question de cours

DS N°1

TS spécialité mathématiques

11-10-10

QUESTION DE COURS : Soit a un nombre entier relatif et b un nombre entier naturel non nul. Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r , avec 0 ≤ r < b Démontrer l’unicité de ce couple.

EXERCICE : Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres: a = n3 - n2 - 12n

et

b = 2n2 - 7n - 4.

1. Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n - 4. 2. On pose α = 2n + 1 et β = n + 3. On note d le PGCD de α et β. a) Établir une relation entre α et β indépendante de n. b) Démontrer que d est un diviseur de 5. c) Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si et seulement si n - 2 est multiple de 5. 3. Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux. 4. a) Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b. b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers n = 11 et n = 12.

CORRECTION DS N°1 TS spécialité mathématiques

11-10-10

QUESTION DE COURS : Soit a un nombre entier relatif et b un nombre entier naturel non nul. Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r , avec 0 ≤ r < b On suppose qu'il existe deux couples (q ; r) et (q'; r) tels que a = bq + r et a = bq' + r', avec 0 ≤ r < b et 0 ≤ r' < b. Par soustraction membre à membre de ces deux égalités, on obtient 0 = b( q - q') + r - r' ou encore r' - r = b(q - q'), avec - b < r' – r < b. Or 0 est le seul multiple de b strictement compris entre - b et b, donc r' = r et q = q'. D'où l'unicité du couple (q; r). EXERCICE : 1 . a = n (n² - n – 12) = n (n – 4) (n + 3)

et

b = (n – 4) (2n + 1)

Donc il existe un entier q1 (q1 = n(n + 3))tel que a = (n – 4)q1 et un entier q2 (q2 = 2n + 1)tel que b = (n – 4)q2, donc (n – 4) divise a et b 2. a) 2β – α = 2(n + 3) – (2n + 1) = 5 b) d divise α et β donc d divise toute combinaison linéaire de α et β, en particulier, d divise 2β – α Donc d divise 5 c) si α et β sont multiples de 5, alors il existe des entiers k1 et k2 tels que : α = 5k1 et β = 5k2, alors α – β = 5(k1 – k2) Or α – β = 2n + 1 – (n + 3) = n – 2 Donc (n – 2) est un multiple de 5. Si (n – 2) est un multiple de 5, alors il existe un entier k tel que : n – 2 = 5k, c’est-à-dire n = 5k + 2 Alors α = 2n + 1 = 2(5k + 2) + 1 = 10k + 5 = 5(2k + 1) Et α est un multiple de 5. De même : β = n + 3 = 5k + 2 + 3 = 5k + 5 = 5(k + 1) Et β est un multiple de 5. Conclusion : les nombres α et β sont multiples de 5 si et seulement si n – 2 est multiple de 5

3. Soit d1 le PGCD de 2n + 1 et n. On pose u = 2n + 1 et v = n d1 est un diviseur commun à u et v donc à toute combinaison linéaire de u et v, en particulier u – 2v = 2n + 1 – 2n = 1 d1 est un diviseur de 1 donc PGCD(2n + 1 ; n) = 1 et 2n + 1 et n sont premiers entre eux. 4. a)

PGCD(a ; b) = PGCD[n(n - 4)(n + 3) ; (n – 4)(2n + 1)] PGCD (a ; b) = (n – 4)PGCD(n(n + 3) ; (2n + 1)] PGCD(a ; b) = (n – 4)PGCD(n + 3 ; 2n + 1) car n et 2n + 1 sont premiers entre eux D’après la question 2. c) PGCD(2n + 1 ; n + 3) = 5 si et seulement si n – 2 est multiple de 5, sinon PGCD(2n + 1 ; n + 3) = 1 Conclusion : si n – 2 est multiple de 5, alors PGCD(a ; b) = 5(n – 4) ; sinon PGCD(a ; b) = n – 4 b) Pour n = 11, a = 1078, b = 161, 1078 161 112 49 14

161 112 49 14 7

112 49 14 7 0

PGCD(1078 ; 161) = 7 n – 2 = 9, ce n’est pas un multiple de 5, donc PGCD(a ; b) = n – 4 = 7

Pour n = 12, a = 1440, b = 200, 1440 200

200 40

40 0

PGCD(1440 ; 200) = 40 n – 2 = 10, c’est un multiple de 5, donc PGCD(a ; b) = 5(n – 4) = 5 × 8 = 40