Problèmes du chapitre 3

January 9, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques
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Problèmes du chapitre 3 Problème 1 : le crible d’Eratosthène Problème 2 : reconnaissance d’un nombre premier Déterminer si un nombre est premier en utilisant un algorithme Entrée Entrer N. Initialisations D prend la valeur 2 R prend la valeur 1 Traitement Tant que 𝑅 ≠ 0 et 𝐷 < √𝑁 faire R prend la valeur du reste de la division euclidienne de N par D D prend la valeur D+1 Fin Tant que Sortie Si 𝑅 ≠ 0 afficher « 𝑁 premier » sinon afficher « 𝑁 non premier » Mettre en œuvre cet algorithme sur votre calculatrice. Note : Sous Xcas, la fonction est_premier permet de savoir si un nombre est premier. Elle renvoie 1 si le nombre est premier, 0 sinon. Problème 3 : triplets pythagoriciens et nombres de Gelée On appelle équation de Pythagore l’équation diophantienne 𝑥² + 𝑦² = 𝑧². Le but est de trouver les entiers naturels strictement positifs 𝑥, 𝑦 et 𝑧 tels que 𝑥² + 𝑦² = 𝑧². Géométriquement, cela revient à trouver des triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers. 1. Citer deux triplets pythagoriciens. Le but de ce problème est de trouver une méthode pour les déterminer. 2. Vérifier que pour tous nombres réels 𝑢 et 𝑣, on a : (2𝑢𝑣)2 + (𝑢2 − 𝑣 2 )2 = (𝑢2 + 𝑣 2 )2. 3. En déduire des triplets pythagoriciens. 4. Soit k un entier naturel. Les nombres 𝑘(𝑢𝑣), 𝑘(𝑢2 − 𝑣 2 ), 𝑘(𝑢2 + 𝑣 2 ) sont-ils solutions ? On démontre que tout triplet pythagoricien est de cette forme (voir exercice…) Les nombres de Gelée Antoine de Saint-Exupéry disparut le 31 juillet 1944. Quelques jours avant, le 15 juillet, il posa le problème suivant à son ami le capitaine Max Gelée. Un parallélipipède rectangle dont la hauteur est égale à la diagonale du rectangle de base est exactement constitué par des dés cubiques de 1 cm de côté. La surface du rectangle de base est égale au produit de 311 850 par un nombre premier inconnu. Calculer la hauteur du parallélipipède.

Problème 4 : Les nombres de Fermat

𝑛

On appelle nombre de Fermat tout nombre de la forme 22 + 1 avec 𝑛 ∈ ℕ. On note un tel nombre 𝐹𝑛 . 1. Calculer 𝐹0 , 𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 . Que constate-t-on ? 2. Les nombres de Fermat sont-ils tous premiers ? On pourra se servir de Xcas et de la fonction est_premier. Note : Fermat a cru que tous ces nombres étaient des premiers mais Euler a prouvé le contraire en montrant que 𝐹5 ne l’était pas. 3. Propriétés de ces nombres a. A l’aide de Xcas, quelle conjecture peut-on faire sur le dernier chiffre de 𝐹𝑛 ? b. Démontrer que pour tout 𝑛, 𝐹𝑛+1 = (𝐹𝑛 − 1)2 + 1 et démontrer la conjecture. 4. Deux nombres de Fermat Soit 𝐹𝑛 et 𝐹𝑛+𝑘 deux nombres de Fermat, 𝑘 ≥ 1. a. Conjecturer le PGCD de 𝐹𝑛 et 𝐹𝑛+𝑘 . 𝐹 −2 b. Déterminer 𝑛+𝑘 . 𝐹 𝑛

c. En déduire que 𝐹𝑛 divise 𝐹𝑛+𝑘 − 2. d. Démontrer la conjecture. 5. L’ensemble des nombres premiers a. Si 𝑝𝑛 est un diviseur premier de 𝐹𝑛 et 𝑝𝑛+𝑘 un diviseur premier de 𝐹𝑛+𝑘 , que peut-on dire de 𝑝𝑛 et 𝑝𝑛+𝑘 ? b. Que peut-on dire de la suite des nombres de Fermat ? c. Conclure. Note : Vers 1920, Georges Polya a démontré de cette manière l’existence d’une infinité de nombres premiers.

Problème 4 : tester si un nombre est premier

1. Enoncer le petit de théorème de Fermat. On considère un entier naturel 𝑛, dont on veut savoir s’il est premier ou non. Le théorème précédent donne lieu au test de Fermat dont les étapes sont les suivantes : a. Choix arbitraire de 𝑥 ∈ 𝑁, 1 < 𝑥 < 𝑛. b. Vérifier que 𝑃𝐺𝐶𝐷(x, n) = 1 et calculer de 𝑥 𝑛−1 [𝑛] 2. Que peut-on dire si 𝑥 𝑛−1 ≡ 1[𝑛] ? si 𝑥 𝑛−1 ≢ 1[𝑛] ? 3. Tester, avec Xcas, le nombre 561. 4. 561 est-il premier ? Note : 561 met en défaut le test de Fermat. Un tel nombre est appelé nombre de Carmichaël et on démontre le résultat suivant : Un nombre composé impair 𝑛 ≥ 3 est un nombre de Carmichael si et seulement si : (i) il est sans carrés (c’est-à-dire qu’il n’a pas de diviseurs premiers multiples), (ii) pour tout diviseur premier p de n, p − 1 divise n − 1.

On est alors obligé d’affiner le test de Fermat. 5. Chercher le critère de Miller-Rabin.

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