Quadrilatères possédant un cercle inscrit : Une propriété des

Quadrilatères possédant un cercle inscrit : Une propriété des diagonales. I- Avec Cabri. 1) Construire une demi droite d’origine U, puis placer, à l’aide des fonctions « Nombre » et « Report de mesure », quatre points sur cette demi droite dont les distances à U sont 4 ; 6 ; 9 et 11. 2) Construire, à l’aide de la fonction « Compas », un quadrilatère ABCD tel que AB=4, BC=9, CD=11 et DA=6. On construira dans cet ordre : [AB], puis D, puis C. Pour vérifier votre construction. Déplacez le point D en laissant [AB] fixé : vous observez les différentes configurations possibles du quadrilatères ABCD. 3) Le quadrilatère ABCD possède un cercle inscrit : en effet AB+CD = 4+11 = 15 et BC+DA = 9+6 = 15. Construire son cercle inscrit. Au préalable, définissez les droites (AB), (BC), (CD) et (DA). Vous spécifierez alors que les quatre points de contact du cercle inscrit avec ABCD appartiennent aux droites ci-dessus (et non seulement aux côtés de ABCD définis en tant que segments).

4) M, N, P et Q sont les points de contact du cercle inscrit avec les différents côtés. Tracer les diagonales (considérées comme des droites) du quadrilatère ABCD, ainsi que les diagonales du quadrilatère MNPQ. Déplacer le point D en laissant [AB] fixé. Que peut-on conjecturer ?

II- Sur votre copie. On veut démontrer ce qui a été observé avec Cabri.

Comme l’indique les figures ci-dessus, on note : • I le point d’intersection de [AC] et [BD]. • J le point d’intersection de [AC] et [MP]. • K le point d’intersection de [AC] et [NQ]. 1) On note O le centre du cercle inscrit. Montrer que AMJ = DPJ . En déduire que sin AMJ = sin CPJ . 2) Montrer que 2 aire( AMJ ) = MA.MJ sin AMJ = JM . JA sin MJA . Ecrire les égalités analogues concernant le triangle CPJ. Montrer, en considérant le rapport

2 aire( AMJ ) AJ AM , que = . 2 aire(CPJ ) CJ CP

3) En déduire que J est le barycentre de {( A, CP), (C , AM )} . 4) Si l’on échange le rôle de B et D le raisonnement précédent montre (voir la 3 ème figure cidessus) que K est le barycentre de {( A, CN ), (C , AQ)}. A l’aide de ce résultat, prouver que le point d’intersection de [MP] et [NQ] est sur [AC]. 5) En considérant la diagonale [BD], on peut prouver de la même façon que le point d’intersection de [MP] et [NQ] est sur [BD]. Prouver alors ce qui a été observé avec Cabri.

Connaissances requises : • Tangente à un cercle. • Deux angles supplémentaires ont le même sinus. 1 • Formule ab sin θ pour l’aire d’un triangle. 2 • Barycentre (facultatif : la question peut être rédigée différemment). Commentaire : 1) OMP est isocèle. 2) Si les angles n’étaient pas supplémentaires mais égaux on obtiendrait cette égalité à l’aide du théorème de Thalès. On doit dans notre cas recourir à une astuce pour arriver au même résultat. 4) CP = CN et AM = AQ. Remarque : Une manière plus élégante, mais beaucoup plus savante, de démontrer ce résultat est d’utiliser le théorème de Brianchon : version faible : Si un hexagone est tangent extérieurement à un cercle, alors les 3 diagonales de cet hexagone sont concourantes. version forte : les 3 diagonales d’un hexagone convexe sont concourantes ssi cet hexagone est tangent extérieurement à une ellipse. La version faible nous suffit : on applique ce théorème aux hexagones particuliers AMBCPD et ABNCDQ.