QCM : contrôle continu 1 : Corrigé

QCM : contrôle continu 1 : Corrigé 2013 Question 1 : Soit A un nombre entier naturel. En base 10, A s’écrit 753. Comment écrit-on A en base 7 ? Réponse : 753 4

7 107 7 2 15 7 1 2

En base 7, A s’écrit 2124

Question 2 : Quelle est le PGCD des trois nombres entiers naturels 88, 104 et 68 ? Réponse : 88 = 23 × 11 104 = 23 × 13 68 = 22 × 17 𝑃𝐺𝐶𝐷(88; 104; 68) = 22 = 4

Question 3 : 257 est nombre premier car il n’est divisible par aucun des nombres suivants : Réponse : √257 ≈ 16,03 donc il suffit de vérifier que 257 ne soit divisible par aucun des nombres premiers inférieurs à 16 ; c’est-à-dire qu’il ne soit divisible par aucun des nombres suivants : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 et 13.

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Question 4 : Quelle est la solution de l’inéquation 1 5 − 𝑥+3≤ ? 4 4 Réponse : C’est l’ensemble des réels supérieurs ou égaux à 7 En effet, 1 5 − 𝑥+3≤ 4 4

1 5 1 5 12 1 −7 ⟺ − 𝑥 ≤ −3⟺− 𝑥 ≤ − ⟺ − 𝑥≤ 4 4 4 4 4 4 4

𝑥

≥

−7 4

×

−4 1

⟺ 𝑥≥ 7

L’ordre de I’ inégalité a été changé car on l’a multipliée par un nombre négatif

Question 5 : Affirmation : si un nombre est multiple de 6 et de 9 alors il est aussi multiple de 54. Réponse: Faux 36 est un bon contre-exemple. En effet, 36 est un multiple de 6, il est aussi un multiple de 9, mais il n’est pas un multiple de 54.

Question 6 : Une classe de 24 élèves est composée de 14 filles et 10 garçons. La taille moyenne des garçons est de 174 cm et celle des filles 162 cm. Affirmation : la taille moyenne des élèves de la classe est 167 cm Réponse : Vrai Preuve : Appelons 𝑎 la somme des tailles des garçons et appelons 𝑏 la somme des tailles des filles. L’énoncé nous donne : 𝑎 𝑏 = 174 𝑒𝑡 = 162 𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 174 × 10 𝑒𝑡 𝑏 = 162 × 14 10 14 La somme des tailles des élèves de toute la classe est égale à 𝑎 + 𝑏 id est 𝑎 + 𝑏 = 174 × 10 + 162 × 14 = 4008 On en déduit la taille moyenne 𝑀 d’un élève de la classe. 𝑀=

𝑎 + 𝑏 4008 = = 167 𝑐𝑚 24 24

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Question 7 : Sur la figure ci-après, AM = 6 cm ; MB = 3 cm ; MN = 4 cm et BC = 6 cm

Affirmation : les droites (NM) et (BC) ne sont pas parallèles Réponse: Faux Preuve : 𝑀𝑁 4 2 𝐴𝑀 6 2 𝑀𝑁 𝐴𝑀 = = 𝑒𝑡 = = 𝑑𝑜𝑛𝑐 = 𝐵𝐶 6 3 𝐴𝐵 6 + 3 3 𝐵𝐶 𝐴𝐵 La réciproque du théorème de Thalès permet d’affirmer que Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

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Question 8 : Soit un triangle ABC tels que AB= 6 cm ; AC=8cm et BC = 10 cm. Affirmation : le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu du segment [BC] Réponse : Vrai Preuve : Remarquons que le triangle ABC est rectangle en A, en effet un calcul rapide permet de montrer que 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² = 𝐵𝐶². En conséquence le segment [BC] est l’hypoténuse du triangle rectangle ABC. Or le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est le centre de son cercle circonscrit.

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Question 9 : On enlève un bord de 1 cm de large à une feuille de papier rectangulaire. Le rectangle obtenu a une aire égale à la moitié de l’aire du rectangle initial. Le périmètre du rectangle initial est de 20 cm. Quelle est l’aire en centimètres carrés du rectangle initiale ?

Réponse : 16 cm² Preuve : Déterminons 𝑏 . Partons de l’hypothèse 1

𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑛𝑜𝑢𝑣𝑒𝑎𝑢 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 2 × 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 1 𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝑏 − 1) × 𝑎 = 𝑎 × 𝑏 2

⟺

1 𝑏 − 𝑏 = 1 ⟺ 𝑏 = 2 𝑐𝑚 2

En exploitant maintenant l’hypothèse : le périmètre du rectangle initial est de 20 cm. Il vient : 2𝑎 + 2𝑏 = 20 𝑂𝑟 𝑏 = 2 𝑐𝑚 𝑑𝑜𝑛𝑐 2𝑎 + 2 × 2 = 20 𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 8 𝑐𝑚 On connait 𝑎 et 𝑏 , on peut désormais calculer l’aire du rectangle initial. 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 = 𝑎 × 𝑏 = 2 × 8 = 16 𝑐𝑚²

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QCM : contrôle continu 1 : Corrigé 2013 Question 10: Dans le cube ABCDEFGH d’arête 𝑎 , on considère la pyramide AEFG.

La somme des aires des quatre faces de la pyramide AEFG est égale à : Réponse : La bonne réponse est la réponse d Preuve : Les faces EFB, BFG et EFG sont identiques ce sont toutes des triangles rectangle isocèle comme suit :

La somme des aires de ces trois faces est égale à : 3×

𝑎×𝑎 3 = 𝑎² 2 2

Enfin, il reste à déterminer l’aire de la face EBG, notons que la face EBG est un triangle équilatéral de côté 𝑎√2 puisque le côté de chaque face est la diagonale d’un carré de côté a.

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Pour calculer l’aire de la face BGE, il nous faut déterminer la longueur du segment [EH], hauteur issue de E du triangle BEG. En appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle EHG, on 2

obtient : 𝐸𝐻 = √(𝑎√2) − (𝑎

⟹ 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝐵𝐺 =

2 √2 ) 2

3

= 𝑎√2

1 3 √3 × 𝑎√2 × 𝑎√ = 𝑎² 2 2 2

In fine, la somme des aires des 4 faces de la pyramide AEFG est égale à : 3 2 √3 2 (3 + √3) 2 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 2 2 2

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