Probabilités.

Probabilités. I-

Rappel : trois exemples.

Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns.  Parmi les filles, 6 sont blondes.  Parmi les garçons, 3 sont blonds. On choisit au hasard un élève de la classe. Tous les élèves ont la même probabilité d’être choisis. On définit les évènements suivants. F : « l’élève choisi est une fille » G : « l’élève choisi est un garçon » B : « l’élève choisi est blond (ou blonde) » Quelle est la probabilité de l’évènement F ? Rappelez la formule et expliquez pourquoi vous pouvez l’utiliser. Quelle est la probabilité de l’évènement G ? Rappelez la formule utilisée. Que signifie l’événement F ∩ B ? Calculer sa probabilité. Que signifie l’événement F ∪ B ? Calculer sa probabilité. Rappelez la formule utilisée. Donner la signification des évènements suivants puis calculer leur probabilités. B ; 𝐵̅ ; G ∩ B ; G ∪ B ; 𝐹̅ ∩ 𝐵̅ .

Exemple 2 : On dispose d’un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ;

p(3) = 1/3

p(4) = p(5) =1/12

1) Que signifie p(1) ? 2) Calculer p(6).

Exemple 3 : On lance deux pièces de monnaie équilibrées. 1) Utiliser un arbre pour déterminer les événements élémentaires, puis définir une loi de probabilité. L’ensemble des événements élémentaires est appelé l’univers. Ω=

2) Déterminer un autre univers pour cette expérience puis définir une loi de probabilité.

II -

Variables aléatoires.

Définition : Lorsqu’à chaque événement élémentaire d’une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on définit une variable aléatoire. Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1 ;….xn. L’événement « X prend la valeur xi » est noté (X = xi ). Définir une loi de probabilité de X, c’est donner la valeur de p(X = xi), pour tout i, avec 1 ≤ i ≤ n.

2) On tire deux boules avec remise. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le nombre de points. (on pourra faire une tableau ou un arbre pondéré pour avoir toutes les issues possibles) Exemple 3 : Une partie de « chance » coûte 2 € à un stand ; La partie consiste à lancer trois pièces de monnaie équilibrées. Si on obtient trois fois Pile, on gagne 10 €. Sinon on perd.

Exemple 1: On lance deux pièces de monnaie équilibrées. On définit une loi de probabilité X sur l’univers Ω = {PP ; PF ; FP ;FF} égale au nombre de fois que l’on a obtenu « Face ».

1) Faire un arbre pour avoir toutes les issues 2) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G donnant le Gain (algébrique)

Les valeurs prises par cette variable sont : 0 , 1 et 2. On a : (X = 0) = {PP} ; (X=1) = {PF ;FP} ; (X=2) = {FF}

3) Que fait cet algorithme ?

Loi de probabilité : Valeur xi prises par X.

0

1

2

Probabilité

Entieraléatoire(n ;p) Est une instruction qui renvoie un entier aléatoire entre n et p. TI : Math + PRB entAlea (

Algo simulation Début Entieraléatoire(0,1) ↦ A Entieraléatoire(0,1) ↦ B Casio : OPTN + prob Entieraléatoire(0,1) ↦ C : RanInt( A+B+C↦N Si N = 3 Alors afficher « vous avez gagné 8 € » Sinon afficher « vous avez perdu 2 € »

Exemple 2 : Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher. 5 boules noires, 3 boules blanches et 1 boule jaune. Une boule noire fait perdre 1 point. Une boule blanche fait gagner 2 point. La boule jaune fait gagner 3 points.

Finsi

1) On tire une boule de l’urne. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le nombre de points.

Peut-on remplacer les trois lignes Entieraléatoire (…) par un ligne Entieraléatoire(0 ;3)

Remarque : Si on remplace A + B + C ↦ N par A×B×C ↦ N que doit-on mettre après : Si N = …

4) Ecrire un algorithme qui simule plusieurs parties et qui donne le gain final. En entrée : le nombre de parties à simuler En sortie : Le gain final.

6) Programmation (livre p V) Sur TI

Sur casio

Algorithme n_parties_chance

Program gain moy : Disp “ nb de parties” : prompt N : 0↦G : For ( i, 1,N) : entAlea (0,1)↦A : entAlea (0,1)↦B : entAlea (0,1)↦C :A+B+C↦D : If D = 3 : Then :G+8↦G : Else :G–2↦G : End : End : Disp “ le gain est : “, G : Disp " le gain moyen ", G/N

====gain moy========= “nb de parties” ?↦ N 0↦G for 1 ↦ I to N step 1 ranint(0,1) ↦A ranint(0,1) ↦B ranint(0,1) ↦C A+B+C↦D If D = 3 Then G + 8 ↦ G

Début Afficher "nombre de parties » Entrer N 0↦G Pour i allant de 1 à N faire Entieraléatoire(0,1) ↦ A Entieraléatoire(0,1) ↦ B Entieraléatoire(0,1) ↦ C A +B + C ↦ D Si D = 3 Alors G + 8 ↦G Sinon G -2 ↦ G Finsi Finpour Afficher "le gain est : ", G

TI : « = » se trouve dans test

Fin

else G – 2 ↦ G Endif Next “le gain est :" : G " le gain moyen ", G/N

5) Modifier l’algorithme pour qu’il donne le gain moyen par partie. Remarques : Si on effectue un très grand nombre de fois cette partie, on pourrait voir que le gain moyen se rapproche de -0,75. On pourrait donc dire que l’on peut espérer gagner -0,75€ par partie on plutôt on dirait que l’on peut espérer perdre 0,75 € par partie !!! La valeur -0,75 est l’espérance de la variable aléatoire du gain. L’espérance est à une variable aléatoire ce que la moyenne est à une série statistique. L’espérance est un des outils de base des assureurs, banquiers, joueurs de poker averti.

III - Espérance, variance et écart-type. Soit X une variable aléatoire. Valeur xi x1 Probabilité p1

x2 p2

…. …

xn pn

Définitions :  L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel E(X) défini par : E(X) = x1 p1+ x2 p2 + … + xn pn = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 

La variance de la variable aléatoire X est le réel positif V(X) défini par : V(X) = p1 ×(x1- E(X))2+ p2 ×(x2- E(X))2+ …+ pn ×(xn- E(X))2

Propriétés :

E(aX + b) = aE(X) + b V(aX) = a2 ×V(X)

Démonstration : p 187 E(aX + b) = p1(ax1 +b) + p2(ax2 +b)+ …+ pn(axn +b) = a × (p1x1 + p2x2 + …+ pnxn) +b× (p1 + p2+ …+ pn) =a× E(X) + b V(aX)

V(X) =∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))² 

Notons Y la variable aléatoire définie par : Y = aX + b avec a et b deux réels. Valeur de Y a×x1 + b a×x2 + b …. a×xn + b Probabilité p1 p2 … pn

2

= ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × (𝑎𝑥𝑖 − 𝐸(𝑎𝑋)) = ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × (𝑎𝑥𝑖 − 𝑎𝐸(𝑋)) = ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × 𝑎2 (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))

L’écart type σ est défini par : σ = √𝑉(𝑋)

Exemple : Espérance de la partie « chance » Gain xi 8 Probabilité 1/8 1

7

6

E(X) = 8× 8 + (-2) ×8 = − 8 = - 0, 75 En moyenne, on peut espérer perdre 0,75 € par partie. La variance est : 2 2 1 7 V(X) = 8 × (8 − (−0,75)) + 8 (−2 − (−0,75)) . V(X) = 10,9375 L’écart type est : σ = √𝑉(𝑋) ≈ 3, 31

2

2

= 𝑎2 ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 × (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))² = 𝑎2 𝑉(𝑋) -2 7/8 Exemple : On lance deux dés. La variable aléatoire X donne la somme du nombre de points des deux dés. 1) Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X puis calculer l’espérance de X. (On pourra faire un tableau pour avoir toutes les issues) 2) Chaque point rapporte deux euros. Calculer l’espérance de la variable aléatoire G donnant le gain. 3) a) Si on fait payer 5 euros la partie. Calculer l’espérance de la variable aléatoire B donnant le gain effectif. b) Combien doit-on faire payer une partie pour qu’elle soit équitable ?