Propriété

ANGLES ET PARALLELISME I) Angles adjacents y

Activité : Faire deux angles adjacents deux angles avec un côté commun mais pas avec le même sommet deux angles avec le même sommet mais pas de côté commun deux angles non situés de part et d’autres du côté commun puis demander une définition de deux angles adjacents

z

1) Définition Deux angles sont adjacents lorsque : ils ont le même sommet ; ils ont un côté commun ; ils sont situés de part et d’autres de ce côté commun.

O

x

Côté commun aux angles ;yOz et ;zOx Sommet commun aux angles ;yOz et ;zOx

2) Propriété Si deux angles

;yOz et

;zOx sont adjacents alors

;yOx =

;yOz +

;zOx

Exemple : Si

;yOz = 10° et ;zOx = 30° alors ;yOx = ;yOz + ;zOx ;yOx = 10 + 30 ;yOx = 40°

II) Angles particuliers 1) Angles complémentaires définition Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°.

Exemple :

m

;mBn+ = 37 + 53 = 90°

n

;rCl

donc les angles

;mBn et

l

;rCl sont complémentaires. 37° B

2) Angles supplémentaires

53° C

r

définition Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°. Exemple :

v

A

;tGv+ = 79 + 101 = 180°

;cAr

101° c

donc les angles

;tGv et

;cAr sont supplémentaires

79°

III) Angles opposés par le sommet

r G

Voir activité 1 p 200 : « angles opposés par le sommet »

t

x

t

1) Définition

O

Deux angles sont opposés par le sommet lorsque : ils ont le même sommet ; les côtés de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre.

z

Les deux paires d’angles opposés par le sommet sont : ;xOz et ;yOt ; ;xOt et ;zOy

y

O est le sommet commun

2) Propriété Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. Si Si

;xOz et ;xOt et

;yOt sont opposés par le sommet alors ;zOy sont opposés par le sommet alors

;xOz = ;xOt =

;yOt. ;zOy.

IV) Angles alternes-internes 1) Définition Lorsque deux droites sont coupées par une sécante, dire que deux angles non adjacents sont alternes-internes signifie qu’ils sont situés : de part et d’autre de la sécante ; à l’intérieur de la bande formée par les deux droites. 2) Propriétés Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes-internes qu’elles déterminent ont la même mesure. Si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles alternes-internes de même mesure alors ces deux droites sont parallèles. Exemple : Si (d1) // (d2) alors …=… et …=…

(d1)

Si …=… ou si …=… alors (d1) // (d2)

(d2)

V) Angles correspondants Voir activité 3 page 202 : « angles correspondants » 1) Définition Lorsque deux droites sont coupées par une sécante, dire que deux angles non adjacents sont correspondants signifie que : ils sont situés du même côté de la sécante ; un seul des deux angles est situé dans la bande formée par les deux droites

2) Propriétés Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles correspondants qu’elles déterminent ont la même mesure. Si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure alors ces deux droites sont parallèles. Exemple : Si (d1) // (d2) alors …=… et …=… et …=… et …=… Si …=… ou si …=… ou si …=… ou si …=… alors (d1) // (d2)

(d1)

(d2)

CONSTRUCTION DE TRIANGLES ET INEGALITE TRIANGULAIRE I) Inégalité triangulaire Voir activité 1 page 162 : « Inégalité triangulaire » 1) B   AC  Cas 1 et 2 de l’activité Propriété Si B n’appartient pas au segment [AC] alors AC  AB  BC A B

C B A

C

Conséquence : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés

2) B   AC  Cas 3 de l’activité Propriété Si B appartient au segment [AC] alors AC = AB + BC C

B A Si un point B vérifie : AB + BC = AC alors B appartient au segment [AC]

Propriété de l’inégalité triangulaire Si A, B, et C sont trois points quelconques alors AC  AB  BC II) Construction de triangles

AIRES DES FIGURES USUELLES I) Aire d’un parallèlogramme Voir activité : aire et découpage d’un parallélogramme

(d)

1) Distance entre deux droites parallèles La distance entre les droites (d) et (d’) est égale à la longueur AB

A

(d’)

2) Hauteurs d’un parallélogramme

B

Les hauteurs d’un parallélogramme sont les distances entre les droites supportant deux côtés opposés (éventuellement prolongés). 3) Aire d’un parallélogramme L’aire A d’un parallélogramme est égale au produit de la longueur d’un coté par la hauteur correspondante.

A

A = B  h = CD  h’ = BC  h’’

B h’’

D

h’

C

II) Aire d’un triangle Voir

activité :

aire

d’un

parallélogramme et d’un triangle

A h B

C

H B

L’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d’un coté par la hauteur relative à ce coté. Bh 2 A = (AH  BC) : 2

A=

III) Aire d’un disque Voir activité 3 page 243 : aire d’un disque

r

L’aire d’un disque de rayon r est égale à A    r2

IV) Aires latérales PREVOIR PRISME DROIT L’aire latérale d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur. P

P

h

AL = P x h

h

Exemples : Pour un prisme droit à base triangulaire dont la hauteur mesure 8 cm et les côtés du triangle 3 cm, 4 cm et 5 cm.

Pour un cylindre de révolution dont la base est un cercle de rayon 1,5 cm et la hauteur mesure 8 cm.

AL = P x h AL = (3 + 4 + 5) x 8 AL = 12 x 8 AL =96 cm²

Calculons tout d’abord le périmètre du cercle : P = 2   r P = 2    1, 5 P = 2  1, 5   P = 3 P 9, 4 AL = P x h AL 9, 4  8 AL 75, 2 cm²

Angle inscrits et angles au centre 1) Arcs de cercle Définition : Deux points distincts A et B d’un cercle C définissent deux arcs de cercle. Exemple :

̂ (traits pointillés) et un grand arc noté 𝐴𝐵 ̆ (trait plein). Les points A et B définissent un petit arc noté 𝐴𝐵

2) Angles au centre Définition : Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. Exemple : ̌ est l’angle au centre interceptant le grand arc L’angle rentrant 𝐴𝑂𝐵 ̆ 𝐴𝐵 . ̂ est l’angle au centre interceptant le l’arc 𝐴𝐵 ̂. L’angle saillant 𝐴𝑂𝐵 Remarque : Un angle saillant a une mesure comprise entre 0° et 180° alors qu’un angle rentrant a une mesure comprise entre 180° et 360°. 3) Angles inscrits dans un cercle Définition : Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent ce cercle. ̂ est un L’angle rentrant 𝐵𝐶𝐴 ̂ 𝐴𝐵 (qui ne contient pas le point

angle inscrit qui intercepte l’arc C).

̌ inscrit qui intercepte l’arc 𝐴𝐵

̂ est un angle L’angle rentrant 𝐵𝐷𝐴 (qui ne contient pas le point D). 4) Propriétés des angles inscrits

Théorème : Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre. Théorème : Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. Exemple : ̂ = 𝐴𝑁𝐵 ̂ = 1 𝐴𝑂𝐵 ̂ 𝐴𝑀𝐵 2 M

O A

N

B



Déterminer la mesure d’un angle

Technique :  On cherche l’arc intercepté par l’angle qui nous intéresse et on utilise :  L’angle au centre associé ou  Un angle inscrit qui intercepte le même arc ANGLES D’UN TRIANGLE

I) Somme des angles dans un triangle Activité de découpage des angles d’un triangle quelconque. Voir activité / démonstration 4 page 202 2) Propriété La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°. T

Exemple : Pour un triangle TOM : TOM  OMT  MTO  180

O II) Propriétés des triangles usuels

M R

Voir activité pliage et découpage de triangles isocèle, équilatéral, rectangle 1) Triangle isocèle

L C

Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. RCL  RLC 2) Triangle équilatéral

P Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont même mesure. Les angles d’un triangle équilatéral mesurent donc tous 60°. 180 : 3 = 60°

G S

PSG  SGP  GPS 3) Triangle rectangle

M

Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, c'est-à-dire que leur somme est de 90°.

MAT  AMT  90

A T