Rappels de probabilités

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Rappels de probabilités Probabilités conditionnelles

1. Expérience aléatoire : DEFINITION

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît toutes les issues possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat . Exemples :

-

jeux de hasard : lancer de pièce, de dé, loto élections transmission d’un caractère génétique

DEFINITION

Lorsqu’on procède à une telle expérience, l’ensemble de tous les résultats possibles s’appelle univers et est noté  . Chacun des résultats possibles est appelé issue ou éventualité. S’il y a n issues, elles seront notées 1 ,  2 , ….  n . Exemples :

-

Pour un lancer de dés,   1; 2 ..... 6. Sexe d’un enfant à la naissance :    fille ; garçon 

2. Loi de probabilité : 2.1. Définition d’une loi de porbabilité sur un univers :

____

Définition empirique :Définir une loi de probabilité sur un univers  , c’est donner pour chacune des issues de  sa probabilité (« ses chances ») de réalisation. Certains jeux de hasard présentent une symétrie qui permet de définir la probabilité de chacune des issues . Par exemple, lors du lancer d’un dé, chaque n° a une probabilité de sortie 1 1 de . Lors d’un lancer de pièce, chaque face a une probabilité de sortie de . 6 2 Dans d’autres expériences aléatoires, ce sont des résultats statistiques préalablement établis qui serviront à définit une loi de probabilité . Par exemple, en France, pour 100 naissances il y a 51 garçons et 49 filles. On estimera alors naturellement que p(G )  0,51 et que p ( F )  0,49 . Définition mathématique : Quels que soient les critères qui ont amené à la définition de lois de probabilité, elles doivent vérifier un petit nombre de propriétés. Ce sont ces caractéristiques qui servent à définir le modèle mathématique de loi de probabilité :

DEFINITION

Une loi de probabilité sur un univers  est une fonction p dont l’ensemble de départ est  et l’ensemble d’arrivée  et qui vérifie : 1. Pour tout    , 0  p ( ) 2.

 p( )  1



2.2. Equiprobabilité :

____

DEFINITION

Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité. Exemple :

-

Le jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée ( ce qui n’est pas le cas de la pièce de 1 euro qui est favorable au côté pile !) Le tirage d’une carte dans un jeu de cartes . La prévision du sexe d’un enfant à la naissance ne se modélise pas par une loi d’équiprobabilité.

Conséquence : Si p est une loi d’équiprobabilité définie sur un univers  et que 1 card  n , alors pour tout    , p( )  . n

3. Notion d’évènement : 3.1. Définition d’un évènement :

____

DEFINITION

Toute partie A de  est appelée événement Si une issue  appartient à A, on dit que  est une issue favorable à A. Exemples :

-

On lance un dé. On appelle A l’événement : « le n° obtenu est pair ». Alors A   2 ; 4 ; 6 . On lance trois fois une pièce. On appelle B l’événement « on a obtenu au moins deux piles ». Alors B  ( PPF) ; ( PFP) ; ( FPP) ; ( PPP) .

Cas particuliers : - Si A   , on dit que A est un événement certain. - Si A   , on dit que A est un événement impossible. Exemples :

On lance deux dés.

L’événement : « la somme obtenue est inférieure à 13 » est un événement certain. L’événement : « la somme obtenue est égale à 1 » est un événement impossible.

3.2. Opérations sur les évènements :

__________

DEFINITION

A et B sont deux évènements d’un même univers  . L’événement A  B est l’ensemble des issues de  qui appartiennent à l’un au moins des évènements A et B. L’événement A  B est l’ensemble des issues de  qui appartiennent à la fois à A et à B. Lorsque A  B   , on dit que A et B sont incompatibles.

Exemple :

On lance un dé. On appelle A l’événement « le n° obtenu est pair » et B l’événement « le n° obtenu est multiple de 3 ». Alors A  B   2 ; 3; 4 ; 6 et A  B  6  . Soit C l’événement « le n° obtenu est multiple de 5 ». Alors A et B sont incompatibles. DEFINITION

On appelle événement contraire de A l’événement constitué de toutes les issues qui n’appartiennent pas à A. L’événement contraire de A est noté A .

Exemple :

On lance une pièce trois fois. On appelle A l’événement : « on a obtenu au moins une fois face ». Alors l’événement contraire de A est l’événement « on n’a obtenu aucune fois face ».

DEFINITION

Une suite B1 , B2 ,…, Bn d’évènements de  constituent une partition de  si : 1. Pour tout entier i  1; 2 ; ....; n , Bi   . 2. B1  B2  ......  Bn   . 3. Pour tous entiers i et j appartenant à 1; 2 ; ...; n , si i  j alors Bi  B j   .

Exemple :

On lance une pièce trois fois. On appelle B0 , B1 , B2 et B3 les évènements « on n’obtient aucune fois face », « on obtient une fois face », « on obtient deux fois face » et « on obtient trois fois face ». Alors B0 , B1 , B2 et B3 forment une partition de  .

3.3. Probabilité d’un évènement :

____

DEFINITION

Soit A un événement quelconque de  . Alors p( A) est la somme des probabilités des issues qui appartiennent à A : p( A) 

 p( ) .

A

Exemple :

On lance deux dés et on regarde la somme obtenue.    2 ; 3; .....;12 . La loi de probabilité de cette expérience est donnée par le tableau suivant : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  p( ) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 Soit A l’événement « la somme obtenue est un nombre premier ». Alors 15 5  . A   2; 3; 5; 7 ;11  et p( A)  p(2)  p(3)  p(5)  p(7)  p(11)  36 12 Conséquence : Lorsqu’il s’agit d’une loi d’équiprobabilité, cardA nombre d ' issues favorables à A p( A)   . card nombre total d ' issues 1 1 cardA Démonstration : p( A)   p( )    cardA   . n card A A n Exemples :

1. On lance une pièce trois fois. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux piles ? Il y a quatre issues favorables à cet événement sont (PPP), (PPF), (PFP) et (FPP) et le 1 nombre total d’issues est 2 3  8 . Donc la probabilité de cet événement est . 2 2. On tire successivement et sans remise deux cartes d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de l’événement A : « les deux cartes tirées sont des cœurs ». 13  12 1  . cardA  1312 et card  52 51 . Donc p ( A)  52  51 17

PROPRIETE

Soient A et B deux évènements quelconques de  . Alors : 1. 0  p( A)  1 2. 3. 4. 5. 6.

p ( A)  1  p ( A) Si A est un événement certain, alors p ( A)  1 Si A est un événement impossible, alors p ( A)  0 Si A et B sont incompatibles alors p( A  B)  p( A)  p( B) Si A et B sont compatibles alors p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B)

Exemples :

1. Dans un groupe, il y a 65% de femmes, 4% de femmes gauchères et 10% de gauchers. On choisit une personne du groupe au hasard . Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un homme droitier ? Notons H l’événement : « la personne choisie est un homme » et D l’événement « la personne choisie est un droitier ». On cherche donc la probabilité de H  D . p( H  D)  p( H )  p( D)  p( H  D) . p( H )  1  0,65  0,35 et p( D)  1  0,1  0,9 . H  D désigne l’événement : « la personne choisie est un homme ou est droitière ». L’événement contraire de H  D est donc « la personne choisie est une femme gauchère ». Donc p( H  D)  1  0,04  0,96 . D’où p( H  D)  0,35  0,9  0,96  0,29 . 2. Dans la classe de TS2, il y a 33 élèves. En supposant que les jours de naissances sont attribuées au hasard, calculer la probabilité pour qu’au moins deux élèves soient nés le même jour . Définissons l’expérience aléatoire qui modélise ce problème : L’expérience consiste à choisir au hasard 33 jours parmi les 365 jours de l’année, les répétitions étant permises et l’ordre étant pris en compte .  est alors l’ensemble de toutes les 33-listes de jours de l’année. Donc card  36533 . Appelons A l’événement : « il y a au moins deux élèves nés le même jour ». Alors A désigne l’événement « les élèves sont tous nés des jours différents ». A est donc l’ensemble des 33-arrangements de l’ensemble des 365 jours de l’année. Donc card A  365  364  ....  333 . Les dates ayant toutes la même probabilité d’être choisies, on est dans une situation cardA 365  364  ....  333  d’équiprobabilité donc p( A)  . card 36533 365  364  ....  333  0,775 . D’où p( A)  1  36533

4. Variable aléatoire : 4.1. Notion de variable aléatoire : Exemple :

Les gains du loto du samedi 23 avril ont été les suivants : - A : 6 bons numéros : 174 745 euros - B : 5 bons numéros + le complémentaire : 4359,50 - C : 5 bons numéros : 506,50 - D : 4 bons numéros + le complémentaire : 26,20

____

- E : 4 bons numéros : 14,10 - F : 3 bons numéros + le complémentaire : 3,40 G : 3 bons numéros : 1,70. Calculons les probabilités de ces 7 évènements :  6    1 5 1 1 6 p ( A)   p( B)     3838380  40  3 838380  40      6  6 

 6    33 5 198 p(C )     3838380  40    6 

6   1 33 495  4 p ( D)   3838380  40    6 

 6   33       4 2 7920 p( E )       3838380  40    6 

 6  33     1    3  2   10560 p( F )    3838380  40    6 

 6   33       3 3 109120 p(G )       3838380  40    6  On peut ainsi définir une fonction notée X qui à chaque issue (c’est-à-dire à chaque grille) fait correspondre le gain correspondant : Cette fonction a pour ensemble de départ  et pour ensemble d’arrivée . Une telle fonction est appelée variable aléatoire . L’événement G sera alors noté X  1,70 et sa probabilité sera notée p ( X  1,70) . La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant : Valeurs xi de X 174745 4349,50 506,50

p ( X  xi )

1 3838380

6 3838380

26,20

495 198 3838380 3838380

14,10

3,40

1,70

0

7920 10560 109120 3710080 3838380 3838380 3838380 3838380

DEFINITION

Une variable aléatoire est une fonction X dont l’ensemble de départ est  et l’ensemble d’arrivée . Notations : - Les valeurs prises par X sont notées x1 , x 2 , ......., x p . -

L’événement X prend la valeur xi est noté X  xi

-

La probabilité de cet évènement est notée p( X  xi )

4.2. Espérance mathématique d’une variable aléatoire :

____

Exemple :

Dans l’exemple précédent, le gain moyen du joueur est égal à 1 6 198 495 7920 174745   4349,50   506,50   26,20   14,12  3838380 3838380 3838380 3838380 3838380 10560 109120 3710080  3,40   1,70   0  0,134 3838380 3838380 3838380 Ce gain moyen est appelé espérance mathématique de la variable aléatoire X et notée E( X ) . Compte tenu que le coût d’une grille de loto est de 0,60 euros, la perte moyenne par grille est donc environ de 0,60-0,134=0,466 euros.

DEFINITION

Soit X une variable aléatoire prenant pour valeurs x1 , x2 , ........, xn avec des probabilités p1 , p2 , ....., pn . L’espérance mathématique de X est le nombre noté E ( X ) défini par k n

E ( X )  x1 p1  x2 p2  .......  xn pn soit E ( X )   x k p k . k 1

4.3. Variance et écart-type d’une variable aléatoire :

____

La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des résultats autour de la « moyenne » E( X ) . DEFINITION

Avec les notations de la définition précédente, la variance est le nombre var( X ) défini par

var( X )  x1  E( X ) p1  x2  E( X ) p2  .......  xn  E( X ) pn soit 2

k n

2

2

var( X )   x k  E ( X )  . 2

k 1

Puis l’écart-type est le nombre  ( X ) défini par  ( X )  var( X ) .

PROPRIETE

 k n  var( X )  E ( X )  E ( X ) soit var( X )   xk pk   xk pk  k 1  k 1  2

2

k n

2

2

Démonstration : k n

k n





var( X )    x k  E ( X )   p k   x k  2 x k E ( X )  E ( X ) 2  p k 2

k 1

k n

k 1

2

k n

n

var( X )   x k  p k  2 E ( X ) x k  p k  E ( X ) 2  p k 2

k 1

k 1

var( X )  E ( X ) 2

k 1

 2E ( X )  E ( X )

 E ( X )  1 . D’où var( X )  E ( X 2 )  E ( X ) 2

2

Exemple :

Dans l’exemple précédent : var( X )  174745  0,134  2

var( X )  7998,7

1 6 3710080 2 2  4349,5  0,134   ...  0  0,134  3838380 3838380 3838380

 ( X )  7998,7  89,4

5. Probabilités conditionnelles : 5.1. Notion de probabilité sous condition :

______________________

Exemple :

Dans un lycée, la répartition des élèves de TS suivant leur sexe et leur spécialité est donnée par le tableau suivant : Maths Physique Biologie Total Filles 12% 13% 27% 52% Garçons 16% 12% 20% 48% Total 28% 25% 47% 100% 1) On tire au hasard la fiche d’un élève de TS . La probabilité de l’événement M « l’élève suit la spécialité Maths » est p( M )  0,28 La probabilité de l’événement F « l’élève est une fille » est p ( F )  0,52 La probabilité de l’événement F  M « l’élève est une fille qui suit la spécialité math » est p( F  M )  0,12 . 2) On rencontre un élève et c’est une fille . Alors la probabilité qu’elle suive la 12 3  . Cette probabilité est appelée probabilité de M spécialité math est égale à 52 13 sachant F et se note p F (M ) . Le calcul précédent montre que p( F  M ) . p F (M )  p( F )

3) De même, p M (F ) désigne la probabilité que l’élève choisi soit une fille sachant p( F  M ) 12 3 que sa spécialité est math. On a aussi : p M ( F )    . p( M ) 28 7 DEFINITION

A et B désignent deux évènements quelconques de  tels que p ( A)  0 . On appelle p ( A  B) probabilité de B sachant A le nombre noté p A (B) défini par p A ( B)  . p( A) Conséquence : On a donc p( A  B)  p( A)  p A ( B) . 5.2 Schématisation par un arbre de probabilité :

________________

Exemple :

On peut représenter la situation précédente par l’arbre de probabilité ci-dessous : PF(M)

P(F)

F

3/13

M

1/4

P

p( F  M )  p( F )  pF (M )

0,52 27/52 B

p( P)  p( P  F )  p( P  G )  p( F )  p F ( P)  p(G )  pG ( P)  0,52  0,25  0,48  0,25  0,25

0,48 G

1/3

M

1/4 5/12

P B

De cet arbre, on peut retenir les règles suivantes :  La somme des probabilités sur chaque ramification est égale à 1 .  La probabilité de l’événement au terme d’une branche est égale au produit des probabilités rencontrées sur cette branche. Ceci est la traduction de p( A  B)  p A ( B)  p( B)  La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des branches qui y conduisent . Ceci traduit la propriété suivante :

PROPRIETE : FORMULE DES PROBABILITES TOTALES

1. Soit A un événement dont la probabilité est non nulle. Alors : p( B)  p( A)  p A ( B)  p( A)  p A ( B) . 2. Plus généralement, si A1 , A2 , ......, An réalisent une partition de  , alors : p( B)  p( A1 )  p A1 ( B)  p( A2 )  p A2 ( B)  ......  p( An )  p An ( B) Exemple :

On dispose de deux urnes A et B. L’urne A contient une boule rouge et trois boules vertes et l’urne B contient deux boules rouges et 2 boules vertes. On lance un dé. Si le n° obtenu est multiple de 3, on tire une boule de l’urne A ; dans le cas contraire, on effectue le tirage dans l’urne B . 1) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule rouge ? 2) Quelle est la probabilité qu’une boule provienne de l’urne B sachant qu’elle est rouge ? 1) On note A l’événement « le n° obtenu avec le dé est multiple de 3 » et R l’événement « la boule tirée est rouge ». On peut alors construire l’arbre suivant 1/3

2/3 A

A ¼

¾

R

½ R

½

R

R

D’après la formule des probabilités totales, on a : 1 1 2 1 1 1 5 p( R)  p( A)  p A ( R)  p( A)  p A ( R)        3 4 3 2 12 3 12 2 1  p( R  A) p( A)  p A ( R) 3 2 1 12 4      . 2) p R ( A)  5 p( R) p( R) 3 5 5 12

6. Evènements indépendants :

Exemple :

Revenons à l’exemple de la répartition des élèves de Ts suivant leur sexe et leur spécialité .

3 7 1 1 et p ( M )  d’une part et p G ( P )  et p( P)  . On remarque 13 25 4 4 donc que p(M )  pF (M ) alors que p( P)  pG ( P) . Ceci traduit que le fait d’être une fille a une influence sur le choix de la spécialité math alors que le fait d’être un garçon est sans effet sur le choix de la spécialité physique On dit alors que les évènements P et G sont indépendants alors que les évènements F et M ne le sont pas.

On a p F ( M ) 

DEFINITION

A et B étant deux évènements tels que p ( A)  0 et p ( B )  0 , on dit que A et B sont indépendants si pB ( A)  p( A)

PROPRIETE

Sous les mêmes hypothèses que dans la définition, pB ( A)  p( A)  p A ( B)  p( B)  p( A  B)  p( A)  p( B)

Démonstration : p( A  B) p( A  B) p B ( A)  p( A)   p( A)  p( A  B)  p( A)  p( B)  p( B)  p( B) p( A)  p( B)  p A ( B)

DEFINITION

Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même univers  . On note x1 , x2 , ......, xn les valeurs prises par X et y1 , y 2 ,........, y m les valeurs prises par Y. On dit que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour tout i  1; 2 ; .......; n et tout j  1; 2 ;.......; m les évènements ( X  xi ) et (Y  y j ) sont indépendants.

7. Répétition d’épreuves indépendantes : 8. Envisageons une expérience qui consiste à répéter deux fois la même épreuve aléatoire et soit A un événement de l’univers  associé à cette épreuve. Appelons A1 l’événement : « A est réalisé lors de la 1ère épreuve » et A2 l’événement « A est réalisé lors de la 2ème épreuve ». On peut alors dresser l’arbre de probabilité suivant :

p

1-p A1

A1 p 1-p A

6.1. Epreuve de Bernouilli :

1. Loi binomiale : 1.1. Epreuve de Bernouilli : DEFINITION

…… Exemple :

.

PROPRIETE

… Démonstration :

p A

A

1-p A