Racine carrée Racine carrée d`un nombre positif Définition Soit a un

Racine carrée 1) Racine carrée d’un nombre positif a) Définition Soit a un nombre positif. La racine carrée de a (noté √𝑎 ) est le nombre positif dont le carré est a. Pour tout nombre « a » positif, √𝑎 × √𝑎 = 𝑎. Remarque :  Le symbole √ est appelé radical.  Si a est un nombre strictement négatif alors √𝑎 n’existe pas. Exemple :  Cas où √𝑎 est un nombre entier On sait que : Donc

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

√0 = 0

√1 = 1

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

On dit que : 0, 1, 4, 9, 16, 25, ….sont des carrés parfaits (carré des nombres entiers).  Cas où √𝑎 est un nombre rationnel non entier : √0.25 = 0.5  Cas où √𝑎 est un nombre irrationnel : √2, √3 , …… On ne peut obtenir que des valeurs approchées de ces nombres avec la calculatrice. b) Propriétés 2

Pour tout nombre positif a, on a : (√𝑎) = 𝑎. Démonstration : Par définition de la racine carrée. 2

2

Exemples : (√3) = 3, (√12,26) = 12,26…..

Pour tout nombre positif a, on a : √𝑎2 = 𝑎. Démonstration : Par définition, √𝑎2 est le nombre qui élevé au carré donne a². Or a est un nombre positif et son carré vaut a², donc √𝑎2 = 𝑎. Remarque : Si a est un nombre positif, alors √(−𝑎)2 existe et on a : √(−𝑎)2 = √𝑎2 = 𝑎. Exemple : √152 = 15 ; √102,62 = 102,6 ; √(−3)² = √3² = 3 ….. 2) Racines carrées et opérations a) Multiplication et division Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur produit.

Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, on a : √𝒂√𝒃 = √𝒂𝒃. Démonstration : (√𝑎√𝑏)² = (√𝑎)²(√𝑏)² = 𝑎𝑏. Or, par définition de la racine carrée, √𝑎𝑏 est le seul nombre positif dont le carré est ab. On obtient donc : √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏. Exemples : √3√8 = √3 × 8 = √24, √6 = √2 × 3 = √2√3 

Ecrire un nombre 𝒂√𝒃 sous la forme √𝒄

Technique :  On écrit a sous la forme √𝑎² (propriété liée à la définition)  On utilise la formule √𝑐√𝑑 = √𝑐𝑑  On conclut Exemple : Ecrire 5√3 sous la forme √𝑐 avec c nombre entier positif. 5√3 = √5²√3 = √25√3 = √25 × 3 = √75 

Ecrire un nombre √𝒄 sous la forme 𝒂√𝒃 avec b le plus petit possible

Technique :  On cherche le plus grand carré parfait qui divise c  On écrit c sous la forme a²b où a² est le plus grand carré parfait trouvé  On utilise la formule √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏  On conclut en utilisant la formule liée à la définition : √𝑎2 = 𝑎 Exemple : Ecrire √72 sous la forme a√𝑏 avec a et b nombres entiers positifs et b le plus petit possible. 36 est le plus grand carré parfait qui divise 72. 72 = 36 × 2 = 6² × 2. On obtient alors : √72 = √6² × 2 = √6²√2 = 6√2. Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur quotient. Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, b≠0 on a : Exemple : 

√18 √2

18

5

= √ 2 = √9, √9 =

√5 √9

=

√𝒂 √𝒃

𝒂

= √𝒃.

√5 3

Transformer un quotient de racines carrées pour obtenir un dénominateur entier

Technique :  On transforme le quotient de racines carrées en racine carrée d’un quotient (formule ci-dessus)  On simplifie le quotient et on le réécrit comme un quotient de racines carrées  On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre se trouvant au dénominateur 2

 On conclut en utilisant les formules suivantes : √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 et (√𝑎) = 𝑎 Exemple : Soit l’expression 𝐵 =

√18

. Calculer B et donner le résultat sans radical au

√15

dénominateur. 𝐵=

√18 √15

18

6

= √15 = √5 =

√6 √5

=

√6×√5 √5×√5

=

√6×5 √5×5

=

√30 √25

=

√30 5

b) Addition et soustraction Attention : Les propriétés précédentes ne s’étendent pas à l’addition et la soustraction. Exemple : √16 + 5 = √25 = 5 et √16 + √5 = 4 + 3 = 7 donc √16 + 5 ≠ √16 + √5 √225 − 144 = √81 = 9 et √225 − √144 = 25 − 12 = 13 donc √225 − 144 ≠ √225 − √144

3) Equation et carré Propriété : Si a est strictement positif alors l’équation x² = a admet deux solutions √𝑎 et √𝑎. Remarque :  Si a = 0, il n’existe qu’un seul nombre tel que x² = 0 : c’est 0.  Si a est strictement négatif, alors l’équation x² = a n’admet aucune solution puisque x² est forcement un nombre positif. 

Résoudre des équations carrées simples

Technique :  Se ramener à la forme x² = a  Utiliser la propriété précédente Exemples :Résoudre l’équation : x² = 121. 121 > 0 donc l’équation x² = 121 admet deux solutions : √121 = 11 et −√121 = −11. Résoudre l’équation : 3𝑥² + 15 = 5𝑥² − 25 2𝑥² = 40 donc 𝑥² = 20. L’équation admet deux solutions : √20 = 2√5 et −√20 = −2√5. 

Résoudre des équations de la forme (x-b)² = a où a et b sont deux réels

Technique : o Si a est négatif : il n’y a pas de solutions o Si a est égal à 0 : il existe une unique solution : x = b. o Si a est positif :  On utilise la propriété précédente (on obtient : x-b = √𝑎 ou −√𝑎)  On ajoute b de part et d’autre de l’égalité  On conclut Exemple : Résoudre l’équation : (x-5)² = 121. 121 > 0 donc l’équation (x-5)² = 121 admet deux solutions : 𝑥 − 5 = √121 et 𝑥 − 5 = −√121 𝑥 = 11 + 5 = 16 𝑜𝑢 𝑥 = −11 + 5 = −6. L’équation (x-5)²=121 admet pour solutions : -6 et 16.