+ R

Ellära och Elektronik Moment DC-nät Föreläsning 2 Spänning och ström i en elektrisk krets Kirchhoffs lagar Tvåpolsatsen 1 © Copyright 2008 Börje Norlin

Elektrisk l k i k krets k

2 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

S i k Seriekoppling li • • •

T.ex Adventsljusstakar T Ad t lj t k och h julgransslingor. Om en lampa går sönder bryts kretsen. kretsen Strömmen kan bara gå en väg som leder genom alla komponenterna.

3 © Copyright 2008 Börje Norlin

Ki hh ff Kirchhoffs

spänningslag ä i l

(2:a lag)

•

KII ger E - IR1 - IR2 = 0 4 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

S Spänningen i Uab är en potentialskillnad i l kill d

5 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

S Spänningsdelning i d l i E = IR1 + IR2 + ⋅ ⋅ ⋅IRn Spänningsdelning

Spänningsdelning S ä i d l i Endast 2 resistorer

S i k Seriekoppling li

Rx Vx = E RT

R1 V1 = E R1 + R2 R2 V2 = E R1 + R2 6 © Copyright 2008 Börje Norlin

Mätning av ström • Amperemeter kopplas alltid i serie med lasten.

7 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

Mätning i av spänning i

• Voltmeter V lt t kopplas k l alltid lltid parallellt ll llt medd lasten. l t 8 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

Parallellkoppling ll llk li

9 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

Ki hh ff strömlag Kirchhoffs tö l

(1:a (1 lag) l )

10 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

Ersättningsresistans i i parallell ll ll

11 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

S Strömdelning d l i

12 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

S Strömdelning d l i V = I1 R1 = I 2 R2 = ⋅ ⋅ ⋅ = I x R x ⇔ V = I T RT

Strömdelning

RT Ix = IT Rx

Strömdelning St ö d l i Bara 2 resistorer

R2 I1 = IT R1 + R2

Parallella resistorer

R1 I2 = IT R1 + R2

13 © Copyright 2008 Börje Norlin

Tvåpolsatsen – Tomgångspänning U0 (UTh) – Inre resistans Ri (RTh)

• E En tvåpol t å l kan k medd avseende på sin inverkan på anslutna l t kretsar k t ersättas ätt med en ekvivalent krets b tå d av en spänbestående ä ningskälla i serie med en resistans. it

14 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

Förfarande f d

• Förenkling av enkel krets med en spänningskälla och 3 resistorer. RL upplever samma IL och Uab. 15 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

Belastad l d tvåpol å l

– När ingen g last är ansluten är Uab = U0 – Kortslutningströmmen för tvåpolen är Ik = U0 / Ri

U0 Uab b

• Spänningen över en tvåpol minskar linjärt vid strömutag. • Sambandet Uab = U0 - IRi gäller för tvåpolen

I

Ik 16

© Copyright 2008 Börje Norlin

Exempell från f å tentamen 2000-10-26 2000 10 26 7. Beräkna strömmen I genom resistorn R i figuren här intill med två olika metoder. Komponenterna och källornas värden är: E = 12 V I0 = 0,5 A R1 = 4 Ω R2 = 2 Ω R3 = 5 Ω R4 = 3 Ω R=5Ω

I

I0

+

E

U

R1

R3 R

R2

I

R4

a) Beräkna strömmen I, välj mellan att använda antingen slinganalys eller nodanalys. b) Beräkna strömmen I med hjälp av tvåpolsatsen. c) Beräkna effekten som utvecklas i resistorn R. Ändra värdet på R så att effektutvecklingen blir maximal, beräkna den nya effekten i R. (OBS. Uppgift a och b bedöms oberoende av varandra. Uppgift c kan ge full poäng även om den bygger på felaktiga resultat i a och b.) (6 p)

17 © Copyright 2008 Börje Norlin

Lösning i medd tvåpolsatsen å l • Komponenten R tas bort, g för en istället söks lösningen tvåpol med avseende på punkterna a och b. b • När U0 och Ri är kända kan strömmen I genom R beräknas med Ohms lag. g I = U0 / (Ri + R)

I0

I +

E

R1

U

R3

a

b

R2

R4

Ekvivalent Tvåpol Ri

a

I +

U0

U

R

b

18 © Copyright 2008 Börje Norlin

Beräkning k i av tomgångspänning å i

• Tomgångspänningen beräknas med KII och Ohms lag. 19 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

Lösning, i onödiga di R • Man kan förenkla bort onödiga resistanser – En resistans i serie med en strömkälla påverkar inte strömmen ut ur strömkällan, resistansen it kan k tas t bort b t ur kretsen k t R

I0 I

I0 I

– En resistans parallellt med en spänningskälla påverkar inte spänningen över spänningskällan, p g , resistansen kan tas bort ur kretsen R

+

+

E U

E U

– Ska t.ex. kretsens totala effektförbrukning beräknas måste man naturligtvis ta med resistorerna ovan, men de strömmar och spänningar vi nu söker påverkas inte. 20 © Copyright 2008 Börje Norlin

Lösning, i U0

E

I0

I

+

U

R1 a

b

• Resistansen R3 kan tas bort • Vi jordar minuspolen på E. E • Potentialen Va beräknas med spänningsdelning till ill ER2/(R1+R R2) = 12*2/6 = 4 V. V • Potentialen oe e Vb be beräknass med ed Ohms O s lag g till I0R4 = 0,5*3= 1,5 V. • Tomgångsspänningen T å ä i blir bli U0 = 4 – 1,5= 1 5 2,5 25V R2

R4

21 © Copyright 2008 Börje Norlin

Beräkning k i av inre i resistans i

• Spänningskällor kortsluts och strömkällor blir avbrott, sen utnyttjas t ttj parallellkoppling ll llk li ochh seriekoppling. i k li 22 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

Lösning, i Rii

R1 a

• I0 bryts och E kortsluts. • Om kretsen verkar svår: Rita om kretsen. Vilka vägar kan strömmen välja?

a

b

R2

R4

R1 R4 R2

b

• Ri = R1||R2 + R4 = 2*4/6 +3 = 4,3333... Ω

23 © Copyright 2008 Börje Norlin

Lösning, i beräkning b k i av I • Till slut kan den sökta strömmen genom R beräknas med Ohms lag. g I = U0 / (Ri + R) = 2,5 / 9,333 ≈ 0,27 A Ekvivalent Tvåpol Ri

a

I +

U0

U

R

b

24 © Copyright 2008 Börje Norlin

Nortonekvivalent k i l

• En strömkälla parallellt med en resistor ger också ett linjärt ström/spänningsberoende. 25 © Copyright 2001 2008 Börje Norlin

O Omvandling dli Norton - Thévenin hé i • Exempel

Uppgift 2. Kretsteori (Fullständig lösning krävs.) Beräkna strömen I med hjälp av tre olika metoder: a. Slinganalys (0,3 p) b b. Nodanalys (0 3 p) (0,3 c. Förenkla kretsen genom att applicera Nortons teorem och tvåpolsatsen. Beräkna strömmen med hjälp av Ohms lag. (0,3 p) E1 = 5 V E2 = 10 V I0 = 5 A R1 = 10 Ω R2 = 10 Ω R3 = 2 Ω R4 = 3 Ω R5 = 5 Ω R6 = 5 Ω

I0 I R3 +

E1

E2 U

U

+ R2

R5 R6

R1 R4 I

26 © Copyright 2008 Börje Norlin

Lösning omvandling Norton - Thévenin I0 I

– O Omvandla dl E1 ochh E2 till ill Nortonekvivalenter N k i l • I01 = E1 /R1 = 0,5 A I02 = E2 /R6 = 2,0 A – Inkludera R2 i Nortonekvivalenterna • R01 = R1||R2= 5,0 Ω R02 = R5||R6= 2,5 Ω

R3

I01 I

R1

R5

R2

R6

I02

I

R4 I

– Omvandla tillbaka till Théveninekvivalenter • E01 = I01 *R01 = 2,5 V E02 = I02 *R * 02 = 5,0 V E0 = I0 *R3 = 10,0 V – Beräkna strömmen I • I = (-E0 - E01 - E02 )/ (R01 +R3 + R02 + R4) = (-10 – 2,5 – 5) / (5 + 2 + 2,5 + 3) =-17,5 / 12,5 = -1,4 A

E0 U

R3

+

+

E02 U

E01 U R01

+

R4

I

R02

27 © Copyright 2008 Börje Norlin