PROBABILITES VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE: Définition : E

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PROBABILITES 1. VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE: a. Définition : E, un ensemble fini de résultats d’une expérience aléatoire p une probabilité définie sur E Une

est une application définie sur E et

à valeurs dans ℝ.

 

b. Remarques : Une variable aléatoire est généralement notée par : Soit k un nombre réel, l’événement « X prend la valeur k » est noté :



Une variable aléatoire est :

lorsque l’ensemble E est fini.

c. Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro de la face supérieure. Si le numéro est 1,2 ou 3 : on gagne 4 €. Si le numéro obtenu est 4 ou 5, on gagne 1€.Si le numéro obtenu est 6, on perd 5€. On définit ainsi une variable aléatoire G qui au numéro obtenu associe le gain du joueur. Quelles sont les valeurs prises par G ? : 2. LOI DE PROBABILITE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE : a. Définition : E est l’ensemble fini des issues d’une expérience aléatoire. x1 , x2 , … , xn sont les valeurs prises par une variable aléatoire discrète X définie sur E. Définir de X c’est associer à chaque valeur xi(avec 1  i  n ), la probabilité de l’événement ( X=xi ) b. Remarque : On présente souvent la loi de probabilité d’une variable aléatoire par un tableau de valeurs. c. Déterminer la loi de probabilité de G : Gain xi (en euro ) P(G=xi) 3. SAVOIR-FAIRE : déterminer une loi de probabilité exercice résolu page 220.

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PROBABILITES 4. ESPERANCE : a. Définition : X est une variable aléatoire réelle prenant les valeurs x1 , x2 , … , xn avec les probabilités : p1 ,p2 , …pn . est le nombre noté E(X) = b. Propriété Pour une expérience donnée,

lorsque N devient grand. c. Jeu équitable Définition : E est l’ensemble des issues d’un jeu de hasard. X est la variable aléatoire définie sur E qui donne le gain du joueur. On dit que :

d. dans le cas de l’exemple précédent :

5. EXERCICE : Objectif Bac Voici les règles d’un jeu de hasard. Un joueur mise 3 euros puis lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. 

S’il obtient un chiffre pair, le joueur reçoit, en euros, le double du chiffre obtenu.

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S’il obtient 1 ou 3, le joueur reçoit 1 euro. Sinon, il ne reçoit rien.

X est le gain, éventuellement négatif, du joueur, en tenant compte de la mise de départ. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Déterminer la loi de probabilité de X. c) Calculer l’espérance de X : E(X) puis interpréter.