Problemlösning Linjära ekvationssystem

En elektrisk krets Figuren f¨orest¨ aller en elektrisk krets med sp¨ anningsk¨ alla och ett antal motst˚ and.

Probleml¨osning Linj¨ara ekvationssystem

R1

R1

R1

R2

R2

R2

+ V

I1

I2

I3

Baserat p˚ a ett problem med en elektrisk krets R1

R1

R1

Jfr. l¨ aroboken, Case Study 9.5 Enligt den matematiska modell som ges av Ohms och Kirchhoffs lagar kan man s¨atta upp ett ekvationssystem f¨or str¨ omstyrkorna i de tre slutna kretsarna. Dessa ¨ar antydda med pilar i figuren.

1

2

Ekvationssystem

Matrisform

Ekvationssystemet ser ut som

Om vi t.ex. har v¨ardena R1 = 1, R2 = 3 och V = 5, s˚a kommer ekvationssystemet p˚a matrisform att se ut som

(2R1 + R2 )I1

(2R1 + 2R2 )I2

R2 I1 (2R1 + 2R2 )I3

R2 I2 R2 I3 R2 I2

=

V

= 0 = 0

Varje ekvation erh˚ alls genom att f¨olja sp¨ annings¨andringarna genom en sluten krets och kr¨ava att det totala sp¨ anningsfallet blir 0. F¨ or tydlighets skull har sp¨ anningsk¨ allan, som ¨ar speciell f¨or en krets, satts in i h¨ogerledet.

3

0 BB 5  3 0

3 8 3

1 0 1 01 CC
BBI CC = BB5C 3A I A 0C A

0

1 2

I3

8

0

Man kan nu t¨ anka sig att man vill l¨osa detta ekvationssystem genom att anv¨anda MATLAB.

4

Implementering Implementering i MATLAB av detta speciella fall:

Algoritm Algoritmskiss:

   

Lagra koefficientmatrisen i en l¨amplig datastruktur A. Lagra h¨ogerledsvektorn i en motsvarande datastruktur b. L¨os ekvationssystemet l¨osning kallas h¨ar x).

Ax = b, (s¨okt

Presentera l¨osningen, som siffror eller grafiskt.

A = [ 5 -3 0; ... -3 8 -3; ... 0 -3 8]; b = [ 5 0 0 ]’; x = A\b; m = [1 2 3]; % S¨ att index x plot(m,x,m,x,’*’) axis([0 4 0 2]) K¨ orning av detta ger resultatet: x = 1.3547 0.5911 0.2217

5

6

Generalisering Man skulle kunna t¨ anka sig motsvarande koppling med ett godtyckligt antal kretsar. T.ex. 5 kretsar:

Grafiskt resultat Plotten ser ut som

R1

R1

R1

R1

R1

2

1.8

R2 1.6

R2

R2

R2

R2

+ V

1.4

I1

I2

I3

I4

I5

R1

R1

R1

R1

R1

1.2

1

0.8

0.6

0.4

Motsvarande koefficientmatris skulle se ut som

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Observera att detta ¨ar str¨ ommarna i varje enskild sluten krets. Nettostr¨ommarna i varje ledningsgren f˚ ar ber¨ aknas ur dessa,

0 BB 5 BB 3 BB 0 BB 0  0

7

3 8 3 0 0

0 3 8 3 0

8

0 0 3 8 3

1 C 0C CC 0C CC 3C A 0

8

Generalisering, forts. P˚ a samma s¨att kan man t¨ anka sig att det ing˚ ar flera sp¨ anningsk¨ allor i systemet. S˚ a l¨ange dessa ligger i den yttre ledningen (bredvid R1-motst˚ anden), s˚ a kan de l¨att placeras in i h¨ ogerledet i motsvarande krets. En ¨andrad resistans p˚ a n˚ agon av motst˚ andstyperna skulle d¨aremot yttra sig som en ¨andring av koefficienterna i matrisen. Ins¨attandet av flera typer av motst˚ and skulle resultera i att matriskoefficienterna inte blir lika ”regelbundna”.

Generellare algoritm En algoritm f¨or detta fall kunde vara:

 

 

9

Tag reda p˚ a antal kretsar, sp¨ anningen och resistanserna R1 , R2 (ev. fler).

V

Generera korrekt koefficientmatris. Observera matrisens regelbundna struktur. B¨ orja med en nollmatris och l¨agg sedan in de (relativt f˚ a) nollskilda elementen. S¨att in

V

p˚ a r¨ att plats(er) i h¨ogerledet.

L¨os ekvationssystemet och presentera resultatet.

10

Ber¨ akningsarbete med programmet Stort fast n¨ atverk F¨ or ett stort n¨atverk kan utr¨akningen av matrisen bli omfattande. Om n¨atverket ¨ar fast kan den d˚ a g¨oras en g˚ ang och sparas p˚ a fil tillsamman med ¨ovriga data. Studera f¨oljande MATLAB-kommandon/funktioner f¨or att se hur detta g¨ors.

 

Med en f¨ardig matris som representerar ett elektriskt n¨atverk, kan man nu formulera ett program som utf¨or olika typer av ber¨ akningar:





save load

En del av algoritmen f¨or¨andras d˚ a till att lokalisera och l¨asa in sparade data.

11



Man kan skriva ett program som med inladdad matris g¨or en k¨orning med ett antal sp¨ anningsk¨ allor som anv¨andaren specificerar. Man kan bygga ut detta till att g¨ora ett flertal k¨orningar, s˚ a att anv¨andaren kan experimentera med olika placering och styrka p˚ a sp¨ anningsk¨ allorna. Resultaten kan studeras interaktivt som siffror och grafik. Man kan l˚ ata programmet spara en eller fler resultat p˚ a filer, (sifferdata), f¨or att andra anv¨andare skall kunna studera resultaten. Ev. kan andra program g¨ora statistiska unders¨okningar av materialet.

12