dé bien équilibré, ici il y a « 1 chance sur 4 » d’obtenir un 3 ou un 6.

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Exercice 5 On lance un dé cubique truqué. L’univers de l’expérience est donc Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La loi de probabilité p sur P (Ω) (en pratique, on dira souvent simplement «. . . sur Ω » par abus de langage) est donnée e i (éventualités) 1 2 3 4 5 6 dans le tableau suivant . Déterminer a = p({6}). 4 1 1 2 4 p({e i }) a 15 15 15 15 15 Exercice 6 On considère une expérience aléatoire ayant quatre issues possibles : e 1 , e 2 , e 3 , e 4 . On suppose que Ω (ou plutôt P (Ω)...) est muni d’une loi de probabilité p telle que p({e 2 }) = 51 . On notera p({e i }) = p i . On suppose de plus que p 1 , p 2 , p 3 , p 4 sont les premiers termes d’une suite arithmétique. 1. Déterminer les valeurs de p 1 , p 2 , p 3 , p 4 . 2. Soit A l’événement : « e 1 ou e 3 se réalise ». Déterminer la probabilité de A. Indications : Comme p 1 , p 2 , p 3 , p 4 sont les premiers termes d’une suite arithmétique de raison r , on peut écrire p i = p 2 + (i − 2) × r , 1 É i É 4. De plus, par définition d’une loi de probabilité, p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 1. Enfin, A = {e 1 } ∪ {e 3 } = {e 1 , e 3 }.

P ROPRIÉTÉS D ’ UNE PROBABILITÉ p – Si A est un événement quelconque, alors 0 É p(A) É 1 ; p(Ω) = 1 ; si A ⊂ B , alors p(A) É p(B ). – Si A et B sont deux événements quelconques, alors p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ) − p(A ∩ B ) (*). En particulier, si A et B sont incompatibles, Ã ! p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ). Plus généralement, si A 1 , A 2 , . . ., A n sont n événen n X [ ments 2 à 2 incompatibles, alors p Ai = p(A i ). i =1

i =1

³ ´ – Si A est un événement quelconque, alors p A = 1 − p(A) (**). ³ ´ – Si A et B sont deux événements quelconques, alors p(A) = p (A ∩ B ) + p A ∩ B (***). ³ ´ Remarque : On a aussi évidemment p(B ) = p(A ∩ B ) + p A ∩ B .

Remarque : En pratique, on peut aussi avoir besoin des propriétés suivantes du complémentaire : A=A

A ∪B = A ∩B

A ∩B = A ∪B

Les premières propriétés sont évidentes (exercice). Idée de la démonstration de (*) : supposons Ω = {e 1 , e 2 , e 3 , ..., e 9 , e 10 , e 11 }, A = {e 1 , e 3 , e 4 , e 5 , e 8 } et B = {e 2 , e 5 , e 7 , e 8 , e 9 }. On a alors A ∪ B = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 7 , e 8 , e 9 } et A ∩ B = {e 5 , e 8 }. Notons p({e i }) = p i . Par définition d’une loi de probabilité : p(A) = p 1 + p 3 + p 4 + p 5 + p 8 (somme des probabilités des événements élémentaires qui composent A), p(B ) = p 2 + p 5 + p 7 + p 8 + p 9 , p(A ∩ B ) = p 5 + p 8 et enfin p(A ∪ B ) = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 7 + p 8 + p 9 . On vérifie alors facilement que ¡ : ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ p(A) + p(B ) − p(A ∩ B ) = p 1 + p 3 + p 4 + p 5 + p 8 + p 2 + p 5 + p 7 + p 8 + p 9 − p 5 + p 8 = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + 2p 5 + p 7 + 2p 8 + p 9 − p 5 − p 8 = p(A ∪ B ) Le cas général se traite de la même façon. (**) s’obtient facilement en appliquant (*) avec A et A sachant que A ∩ A = ∅ et A ∪ A = Ω. (***) s’obtient en appliquant (*) avec (A ∩ B ) et A ∩ B sachant que (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B ) = A et (A ∩ B ) ∩ (A ∩ B ) = ∅. Exercice 7 Soient Ω l’univers d’une expérience aléatoire, A et B deux événements, p une loi de probabilité sur Ω. On sait que p(A) = 0, 6 , p(B ) = 0, 4 et p(A ∪ B ) = 0, 7. Calculer les probabilités des événements A ∩ B , A ∩ B , A ∪ B , A ∩ B , A ∪ B , A ∩ B , A ∪ B . Même question, sachant que p(A) = 0, 7 , p(B ) = 0, 5 et p(A ∩ B ) = 0, 4. Même question, sachant que p(A ∩ B ) = 0, 12 , p(A ∩ B ) = 0, 15 et p(A ∩ B ) = 0, 23.

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E QUIPROBABILITÉ Deux événements A et B sont dits équiprobables (pour une loi de probabilité p) si p(A) = p(B ). Une expérience aléatoire est équiprobable lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Propriété : Dans un cas d’équiprobabilité sur un univers fini de cardinal n ∈ IN∗ , la probabilité d’un événement élémen1 card (A) taire est . La probabilité d’un événement A est p(A) = . n card (Ω) Remarques : – On écrit aussi p(A) =

nombre de cas favorables . nombre de cas possibles

– Les calculs de probabilités dans un cas d’équiprobabilité se ramènent à du dénombrement. – Même si une situation d’équiprobabilité est implicite, des termes comme « tirage au hasard », « dé non truqué », « pièce bien équilibrée ». . . doivent permettre de la détecter. Idée de la démonstration : Supposons que Ω = {e 1 , e 2 , e 3 , ..., e 9 , e 10 , e 11 } et A = {e 1 , e 3 , e 4 , e 5 , e 8 }. 1 Comme p 1 = p 2 = · · · = p 11 et p 1 + p 2 + · · · + p 11 = 1 alors on a p i = . De plus : 11 1 1 1 1 1 5 card(A) p(A) = p 1 + p 3 + p 4 + p 5 + p 8 = + + + + = = . 11 11 11 11 11 11 card(Ω) Le cas général se traite de la même façon. Exercice 8 On suppose que les expériences aléatoires des exemple 2 et exercice 3 sont équiprobables. Déterminer les probabilités des événements considérés. Exercice 9 On lance 3 fois une pièce de 1e parfaitement équilibrée. Soient A l’événement « obtenir exactement 2 PILE et 1 FACE (dans n’importe quel ordre) » et B l’événement « obtenir au moins une fois PILE ». a) Dresser un arbre représentant toutes les possibilités. b) En déduire les probabilités de A et de B . Exercice 10 Une urne contient 5 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. On tire au hasard 3 boules simultanément dans l’urne. Déterminer le cardinal de l’univers de l’expérience ainsi que les probabilités des événements A « on a obtenu 3 boules noires » et B « on a obtenu 2 boules noires et une boule rouge ». Reprendre l’exercice dans le cas où l’on tire les boules successivement et avec remise. Exercice 11 Un sac opaque contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On extrait simultanément 3 jetons du sac. Combien de « paquets » contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on obtenir ?

E SPÉRANCE , VARIANCE ET ÉCART- TYPE Soient Ω = {e 1 , e 2 , . . . , e n } un univers ne contenant que des nombres réels et p une probabilité sur Ω. p i = p({e i }). n X L’espérance de la probabilité p est E = ei × pi . i =1 Ã ! n n X X 2 2 La variance de la probabilité p est V = (e i − E ) × p i = ei × pi − E 2 . i =1

p L’écart-type de la probabilité est σ = V .

i =1

Exercice 12 On considère Ω = {−1; 0; 2; 5; 6; 10} et p la probabilité définie sur Ω par Déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type de cette probabilité.

ei

-1

0

2

5

6

10

pi

4 15

1 15

1 15

2 15

4 15

1 . 5

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Exercice 13 Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules noires et quatre boules blanches. On prélève simultanément quatre boules dans l’urne. Les prélèvements sont supposés équiprobables. ¡ ¢ 1 1. Calculer la probabilité d’un prélèvement unicolore. réponse : 165 2. a) Quelle est la probabilité d’un prélèvement bicolore composé de boules rouges et blanches ? b) Démontrer que la probabilité d’un prélèvement bicolore est

68 165 .

¢ ¡ 96 3. Déduire des résultats précédents la probabilité d’un prélèvement tricolore. réponse : 165

VARIABLE ALÉATOIRE Soit Ω un univers fini. Une variable aléatoire sur Ω, ou aléa numérique sur Ω, est une fonction de Ω dans IR, i.e. que définir une variable aléatoire sur Ω consiste à associer à chaque éventualité de Ω un nombre réel. Remarques : – On note souvent les variables aléatoires avec des lettres majuscules : X , Y , Z , . . . – L’expression « aléa numérique » est plus correcte que l’expression « variable aléatoire », et pourtant c’est cette dernière qui a été consacrée par l’usage. En effet, il convient de garder à l’esprit qu’une « variable aléatoire » X n’est pas une variable mais une fonction , et qu’elle n’a rien d’aléatoire puisqu’on connaît (normalement) les valeurs prises par X (ω) (image de ω par X ) lorsqu’ω décrit Ω. L’expression « variable aléatoire » est donc très fâcheuse. – Sur un même univers, on peut définir quantité de variables aléatoires. – Si X est une variable aléatoire sur Ω, on note X (Ω) l’ensemble des images des éléments de Ω par X . Exemple 14 On joue trois fois de suite à Pile ou Face. On note les résultats obtenus dans l’ordre. L’univers est alors Ω = {P P P, P P F, P F P, P F F, F P P, F P F, F F P, F F F }. Soit X la variable aléatoire définie de la façon suivante : à chaque éventualité on associe le nombre de « Pile » obtenus. On a alors X (Ω) = {0, 1, 2, 3} (par exemple X (P P P ) = 3, X (P P F ) = 2 etc. . .). On décide que si un joueur obtient trois fois Pile ou trois fois Face, il gagne 10e ; s’il obtient exactement deux fois Pile, il gagne 5e ; il perd 3e dans tous les autres cas. On peut alors définir une variable aléatoire Y correspondant au gain algébrique du joueur. Concrètement : Y (P P P ) = Y (F F F ) = 10, Y (P P F ) = Y (P F P ) = Y (F P P ) = 5, Y (P F F ) = Y (F P F ) = Y (F F P ) = −3 et Y (Ω) = {−3, 5, 10}. Exemple 15 Considérons l’expérience de l’exercice 3. On a Ω = {(1; 1); (1; 2); . . . ; (6; 5); (6; 6)}. Soit X la variable aléatoire qui à chaque éventualité associe la somme des nombres du couple. On a alors X (Ω) = {2, 3, 4, . . . , 11, 12}. Soit Y la variable aléatoire qui à chaque éventualité associe le produit des nombres du couple. On a alors Y (Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}. Soit Z la variable alétoire qui à chaque éventualité associe la valeur absolue de la différence des nombres du couple. On a alors Z (Ω) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Loi de probabilité d’une variable aléatoire Soit Ω = {e 1 , e 2 , . . . , e n } un univers fini, X une variable aléatoire sur Ω et X (Ω) = {x 1 , x 2 , . . . , x n }. On note (X = x i ), ou simplement X = x i , l’événement « X prend la valeur x i ». Remarque : Si i 6= j , les événements (X = x i ) et (X = x j ) sont incompatibles, i.e. (X = x i ) ∩ (X = x j ) = ∅. n [ D’autre part (X = x k ) = Ω. k=1

Dans l’exemple 14, l’événement (X = 2) est l’événement « X prend la valeur 2 », i.e. « on obtient exactement 2 fois Pile, soit (X = 2) = {P P F, P F P, F P P }. L’événement (Y = 10) est l’événement « Y prend la valeur 10, i.e. « on gagne 10e au jeu », soit (Y = 10) = {P P P, F F F }. Dans l’exemple 15, l’événement (X = 4) est l’événement {(1; 3); (2; 2); (3; 1)}. L’événement (Y = 12) est l’événement {(2; 6); (3; 4); (4; 3); (6; 2)}. On a encore (Z = 0) = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

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Soit p une probabilité définie sur Ω. On appelle probabilité de la variable aléatoire X la probabilité définie sur X (Ω) = {x 1 , x 2 , . . . , x n } qui à chaque x i associe p (X = x i ) (probabilité de l’événement X = x i ). Donner la loi de probabilité de X c’est donner pour chaque x i la probabilité p(X = x i ). Remarque : Cette définition a bien un sens, car d’après la remarque précédente, on a bien

n X

p (X = x k ) = p(Ω) = 1.

k=1

Exemple 16 Une urne contient 3 boules blanches, 4 boules rouges et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule et on gagne 1 e si on a tiré une boule noire, 3 e pour une boule rouge et 10 e pour une boule blanche. On définit la variable aléatoire X comme étant le gain réalisé en jouant une fois à ce jeu. Donner la loi de probabilité de X . Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire Soit Ω = {e 1 , e 2 , . . . , e n } un univers fini muni d’une probabilité p, X une variable aléatoire sur Ω et X (Ω) = {x 1 , x 2 , . . . , x n }. n X

L’espérance de la variable aléatoire X , notée E (X ), est le nombre E (X ) =

x i × p (X = x i ) .

i =1

La variance de X , notée V (X ), est le nombre V (X ) =

n X

(x i − E (X ))2 × p (X = x i ) =

n X i =1

i =1

L’écart-type de la variable aléatoire X , noté σ(X ), est le nombre σ(X ) =

x i2 × p (X = x i ) − [E (X )]2 .

p V (X ) .

Remarque : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire apparaît comme la généralisation de la notion de moyenne. Il s’agit de la moyenne des valeurs prises par X , pondérée par les probabilités qu’elles soient prises. C’est pour cela qu’il arrive que l’on appelle E (X ) la « valeur moyenne » de X et qu’on la note aussi X . Exemple 17 Soit X une variable aléatoire ne prenant que les valeurs 2, 5, 7 et 9. Soit a un réel appartenant à [ 0 ; 1 ]. xi 2 5 7 9 La loi de probabilité de X est donnée par le tableau . 1 3 1 p(X = x i ) a 5 10 10 Déterminer a puis calculer E (X ), V (X ) et σ(X ). Exercice 18

Exercice 19

On joue à un jeu dont voici les règles. On mise M e pour avoir le droit de jouer une fois, puis on lance un dé (parfaitement équilibré) à 12 faces (chacune des faces est numérotée de 1 à 12 ; un tel dé s’appelle un dodécaèdre, ses faces sont des pentagones réguliers). Si on obtient une face paire, on gagne 2 e ; si on obtient 7, 9 ou 11, on gagne 8 e ; si on obtient 1, 3 ou 5, on gagne 3 e. Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Soit X la variable aléatoire représentant le gain moins la mise.

Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d’une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On suppose que les tirages sont équiprobables. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 e ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 e et, si une seule est rouge, il gagne 4 e. Dans tous les autres cas, il ne gagne rien. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain (en euros) du joueur lors du jeu.

1. Quelles sont, en fonction de M, les différentes valeurs 1. Déterminer la loi de probabilité de X . que peut prendre X ? Calculer son espérance. 2. Déterminer la loi de probabilité de X . Calculer l’espé- 2. Pour un jeu, la mise est de 10 e. Le jeu est-il favorable au joueur, i.e. l’espérance de X est-elle strictement surance de X . périeure à 10 ? 3. On dit qu’un jeu est équitable lorsque l’espérance mathématique de X est nulle. Pour quelle valeur de M le jeu est-il équitable ? 4. Si le droit de jouer une fois à ce jeu est de 4 e, est-il intéressant de jouer ? Et pour un droit de 3 e ?

3. Pour l’organisateur, le jeu ne s’avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions : • augmenter la mise de 1 e, donc passer à 11 e ; • diminuer chaque gain de 1 e, i.e. ne gagner que 99 e, 14 e ou 3 e. Quelle est la solution la plus rentable pour l’organisateur ?

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Exercice 18 : corrigé. 1. Les gains possibles sont 2, 3 ou 8 euros. Pour avoir le droit de jouer une fois, il faut payer M e , donc les valeurs possibles de X sont : 2 − M , 3 − M et 8 − M .

xi D’où

2−M

3−M

8−M

. 1 1 4 4 2. – L’événement X = 2 − M correspond à l’événement 1 1 1 «obtenir une face sur laquelle figure un nombre pair» ; 3. E (X ) = (2 − M ) × 2 + (3 − M ) × 4 + (8 − M ) × 4 soit il y a 6 cas favorables à cet événement (lorsque la face 1 E (X ) = (15 − 4M ) est 2, 4, 6, 8, 10 ou 12). Le dé étant parfaitement équili4 bré, on est dans un cas d’équiprobabilité donc 4. Le jeu est équitable lorsque E (X ) = 0 donc lorsque card(X = 2 − M ) 6 1 p(X = 2 − M ) = = = M = 15 4 = 3, 75 . card(Ω) 12 2 – L’événement X = 3 − M correspond à l’événement 5. Pour une mise de M = 3, 75 le jeu est équitable, ce qui «obtenir une face numérotée 1, 3 ou 5» ; il y a 3 cas signifie que sur un grand nombre de parties le gain sera favorables à cet événement donc en moyenne proche de 0. 3 1 p(X = 3 − M ) = = Pour M > 3, 75, E (X ) < 0, i.e. pour une mise supérieure à 12 4 3, 75e , l’espérance de gain est négative, donc le jeu n’est – L’événement X = 8 − M correspond à l’événement pas intéressant. En revanche, pour M < 3, 75, E (X ) > 0, «obtenir une face numérotée 7, 9 ou 11» ; il y a 3 cas i.e. pour une mise inférieure à 3, 75e , l’espérance de favorables à cet événement donc 1 3 gain est positive, donc le jeu est intéressant. = p(X = 8 − M ) = 12 4 1 2

p(X = x i )

Exercice 19 : corrigé. Il y a 10 boules dans l’urne. Les éléments de l’univers sont des sous-ensembles à 3 éléments de l’ensemble {B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , R 1 , R 2 , R 3 , R 4 }, par exemple {B 2 , B 5 , R 3 }, {B 1 , B 3 , R 1 }, {R 1 , R 3 , R 4 } . . . Le nombre de sousensembles à 10 éléments est µ ¶à 3 éléments d’unµ ensemble ¶ 10 10 3 C 10 = donc card(Ω) = = 120. 3 3

µ

6 1

¶ ¶ µ 4 × 2

6×6 3 = . 120 120 10 – L’événement X = 100 correspond à un tirage de 3 boules rouges. Le nombre de possibilités d’obtenir 3 boules rouges correspond au nombre de façons de prendre 3 éléments dans un ensemble à 4 éléments, ¶ µ 4 1 4 = 4 d’où p(X = 100) = soit = . 3 120 30 xi 0 4 15 100 On a donc 1 1 3 1 . p(X = x i ) 6 2 10 30 p(X = 15) =

=

1. X peut prendre les valeurs 0, 4, 15 ou 100. – L’événement X = 0 correspond à un tirage de 3 boules blanches. Comme il y a 6 boules blanches, le nombre de possibilités d’obtenir 3 boules blanches correspond au nombre de façons de prendre 3 éléments dans 3 1 µ ¶un ensemble à 6 éléments, soit 2. Comme E (X ) = 0 × 16 + 4 × 12 + 15 × 10 + 100 × 30 = 59 6 , 6 = 20. Comme nous sommes dans une situation E (X ) < 10 donc le jeu n’est pas favorable au joueur. 3 3. Dans le premier cas, on augmente la mise de 1 e. 20 1 d’équiprobabilité, p(X = 0) = = . Dans ce cas, le gain moyen de l’organisateur est de 120 6 7 – L’événement X = 4 correspond à un tirage constitué 11 − 59 6 = 6 e. de 2 boules blanches et une boule rouge. Pour écrire Dans le second cas, on diminue les gains de 1 e . Si un sous-ensemble à 3 éléments constitué de 2 boules on note Y la variable aléatoire représentant le gain du blanches et 1 boule rouge, il faut prendre 2 boules xi 0 3 14 99 blanches parmi les 6 et une boule rouge parmi les 4, µ ¶ µ ¶ joueur, on a 1 1 3 1 6 4 p(Y = x i ) ce qui donne × = 15 × 4 = 60 possibilités 6 2 10 30 2 1 et E (Y ) = 9. Le gain moyen de l’organisateur est alors 60 1 7 d’où p(X = 4) = = . 10 − 9 = 1e < 6 . 120 2 – L’événement X = 15 correspond à un tirage constitué L’organisateur a donc plutôt intérêt à envisager la pred’une boule rouge et de deux boules blanches, d’où mière solution.

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Exercice 20 Une urne contient 3 boules blanches (B 1 ,B 2 et B 3 ), 2 boules noires (N1 et N2 ) et une boule verte (V1 ), toutes indiscernables au toucher, on supposera qu’on est donc dans un cas d’équiprobabilité. 1. Dans cette partie, on tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne ; on tire une deuxième boule de l’urne et on note sa couleur. On pourra représenter les différents tirages possibles à l’aide d’un arbre. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules blanches tirées. a) Déterminer les valeurs que peut prendre X puis la loi de probabilité de X . b) Calculer l’espérance de X . Comment interpréter ce résultat ? c) Calculer l’écart-type de X . 2. Dans cette partie, on tire une boule, on note sa couleur, on ne la remet pas dans l’urne, puis on tire une deuxième boule de l’urne et on note sa couleur. On pourra représenter les différents tirages possibles à l’aide d’un arbre. Soit Y la variable aléatoire correspondant au nombre de boules blanches tirées. a) Déterminer les valeurs que peut prendre Y puis la loi de probabilité de Y . b) Calculer l’espérance de Y et l’écart-type de Y . c) Comparer σ(X ) et σ(Y ). Comment interpréter ce résultat ? 3. Dans cette partie, on tire simultanément deux boules. Soit Z la variable aléatoire correspondant au nombre de boules blanches tirées. On pourra écrire explicitement toutes les paires possibles. a) Déterminer les valeurs que peut prendre Z puis la loi de probabilité de Z . b) Calculer l’espérance de Z et l’écart-type de Z .

Exercice 20 : corrigé 1. Il y a 6 × 6 = 36 tirages possibles. a) X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2. L’événement X = 0 correspond à l’événement « ne tirer aucune boule blanche ». Il y a 3×3 = 9 possibilités (car il y a 3 boules qui ne sont pas blanches). On a donc p(X = 0) =

9 36

=

1 4

.

b) E (Y ) = 0 × 15 + 1 × 35 + 2 × 15 , E (Y ) = 1 . q V (Y ) = 25 et σ(Y ) = 25 . c) On trouve à la calculatrice σ(Y ) < σ(X ). On peut interpréter cette différence de la façon suivante :

si n 1 est le nombre de boules blanches obtenu lorsqu’on répète 1000 fois l’expérience de la question 1. L’événement X = 2 correspond à l’événement « tirer et n 2 celui obtenu lorsqu’on répète 1000 fois l’exdeux boules blanches ». Il y a 3 × 3 = 9 possibipérience de cette question 2., comme dans les deux lités (car il y a 3 boules blanches). On a donc 9 1 expériences l’espérance est 1, alors n 1 et n 2 seront p(X = 2) = 36 = 4 . proches de 1 000 ; mais σ(Y ) < σ(X ), donc il est plus Comme p(X = 0)+p(X = 1)+p(X = 2) = 1, on a donc probable que n 2 sera plus proche de 1 000 que n 1 . Ã ! p(X = 1) = 1 − 41 − 41 , soit p(X = 1) = 12 . 6 6! 6×5 b) On a E (X ) = 0 × 41 + 1 × 12 + 2 × 14 , E (X ) = 1 . Cela si- 3. Il y a 2 = 4!2! = 2 = 15 tirages possibles. gnifie qu’en moyenne on va tirer une boule blanche. ¡3 ¢ 1 Ainsi, si l’on refait l’expérience 1 000 fois, le nombre a) p(Z = 0) = 2 = (2 boules parmi les 3 qui ne sont 15 5 total de boules blanches que l’on va tirer sera proche pas blanches) ; ¡3¢ ¡3¢ de 1 000 (puisqu’on en tire en moyenne une par ex× 1 3 périence). p(Z = 1) = 1 = (« 1 blanche parmi les 3 » 15 5 c) V (X ) = (0 − 1)2 × 14 + (1 − 1)2 × 21 + (2 − 1)2 × 14 , soit multiplié par « 1 boule parmi les 3 autres ») ; q p 1 2 1 1 V (X ) = 2 ; d’où σ(X ) = 2 = 2 . p(Z = 2) = 1 − p(Z = 0) − p(Z = 1) = 5 2. Il y a 6 × 5 = 30 tirages possibles. b) La loi de probabilité de Z est la même que celle de Y , 6 18 a) P (Y = 0) = 30 = 15 ; p(Y = 1) = 30 = 35 ; d’où E (Z ) = E (Y ) et σ(Z ) = σ(Y ) . 6 p(Y = 2) = 30 = 15 .