Probabilités - Variables aléatoires

Probabilités - Variables aléatoires - Loi binomiale

1S

1 Connaître son cours. Dans une classe, 10% des élèves jouent d’un instrument à corde, 25% des élèves jouent d’un instrument à vent et 5% des élèves jouent d’un instrument à corde et d’un instrument à vent. On choisit au hasard un élève de cette classe. On note : C l’événement : « l’élève choisit joue d’un instrument à corde ». V l’événement : « l’élève choisit joue d’un instrument à vent ». 1. Donner P (C) ; P (V ) et P (V ∩ C). 10 25 5 = 0,1 = 0,25 = 0,05 P (C) = P (V ) = P (V ∩ C) = 100 100 100 2. Décrire par une phrase l’événement C ∪ V puis calculer P (C ∪ V ). C ∪ V est l’événement : « l’élève choisit joue d’un instrument à corde ou joue d’un instrument à vent ». P (C ∪ V ) = P (C) + P (V ) − P (V ∩ C) = 0,1 + 0,25 − 0,05 = 0,3 ⋆ Connaître son cours. Un dé cubique est truqué de telle sorte que le numéro 1 a six fois plus de chances 2 d’être obtenu que les autres numéros qui sont eux équiprobables. On lance une fois le dé et on note le numéro porté par la face supérieure.

1. Déterminer la probabilité de chaque issue de l’expérience. L’univers associé à cette expérience aléatoire est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} xi

1

2

3

4

5

6

pi

6×p

p

p

p

p

p

Nécessairement 6p + p + p + p + p + p = 1 ⇐⇒ 11p = 1 ⇐⇒ p = d’où le tableau :

1 6 11

xi pi

2 1 11

3 1 11

1 pour définir une loi de probabilité. 11

4 1 11

5 1 11

6 1 11

2. Si on obtient un numéro inférieur ou égal à 3, on perd un euro, sinon on gagne un euro. On note X la variable aléatoire associée au gain en euros d’une partie (gain algébrique donc positif ou négatif). a) Déterminer la loi de X = xi −1 8 p (X = xi ) 11

probabilité de la variable X. 1 1 1 8 6 + + = avec p (X = −1) = 3 11 11 11 11 11

et

p (X = 1) =

1 1 3 1 + + = 11 11 11 11

b) Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de la variable X. 8 3 −5 E(X) = (−1) × +1× = ≃ −0,45 e 11 11 11 8 3 V (X) = E X − E(X) = (−1) × + 12 × − 11 11 √ r q 96 4 6 σ(X) = V (X) = = ≃ 0,891 121 11 

2





2

2



−5 11

2

=1−

25 96 = ≃ 0,793 121 121

⋆ Connaître son cours. On considère que pour toute naissance d’un enfant, la probabilité que cet enfant 3 soit une fille est de 0,51. On choisit une famille de cinq enfants au hasard et on note X la variable aléatoire qui compte le nombre de filles de cette famille.

1. Déterminer la loi de probabilité de X. À la répétition 5 fois, de façon indépendante, d’une épreuve à deux issues, je peux associer la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de succès ; ici, il y a succès si l’enfant est une fille avec p = 0,51. X suit la loi binomiale B(5 ; 0,51)

2. Calculer P (X = 3). P (X = 3) =

!

5 (0,51)3 (0,49)2 = 5 × (0,51)3 (0,49)2 ≃ 0,159 3

3. Déterminer l’espérance de X et interpréter ce résultat. E(X) = np = 5 × 0,51 = 2,55

Sur un grand nombre de familles de cinq enfants, il y aura en moyenne 2,55 filles par famille. ⋆ Woodkid, jeune star montante du club de basketball du Golden Age a constaté, qu’il neige, qu’il vente ou 4 qu’il pleuve, bref quelles que soit les conditions qu’il a une probabilité égale à 35 de réaliser un panier à trois points. Dans le derby qui oppose les deux clubs de la capitale Woodkid sait qu’il va tenter 14 paniers à trois points. On désigne par X la variable aléatoire qui compte le nombre de paniers à trois points que va marquer Woodkid dans ce derby.

1. Quelle loi suit la variable aléatoire X, on précisera ces paramètres.

3 donc la 5 3 variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètre n = 14 et p = 5   3 c’est-à-dire : X ֒→ B 14; 5 Ce basketteur répète de façon indépendante, 14 épreuves de Bernoulli de même paramètre p =

2. Calculer p(X = 0) et p(X = 14). Interpréter.   3 Puisque X ֒→ B 14; on a : 5 P (X = 0) =

14 0

!    0 14  14

3 × 5

2 5

=

2 5

≃ 2,7 × 10

−6

P (X = 10) =

La probabilité que Woodkid marque 0 panier est d’exactement

14 14

!    14 0

3 × 5

2 5

=

3 5

 14

≃ 7,8 × 10−4

214 314

314 514 3. Calculer la probabilité que Woodkid marque au moins 13 paniers à trois points dans ce derby. et la probabilité qu’il marque 10 paniers est d’exactement !

14 P (X > 13) = P (X = 13) + P (X = 14) = × 13

3 5

 13

×

2 5

 1

+

14 × 313 × 2 + 314 314 = ≃ 0,008 514 514

4. Calculer la probabilité que Woodkid marque au moins 1 panier à trois points dans ce derby. P (X > 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −

214 ≃ 0,997 314

5. Calculer E(X). Interpréter.   42 3 3 = 8,4 on a : E(X) = 14 × = Puisque X ֒→ B 14; 5 5 5 Sur un grand nombre de derby, Woodkid marquera en moyenne 8,4 paniers. 6. Déterminer le nombre n de tentative de paniers à trois points que doit effectuer Woodkid pour être sûr à plus de 99% d’en marquer au moins un. Toute tentative de réponse, même infructueuse, sera valorisée dans la correction.  3 Notons Z ֒→ B n; , on a alors : P (Z ≥ 1) = 1− P (Z = 0) > 0,99 ⇐⇒ P (Z = 0) 6 0,01 ⇐⇒ 0,6n 6 0,01 5 De plus 0,69 > 0,01 et 0,610 > 0,01 donc Woodkid devra effectuer au moins 10 tentatives pour être sûr à plus de 99% d’en marquer au moins un.

⋆⋆ Loi géométrique tronquée : service de dépannage téléphonique. 5 Un client cherche à joindre par téléphone un service de dépannage. La probabilité que son appel soit pris sans attente est de 0,25. Si son appel n’est pas pris sans attente, le client raccroche son téléphone et fait une autre tentative. Le client fait au maximum trois tentatives. On note X la variable aléatoire égale au rang de son premier appel aboutissant sans attente. Si au bout de trois appels le client n’a pas réussi à joindre le service de dépannage sans attente, on convient alors que X = 0. On note R l’événement : « Le client est mis en relation avec le service de dépannage sans attente ».

1. Représenter la situation par un arbre de probabilités. 0,75 0,75 0,75

0,25

R 0,25

• 0,25

R R

R −−−→ P (X = 0) = 0,753 ≃ 0,42 R −−−→ P (X = 3) = 0,752 × 0,25 ≃ 0,14

−−−→ P (X = 2) = 0,75 × 0,25 = 0,19

R −−−→ P (X = 1) = 0,25

2. Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X ? Déterminer alors la loi de probabilité de X (présenter les résultats dans un tableau). k 0 1 2 La variable aléatoire X peut être égale à : 0 ; 1 ; 2 ou 3. P (X = k) 0,42 0,25 0,19 3. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X, et interpréter ce résultat. E(X) = 0 × 0,42 + 1 × 0,25 + 2 × 0,19 + 3 × 0,14 ≃ 1,05

en moyenne, le client joindra le service clientèle en un peu plus d’un appel.

3 0,14