Probabilités-variables aléatoires - FR

January 12, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Analyse combinatoire Probabilités Variables aléatoires Couples aléatoires Génération de nombres aléatoires Introduction aux statistiques unité: MA3R11

G

R

O

U

P

E

1 - Probabilités, Pascale Jardin

1

Références bibliographiques



Cours basé sur 2 ouvrages: 



G

R

O

U

P

« Initiation aux probabilités » de Sheldon M.Ross, Ed : Presses polytechniques romandes « Probabilités pour scientifiques et ingénieurs » de Patrick Bogaert, Ed: de boeck

E

2 - Probabilités, Pascale Jardin

2

Analyse combinatoire

G

R

O

U

P

E

3 - Probabilités, Pascale Jardin

3



Introduction par un exemple : 



G

R

O

U

P

On considère un système de communications composé de n antennes identiques alignées. Ce système n’est fonctionnel que s’il n’y a pas 2 antennes consécutives défectueuses. On suppose qu’il y a m antennes défectueuses. Quelle est la probabilité pour que le système reste fonctionnel? Solution (graphique) pour n=4, m=2: p=1/2

E

4 - Probabilités, Pascale Jardin

4

Principe fondamental de dénombrement 

Si r expériences à réaliser avec :    



G

R

O

U

P

n1 résultats possibles pour la 1ère n2 résultats possibles pour la 2ème … nr résultats possibles pour la rème

Alors il y a n1n2…nr résultats possibles pour les r expériences prises ensemble

E

5 - Probabilités, Pascale Jardin

Exercice1: nombre de plaques minéralogiques dans un département si le matricule comporte 4 chiffres et 3 lettres (en plus des 2 chiffres du département) Exercice 2: combien de fonctions sur n points à deux valeurs possibles par point?

5

Permutations 

Théorème: le nombre de permutations de n objets distinguables est n!



Théorème: le nombre de permutations de n objets parmi lesquels n1 sont indistinguables, n2 autres également,…, nr autres également est: n!/(n1! n2!… nr!) 

G

R

O

U

P

Exemple: pepper : 6!/(3!2!)permutations

E

6 - Probabilités, Pascale Jardin

6

Arrangements - Combinaisons

G

R

O

U



n(n-1)…(n-r+1)= n!/(n-r)! représente le nombre de manières de choisir r objets parmi n. C’est le nombre d’arrangements de r objets parmi n noté Anr



Ce nombre comporte toutes les permutations des r objets choisis. Si l’ordre des r objets n’a pas d’importance il faut diviser ce nombre par r!



n(n-1)…(n-r+1)/r!= n!/(r!(n-r)!) représente le nombre de combinaisons de r objets parmi n et est noté Cnr

P

E

7 - Probabilités, Pascale Jardin

Exercice des n antennes

7



Identité remarquable Cnr = Cnr−−11 + Cnr−1 1 ≤ r < n 11 121 1 3 31 1 4 6 41 ....



Théorème du binôme (x + y)

G

R

O

U

P

triangle de Pascal

n

=

n

∑C k =0

k n

xk y n−k

E

8 - Probabilités, Pascale Jardin

Exercice : démontrer l’identité remarquable Exercice : démontrer le théorème du binôme par récurrence Exercice: combien y a-t-il de sous ensembles d’un ensemble à n éléments?

8

Coefficients multinomiaux 

Problème: un ensemble de n objets distints doit être divisé en r groupes de tailles respectives n1,n2,…,nr (avec n1+…+nr =n). De combien de manières peut on le faire?

Cnn1 Cnn−2 n1 ...Cnn−r n1 −n2 ...−nr−1 = 

Ce nombre est appelé coefficient multinomial et noté : Cnn1 , n2 ,..., nr



Théorème multinomial :

( x1 + x2 + ... + xr ) G

R

O

U

P

n! n1 !n2 !...nr !

n

=



( n1 , n2 ,...,nr ):n1 +...+ nr =n

Cnn1 ,n2 ,...,nr x1n1 x2n2 ...xrnr

E

9 - Probabilités, Pascale Jardin

9



Combien de termes dans la somme? Combien de solutions entières ≥0 telles que n1+n2+…+nr=n



Étape: solutions >0 : il faut choisir r-1 séparateurs parmi n-1 possibles : Cnr−−11



G

R

O

U

P

Solutions ≥0 : même nombre que solutions >0 de: n’1+n’2+…+n’r=n+r c’est-à-dire : Cnr+−1r −1

E

10 - Probabilités, Pascale Jardin

Exercice: retour au problèmes des antennes: n antennes dont m défectueuses: On aligne d’abord les m antennes défectueuses n1 antennes Ok à gauche de la 1ere défectueuse n2 antennes Ok à droite de la 1ere défectueuse et gauche de la 2eme défectueuse … nm+1 à droite de la meme défectueuse Il faut ni>0 pour i = 2 à m , n1 ≥0 , nm+1 ≥0 pour que le système fonctionne: nombre de cas : sol >0 de n’1+n2+…+nm+n’m+1 =n-m+2 : Cn-m+1m

10

Axiomes des probabilités

G

R

O

U

P

E

11 - Probabilités, Pascale Jardin

11

Ensemble fondamental - évènement 

Ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire : c’est l’ensemble fondamental noté Ω 



Tout sous ensemble de Ω est un évènement:   

G

R

O

U

P

E

Ex: expérience = jeter 2 pièces Ω ={(P,P),(P,F),(F,P),(F,F)}

A⊂ Ω est un évènement ω ∈ Ω est un résultat possible ou évènement élémentaire Ex: la première pièce montre pile A= {(P,P),(P,F)} 12 - Probabilités, Pascale Jardin

12

Relations entre évènements 

Manière la plus simple de les représenter : diagrammes de Venn Ω

B ∩C B A

C (B∪ (B∪C)c



A⊂B 

 G

R

O

U

P

(exemple d’inclusion)

⇒ A∩B=A

A∩C=∅

(définition de l’incompatibilité)

E

13 - Probabilités, Pascale Jardin

Complémentarité: l’évènement complémentaire d’un évènement A est l’évènement Ac tel que: -A ∩ Ac=∅ -A ∪ Ac= Ω

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Propriétés des opérations sur les évènements 

Commutativité  



Associativité  





R

O

U

P

E

(E∩F) ∪ G = (E∪G) ∩ (F∪G) (E∪F) ∩ G = (E∩G) ∪ (F∩G)

Lois de Morgan 

G

(E∩F) ∩ G = E ∩ (F∩G) (E∪F) ∪ G = E ∪ (F∪G)

Distributivité 



E∩F = F∩E E∪F = F∪E



(∪iEi)c = ∩iEic c (∩iE14i)-c Probabilités, = ∪iEPascale i Jardin

On peut montrer ces propriétés par des diagrammes de Venn

14

Système complet d’évènements ou partition Former une partition de Ω consiste à « couper » l’ensemble Ω en évènements incompatibles: à l’issue de l’expérience un et un seul de ces évènements sera réalisé





A2

A1

A3

A4

Définition formelle : L’ensemble {A1,A2,…,An} est une partition de Ω si et seulement si:



   G

R

O

U

P

E

Aucun des évènements n’est impossible: Ai ≠∅ ∀i Les évènements sont incompatibles 2 à 2: Ai∩ Aj =∅ ∀i≠j L’union des évènements est l’ensemble fondamental: (∪iAi)= Ω 15 - Probabilités, Pascale Jardin

15

Probabilité d’un évènement 

Approche intuitive (définition en fréquence): on réalise n fois l’expérience sous les mêmes conditions. Pour chaque évènement A de Ω on définit n(A) comme le nombre de fois où A survient. Alors la probabilité de A est définie par:  

P(A)=limn→∞ n(A)/n : fréquence limite de A Exemple : lancé de dé avec A=« on obtient 6 » 0 .3 5 s é rie 1 s é rie 2 s é rie 3

0 .3

0 .2 5

n(6)/n

0 .2

0 .1 5

0 .1

0 .0 5

0

  G

R

O

U

P

E

0

100

200

300

400

500 n

600

700

800

900

1000

Problème théorique : la limite existe-t-elle ? Problème pratique : réaliser un très grand nombre de fois l’expérience 16 - Probabilités, Pascale Jardin

16

« Expériences » avec Matlab 

Nombreux « tutoriels » matlab disponibles sur internet      



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Un « maison »: http://intra.esiee.fr/sigtel/intro_matlab.pdf D’autres https://moodle.polymtl.ca/file.php/408/GuideMatlab.pdf http://www.ann.jussieu.fr/~postel/matlab/ http://www.ann.jussieu.fr/~joly/mattex/Matlab1.pdf http://www.civil.usherbrooke.ca/cours/gci101/Hiver%202010/Matla b/Tutoriel%201%20Matlab.pdf

Je signale en fin de certaines pages de commentaires (exp matlab) les commandes matlab qui permettent de réaliser des expériences associées aux différents éléments du cours. Pour avoir une aide sur une commande faire: help nom_de_la_commande

E

17 - Probabilités, Pascale Jardin

17

Définition axiomatique 

La probabilité est un nombre satisfaisant les 3 axiomes de base suivants:   

G

R

O

U

P

La probabilité d’un évènement A quelconque est positive ou nulle : P(A)≥0 La probabilité de l’évènement certain Ω est égale à 1: P(Ω)=1 Si deux évènements A et B sont incompatibles , la probabilité de leur union est égale à la somme de leur probabilité: P(A∪B) = P(A)+P(B) si A∩B=∅

E

18 - Probabilités, Pascale Jardin

18



Propriétés qui découlent de cette définition:    



La probabilité de l’union de deux évènements est égale à la somme de leur probabilité moins la probabilité de leur intersection: 



R

O

U

P

P(A ∪ B) =P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Généralisation: 

G

La probabilité de l’évènement impossible ∅ est égale à 0 : P(∅)=0 La probabilité est un nombre inférieur ou égal à 1: P(A)≤1 La probabilité de l’évènement complémentaire est égale à 1 moins la probabilité de l’évènement: P(Ac)=1-P(A) La probabilité de l’union d’un nombre quelconque d’évènements incompatibles deux à deux est égale à la somme de leur probabilité: P(∪iAi)=∑iP(Ai) si Ai∩ Aj =∅ ∀i≠j

P(∪i=1:nAi)=∑iP(Ai)- ∑i1
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