Question 4 - WebCampus

Statistiques et Probabilités – TP 2 Solutionnaire Question 1 (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., chapitre 2) Une station balnéaire décide de réaliser une étude de son climat. Pour cela, le nombre de jours de soleil par mois d’été a été retenu comme mesure du climat. La distribution du nombre de jours de soleil par mois d’été durant les cinq dernières années est la suivante : Année 1 2 3 4 5

Juin 10 10 14 14 10

Juillet 15 15 14 14 15

Août 20 7 20 20 7

Quel est le mois que vous choisiriez pour vos vacances ? Explicitez votre réponse en vous aidant de la moyenne et de l’écart-type. Calculons la moyenne et l’écart-type du nombre de jours d’ensoleillement pour les trois mois d’été. Nous considérons les données comme provenant d’un échantillon. 1) Mois de Juin Moyenne = μ = (10 + 10 + 14 + 14 + 10) / 5 = 58 / 5 = 11.60 X = jours de soleil 10 10 14 14 10

(X-μ) -1.60 -1.60 2.40 2.40 -1.60 =0

(X-μ)2 2.56 2.56 5.76 5.76 2.56 =19.20

Variance = 2 = 19.20 / 4 = 4.80 Ecart-type =  = 2.19

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2) Mois de Juillet Moyenne = μ = (15 + 15 + 14 + 14 + 15) / 5 = 73 / 5 = 14.60 X = jours de soleil 15 15 14 14 15

(X-μ) 0.40 0.40 -0.60 -0.60 0.40 =0

(X-μ)2 0.16 0.16 0.36 0.36 0.16 =1.20

Variance = 2 = 1.20 / 4 = 0.30 Ecart-type =  = 0.55

3) Mois d’août Moyenne = μ = (20 + 7 + 20 + 20 + 7) / 5 = 74 / 5 = 14.80 X = jours de soleil 20 7 20 20 7

(X-μ) 5.20 -7.80 5.20 5.20 -7.80 =0

(X-μ)2 27.04 60.84 27.04 27.04 60.84 = 202.80

Variance = 2 = 202.80 / 4 = 50.70 Ecart-type =  = 7.12

Conclusion : Malgré le fait que le mois d’août est le mois d’été pour lequel le nombre de jours d’ensoleillement est le plus élevé en moyenne, il semble préférable de partir en vacances au mois de juillet puisque la moyenne du nombre de jours d’ensoleillement est légèrement plus faible (14.6 jours contre 14.8) mais l’écart-type pour ce mois est nettement plus bas que pour le mois d’août (0.55 contre 7.12).

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Question 2 Un joueur lance simultanément 2 dés (6 faces numérotées de 1 à 6). Les dés sont parfaitement équilibrés. a) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 9 ? b) Quelle est la moyenne de la somme ? a) Le joueur lance simultanément deux dés à 6 faces. Les résultats possibles, au nombre de 36, sont repris dans le tableau suivant :

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Considérons la variable aléatoire X qui représente la somme des 2 dés, ses valeurs vont donc de 2 à 12. Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Fi 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

XiFi 2 6 12 20 30 42 40 36 30 22 12 =252

La probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 9 : Pr(X  9) = 10 / 36 = 0.2778, soit 27.78%. En consultant le tableau des résultats, on observe que la somme des deux dés vaut 9, 10, 11 ou 12 dans 10 cas sur 36.

b) Moyenne de la somme = 252 / 36 = 7

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Question 3 Si les deux dés étaient lancés successivement 4 fois, quelle est la probabilité que la somme soit supérieure à 9 au moins 3 fois ? (Remarque : si vous utilisez les tables, vous pouvez prendre la valeur donnée la plus proche de celle calculée). Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ? Déterminons tout d’abord la probabilité de l’événement « somme des dés est strictement supérieure à 9 ». X peut donc valoir 10, 11 ou 12. En consultant le tableau des résultats que nous avons établi à l’exercice précédent, on observe que la somme des deux dés vaut 10, 11 ou 12 dans 6 cas sur 36. D’où, Pr (X > 9) = 6 / 36 = 0.1667, soit 16.67%. On utilise la table des probabilités binomiales individuelles, avec n = 4,  = 0.20 (approximation de 0.1667), et s valant 3 ou 4. D’après la table, Pr (X > 9, au moins 3 fois) = 0.026 + 0.002 = 0.028, soit 2.8%. Nous pouvons également calculer cette probabilité en appliquant la formule générale suivante (avec n = nombre d’expériences, s = nombre de succès et p = la probabilité de succès) : Pr (X = s) =

n! p s (1  p) n  s s!(n  s)!

Dans le cas présent, nous devons ainsi calculé la somme de deux probabilités Pr(s = 3) + Pr(s = 4). Soit,

4! 4! (0,1667) 3 (1  0,1667)  (0,1667) 4 (1  0,1667) 0 = 0,01544 + 0,00077 = 0,01621. 3!1! 4!0! La différence (non négligeable) entre le résultat calculé et celui fourni par les tables provient d’une part, de l’approximation de la probabilité de succès (0,20 dans les tables au lieu de 0,1667) et d’autre part, de l’arrondi à la troisième décimale réalisé dans les tables.

Question 4 Un boulanger achète des œufs pour la réalisation de ses pâtisseries. Afin de s’assurer de la fraîcheur de tous les œufs contenus dans une boîte, il effectue le test suivant : de chaque boîte (une boîte contient 100 œufs), il retire 5 œufs et les casse afin de constater leur fraîcheur (il fait confiance à son odorat qui est fiable à 100%). Si les 5 œufs sont déclarés frais, il accepte la boîte car il considère que tous les œufs de la

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boîte sont frais. Si un œuf ou plus sont déclarés pourris, il rejette impitoyablement la boîte. a) Quelle est la probabilité qu’il accepte une boîte qui contient 20 œufs pourris ? b) Combien d’œufs devrait-il casser pour s’assurer que la probabilité d’accepter une boîte qui contient 20 œufs pourris est inférieure à 10% ? Les épreuves ne sont pas indépendantes l’une de l’autre. On peut cependant donner une approximation du résultat en utilisant les tables de la Loi Binomiale. (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp. 130-136 pour la théorie et pp. 869-871 pour les tables). a) Probabilité du succès (c’est-à-dire de tomber sur un œuf pourri) =  = 20 / 100 = 0,2 ; le nombre d’épreuves = 5 et le nombre total de succès en n épreuves = s. On cherche la probabilité que le boulanger accepte la boite (autrement dit, il n’a trouvé

n

aucun œuf pourri parmi les 5 œufs qu’il a cassés), soit Pr(s = 0) =   s (1   ) n s = s

n! 5!  s (1   ) n s  0,2 0 (1  0,2) 5  0,3276 , soit 32,8%. s! (n  s)! 0!5! La table portant sur les probabilités binomiales individuelles (p. 870) donne également directement la valeur trouvée par calculs ci-dessus : n = 5, s = 0 et π = 0,2  Pr(s = 0) = 0,328. b) Il s’agit, en augmentant le nombre d’épreuves n, de faire tomber la Pr(s = 0) en dessous de 10%. En consultant la table, nous trouvons que le nombre d’épreuves nécessaires pour que la probabilité soit inférieure à 10% est de 11 (= n). Dans ce cas, Pr(s = 0) = 0,086, soit 8,6%.

Question 5 Notre boulanger se demande quelle serait la probabilité qu’il déclare « pourri » un œuf tiré au hasard dans une boîte de 100 œufs contenant 20 œufs pourris si son odorat était fiable à 80%. Quelle est alors la probabilité qu’un œuf déclaré pourri soit réellement pourri ? Quelles sont les données de l’énoncé ? On sait que la boîte de 100 oeufs contient 20 oeufs pourris. La probabilité qu’un oeuf contenu dans la boîte soit pourri = Pr (pourri) = 0.20 et la probabilité qu’un oeuf ne soit pas pourri = Pr (non-pourri) = 1 - Pr (pourri) = 0.80.

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On sait en outre que l’odorat du boulanger est fiable à 80%. Il détecte le véritable état de l’oeuf (pourri ou non-pourri) avec une fiabilité de 80%. Autrement dit, il se trompe en moyenne dans 20% des cas. En formalisant, on peut écrire que la probabilité qu’il déclare un oeuf comme étant pourri (« pourri »), s’il est effectivement pourri, est égale à 80%, autrement dit Pr (« pourri » | pourri) = 0.80. Remarquez l’usage de la probabilité conditionnelle. On demande la probabilité qu’un oeuf déclaré pourri soit effectivement pourri. Autrement dit, Pr (pourri | « pourri ») = ? Si le test (l’odorat du boulanger) avait été fiable à 100%, Pr (« pourri » | non-pourri) aurait été égale à 0% (le boulanger ne se trompe jamais). Cependant le test n’est fiable qu’à 80%. Il faut en tenir compte. Le boulanger peut se tromper. Un oeuf peut être déclaré pourri (« pourri ») alors qu’il est effectivement non-pourri. Il s’agit d’un problème qui demande l’application du théorème de Bayes (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp. 104-108). Pr (pourri | « pourri ») = ( Pr (« pourri » | pourri) * Pr (pourri) ) / Pr (« pourri ») = ( 0.80 * 0.20 ) / Pr (« pourri ») Pr (« pourri ») = ( Pr (« pourri » | non-pourri) * Pr (non-pourri) ) + ( Pr (« pourri » | pourri) * Pr (pourri) ) = 0.20 * 0.80 + 0.80 * 0.20

0.20 non-pourri 0.80

« pourri » « non-pourri »

0.80 pourri 0.20

0.80

0.20

« pourri » « non-pourri »

Pr (pourri | « pourri ») = ( 0.80 * 0.20 ) / 0.32 = 0.50

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Question 6 La « durée de vie » alimentaire d’un yaourt est distribuée normalement avec une moyenne de 20 jours et un écart type de 2 jours. Quel est le nombre de jours de conservation maximum si vous voulez garantir la fraîcheur dans 99% des cas ? La « durée de vie » alimentaire d’un yaourt (X) suit une Loi Normale de moyenne égale à 20, et d’écart type égal à 2. On demande le nombre de jours de conservation maximum pour garantir la fraîcheur dans 99% des cas. (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp. 142-147 ; et table de la Loi Normale en annexe, p. 874) Pr (Z  zo) = 0.01 Pr (Z  ((X’-20)/2)) = 0.01 Il s’agit tout d’abord à partir de la table de la loi Normale de trouver la valeur de zo telle que la probabilité soit égale à 1%. On obtient une valeur de zo = 2,31. Il est ensuite aisé de trouver la valeur de X’ tel que l’égalité suivante soit vérifiée : (X’ - 20) /2 = zo = 2.31. X’ = (2.31 * 2) + 20 = 24.62 Ainsi, 1% des yaourts ont une durée de vie alimentaire supérieure à 24.62 jours. Si l’on fixait le nombre de jours de conservation maximum à 24.62 jours, nous accepterions les yaourts ayant une durée de vie inférieure à 24.62 jours (soit le cas de 99% des yaourts). En fixant, la limite à 24.62 jours, nous écartons le 1% de yaourts ayant une durée de vie la plus longue (les yaourts ayant une fraîcheur parmi les plus durables). C’est exactement l’inverse de ce que nous recherchons, à savoir écarter le 1% de yaourts ayant la durée de vie la plus courte (la fraîcheur la moins durable) ! Nous connaissons la propriété de symétrie de la distribution selon la Loi Normale. D’où, (24.62 jours - moyenne) = 4.62 jours Moyenne - 4.62 jours = 15.38 jours En fixant le nombre de jours de conservation maximum à 15.38 jours, on écarte le 1% des yaourts ayant la durée de vie la plus courte (c-à-d. les yaourts dont la durée de vie est inférieure à 15.38 jours). On garantit la fraîcheur dans 99% des cas.

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Question 7 Un garagiste accorde une garantie d’un an sur les véhicules d’occasion. La probabilité d’une panne dans la période de garantie est de 25% et le coût moyen de la réparation est de 500 euros. Le garagiste achète des véhicules d’occasion au prix moyen de 2500 euros et il les revend avec une marge de 20%. a) Quelle est la marge espérée après déduction des frais de garantie ? Le garagiste a mis au point un test qui lui permet de vérifier l’état de la voiture. Ce test lui permet d’affirmer, avec une fiabilité de 90%, que la voiture n’aura pas de panne dans la première année. b) Que devient la probabilité de panne dans la période de garantie pour les véhicules qu’il accepte ? a) Marge espérée après déduction des frais de garantie : la marge brute s’élève à 20% du prix d’achat de la voiture par le garagiste = 0,2 * 2500 = 500 euros, de laquelle il faut déduire les frais de réparation en cas de panne = 0,25 * 500 = 125 euros de sorte qu’au final, le garagiste fait une marge de 375 euros. b) Que nous donne l’énoncé ? Il donne la probabilité qu’une voiture tombe en panne (qu’elle soit mauvaise) : Pr (mauvaise) = 0.25 et par conséquent, Pr (bonne) = 0.75. L’énoncé donne également la fiabilité du test mis au point par le garagiste (90%), laquelle se traduit par : « » signifiant « déclaré bonne (ou mauvaise) » par le garagiste, Pr Pr Pr Pr

(« bonne » | bonne) = 0.90 (« bonne » | mauvaise) = 0.10 (« mauvaise » | mauvaise) = 0.90 (« mauvaise » | bonne) = 0.10

Que devient la probabilité de panne dans la période de garantie pour les véhicules qu’il accepte ? Autrement dit, Pr (mauvaise | « bonne ») = ? La résolution du problème requiert l’application du théorème de Bayes. Pr (mauvaise | « bonne ») = ( Pr (« bonne » | mauvaise) * Pr (mauvaise) ) / Pr (« bonne ») = ( 0.10 * 0.25 ) / Pr (« bonne »)

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Pr (« bonne ») = ? Vous pouvez vous aider par la construction d’un « arbre ». Pr (« bonne ») = (Pr (« bonne » | bonne) * Pr (bonne)) + (Pr (« bonne » | mauvaise) * Pr (mauvaise)) Pr (« bonne ») = (0.90 * 0.75) + (0.10 * 0.25) = 0.7 Pr (mauvaise | « bonne ») = ( 0.10 * 0.25 ) / 0.7 = 0.036, soit 3.6%

Question 8 Après une longue expérience, notre garagiste déduit que le prix des réparations est distribué normalement avec une moyenne de 500 euros et un écart type de 100 euros. Quelle franchise devrait-il inclure dans la garantie afin de diminuer de 25% le nombre de réparations effectuées sous garantie ? Soit X, le prix des réparations. X est distribuée selon une Loi Normale de moyenne égale à 500 euros et d’écart type égal à 100 euros. Soit a, le montant de la franchise. On désire fixer la franchise de sorte le prix des réparations soient supérieures à cette franchise dans 75% des cas. Dans les 25% de cas restant, on suppose que le client ne fera pas réparer puisque la franchise est plus élevée que le prix de la réparation. Soit Pr (X  a) = 0.75. On utilise la table de la Loi Normale mise en annexe (cf. Wonnacott, p. 874). Pr (Z  zo) = 0.25 Pr (Z  ((X’ - 500) / 100)) = 0.25 Ainsi, la probabilité est égale à 0.25 lorsque zo = 0.67 (valeur trouvée dans la table). D’où, X’ = (0.67 * 100) + 500 = 567 euros. Nous connaissons la propriété de symétrie de la distribution selon la Loi Normale. D’où, (567 - moyenne) = 67 euros Moyenne – 67 euros = 433 euros. La valeur de la franchise doit donc s’élever à 433 euros pour réduire le nombre de réparations de 25%.

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Question 9 Les returns mensuels des actions A et B durant les 4 derniers mois ont été les suivants : Mois 1 2 3 4

A 5% 10% -5% -4%

B -2% 0% 4% 4%

a) Quel est le return moyen et l’écart type d’un portefeuille contenant 40% de A et 60% de B ? b) Quelle proportion de A doit-on détenir pour obtenir un portefeuille d’écart type égal à 2% ? Etablissons un tableau reprenant les fréquences conditionnelles et marginales des returns mensuels des deux actions A et B.

XB

-0.02

0

0.04

-0.05

0

0

1/4

1/4

-0.04

0

0

1/4

1/4

1/4

0

0

1/4

0

1/4

0

1/4

1/4

1/4

2/4

1

XA

0.05

0.1

On considère les données comme celles d’un échantillon (n – 1). a) Return moyen des deux actions : _ XA = (5 + 10 – 5 - 4 / 4) = 6% / 4 = 1.5% _ XB = (-2 + 0 + 4 + 4 / 4) = 6% / 4 = 1.5%

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XA -0.05 -0.04 0.05 0.1

_ (XA - XA) -0.065 -0.055 0.035 0.085 =0.0

_ (XA - XA)2 0.004225 0.003025 0.001225 0.007225 =0.0157

XB -0.02 0 0.04 0.04

_ (XB - XB) -0.035 -0.015 0.025 0.025 =0.0

Variance de l’action A : s2A = (0.0157 / 3) = 0.005233

sA = 0.0723

Variance de l’action B : s2B = (0.0027 / 3) = 0.0009

sB = 0.03

_ (XB - XB)2 0.001225 0.000225 0.000625 0.000625 =0.0027

Return moyen et écart-type d’un portefeuille contenant 40% d’actions A et 60% d’actions B : _ X (0.4 A + 0.6 B) = (0.4 * 0.015) + (0.6 * 0.015) = 0.006 + 0.009 = 0.015

s2 (0.4 A + 0.6 B) = ? CovA,B

=

0.001375

(0.25 * (0.05 – 0.015) * (-0.02 – 0.015)) + (0.25 * (0.1 – 0.015) * (0 – 0.015)) + (0.25 * (-0.04 – 0.015) * (0.04 – 0.015)) + (0.25 * (-0.05 – 0.015) * (0.04 – 0.015)) = (-000.30625) + (-0.00031875) + (-0.00034375) + (-0.00040625) = -

s2 (0.4 A + 0.6 B) = ((0.4)2 * 0.005233) + ((0.6)2 *0.0009) + (2 * 0.4 * 0.6 * (-0.001375)) = 0.00050128 s (0.4 A + 0.6 B) = 0.0224

b) Quelle proportion de A doit-on détenir pour obtenir un portefeuille d’écart type égal à 2% ? Rappel:

a x2 + b x + c = 0 x=? x1, x2 = (( - b + V b2 - 4 ac ) / 2 a)

Ce qui n’est pas détenu en A (x) est détenu en B (1-x).

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On utilise la formule de la variance. Un écart type de 0.02 signifie une variance (objectif) de 0.0004. (x)2 * 0.005233 + (1-x)2 * 0.0009 + 2 * (x) * (1-x) * (-0.001375) = 0.0004 (x)2 * 0.005233 + (1-x) * (1-x) * 0.0009 + 2 * (x) * (1-x) * (-0.001375) = 0.0004 0.005233 x2 + 0.0009 - 0.0018 x + 0.0009 x2 - 0.00275 (x-x2) = 0.0004 0.008883 x2 - 0.00455 x + 0.0005 = 0 x1 = 0.35 ; x2 = 0.16 Quand A vaut 0.35, B vaut 0.65. Quand A vaut 0.16, B vaut 0.84.

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