Rekenregels van machten

4

Rekenregels van machten

Dit kun je al 1 machten met een natuurlijke exponent berekenen 2 machten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verband met de machtsverheffing correct gebruiken

Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek. A

B

C

Verder oefenen?

1 Welke uitdrukking is gelijk aan 100?

–1001

( 2 · 5 )2

254

2 Welke macht is het grootst?

5–2

( –3 )0

( B14)

oef. 68

–2

3

oef. 63

3 Welk getal is het grondtal in de macht –23? 2

oef. 67 –1

Dit heb je nodig

Inhoud

• leerwerkboek p. 69 - 82 • oefenboek nr. 293 - 354 • rekenmachine

G18 Machten vermenigvuldigen en delen G19 Een macht tot een macht verheffen G20 Een product en een quotiënt tot een macht verheffen

G21 Rekenregels van machten noteren in symbolen

p. 70 p. 74 p. 76 p. 80

69

G18

Machten vermenigvuldigen en delen Op verkenning a

Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen • Vul de tabel in. 23 · 26

Noteer elke macht als een vermenigvuldiging.

=

Werk de haakjes weg. Welke eigenschap pas je toe? Noteer het resultaat als één macht.

•

(

) · ( 2·2·2·2·2·2 )

2·2·2

= (a · a) · (a · a · a · a · a)

= 2·2·2·2·2·2·2·2·2

= a·a·a·a·a·a·a

Het vermenigvuldigen is

Het vermenigvuldigen is

associatief in q.

associatief in q.

= 29

= a7

Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.

a3 · a2 =

noteer elke macht als een vermenigvuldiging

noteer indien mogelijk het resultaat als één macht

(a · a · a) · (a · a) = a · a · a · a · a

a5 –1 3 B

–1 B –1 B –1 B B  · –1  · B  = –1 · B · –1  2 2 2 2 2 2

( )

[( ) ( )] ( )

2

(B–12 ) · (B–12 ) = 62 · 42 =

62 · 42

3·3·3 1  B ·3·3·3=B  =3

3

1 x·x·x·x =x·x B x · (x · x · x) · B x · x = x · x 

x2

(a · a · a · a · a · a) · b

a6 · b

3·3

x · x3 · x–2 =

2

6·6·4·4

3–2 · 33 =

a6 · b = 5–3 · 5–2 =

3·3

1  1  1 B ·B =B  5·5·5 5·5

•

a2 · a5

5·5·5·5·5

1  = 5–5 B 5 5

Wanneer kun je het resultaat noteren als één macht?

Als de factoren machten zijn met hetzelfde grondtal. Je behoudt het grondtal. . . . . . . . – Wat doe je telkens met het grondtal? ............................................................................ Je telt de exponenten op. . . . . . . . – Wat doe je telkens met de exponenten? ............................................................................ ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

•

•

Je ontdekte hoe je machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigt. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. – Neem 23 · 26 = 23+6 = 29

ak · ap = ak + p

–

Vervang het grondtal 2 door de letter a en de exponenten 3 en 6 door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters.

............................................................................ . . . . . . .

–

Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid?

............................................................................ . . . . . . .

Door alle gehele getallen. 1 B

Noteer a–3 met een positieve exponent.

............................................................................ ....... 3

–

Door welk getal kun je a zeker niet vervangen?

............................................................................ . . . . . . .

–

Door welke getallen kun je a wel vervangen in deze gelijkheid?

............................................................................ . . . . . . .

maar niet door 0.

a

Door 0; B10 is niet gedefinieerd.

Door alle rationale getallen,

............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

rekenregels van machten



Rekenregel – machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen: • Behoud het grondtal. • Tel de exponenten op.

a is een rationaal getal verschillend van 0 k en p zijn gehele getallen. 52 · 53 = 52+3 = 55 11 1 a–8 · a–3 = a–8+( –3 ) = a–11 = B1a  = B 11

()

ak · ap = ak+p

a

CONTROLE 11 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. 3 5. . . .2. . .+. . .1. . .= . . . . . .5 . . . . . . .= . . . . . 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... 6 + (–6) 0 d . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . .d .......= . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................

52 · 5 = d6 · d–6 = b

53 · 63 = a9 · a–14 =

125 · 216 = 27 000 1 a9 + (–14) = a9 – 14 = a–5 = B ................................................................................ ...... 5 ................................................................................ . . . . . .

a

Machten met eenzelfde grondtal delen • Vul de tabel in. 26  B 2

(a ≠ 0)

2

Noteer elke macht als een vermenigvuldiging. Vereenvoudig.

=

Noteer het resultaat als één macht.

•

2·2·2·2·2·2 2·2

=

=

a2 : a5

a·a a·a·a·a·a

1  =B

2·2·2·2

a·a·a 1 = a–3 =B a3

= 24

Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor ≠ 0. noteer elke macht als een vermenigvuldiging

46 = B 2 4

( –5 )3 : ( –5 )2 =

4·4·4·4·4·4 4·4 (–5) · (–5) · (–5) (–5) · (–5)

noteer indien mogelijk het resultaat als één macht

44 (–5)1 = –5

h2 = B 2 h

h · h B

32 = B 3

3·3 B 

2–4 : 23 =

1 1 B  : (2 · 2 · 2) = BB 

z3 : z–2 =

1 z·z·z:B z · z = z · z · z · z · z

103 : 3–3 =

1  10 · 10 · 10 : B = 10 · 10 · 10 · 3 · 3 · 3 3·3·3

103 · 33

a–3 : a–3 =

a·a·a 1 :B 1 =B 1 ·a·a·a=B B a · a · a a · a · a a · a · a a · a · a

a0 = 1

2

•

h0 = 1

h·h

32 B 3

2·2·2

2·2·2·2

2

2·2·2·2·2·2·2

Wanneer kun je het resultaat noteren als één macht?

1 = 2–7 B 7 2

z5

Als het deeltal en de deler . . . . . . . ............................................................................

machten zijn met hetzelfde grondtal.

............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

–

Wat doe je telkens met het grondtal?

–

Wat doe je telkens met de exponenten?

Je behoudt het grondtal. . . . . . . . ............................................................................ Je bepaalt het verschil van de exponent van. . . . . . . ............................................................................ het deeltal en de exponent van de deler. 71

G18

Machten vermenigvuldigen en delen (vervolg) •

•

Je ontdekt hier hoe je machten met eenzelfde grondtal deelt. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. – Neem 26 : 22 = 26–2 = 24

ak : ap = ak – p

–

Vervang het grondtal 2 door de letter a en de exponenten 2 en 6 door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters.

............................................................................ . . . . . . .

–

Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid?

............................................................................ . . . . . . .

Door alle gehele getallen. 1 B

Noteer a–3 met een positieve exponent.

............................................................................ ....... 3

a

Door 0; B10 is niet gedefinieerd. ............................................................................ .......

–

Door welk getal kun je a zeker niet vervangen?

–

Door welke getallen kun je a wel vervangen in deze gelijkheid?

Door alle rationale getallen, maar niet door 0.

............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rekenregel – machten met eenzelfde grondtal delen Machten met eenzelfde grondtal delen: • Behoud het grondtal. • Trek de exponenten van elkaar af (exponent van het deeltal – exponent van de deler).

98 : 96 = 98–6 = 92 = 81

a is een rationaal getal verschillend van 0. k en p zijn gehele getallen.

x9 = x9–2 = x7 (x ≠ 0) B x2

ak : ap = ak – p

10–4 : 10–2 = 10–4–(–2) = 10–4+2 = 10–2 = 1  1 2 = B 1 = B B 10 102 100

( )

CONTROLE 12 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. 8 – 7 = 151 = 15 7 – 5 = d2 158 = B 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... d7 : d5 = d ................................................................................ ...... 157 p9 9 – (–2) B p = p9 + 2 = p11 123 : 63 = 1728 . . . . . . . . . . . . . . .:. . .216 . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . .8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... = ................................................................................ ...... p–2

Oefeningen Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat. WEER? 293 - 296

1

MEER? 297 - 299

WEER? 300 - 302 MEER? 303 - 306

72

2

• •

Reken uit. Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.

a

53 · 5 =

  

d

42 – 43 =

................................................................. . . . . . . .

b

a6 · a35 =

6 + 35 41 a . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

e

145 · 114 =

................................................................. . . . . . . .

c

b102 · b–2 =

102 + (–2) 100 b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . .b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

f

102 · 22 =

................................................................. . . . . . . .

• •

Reken uit. Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe. 44 = B ²   4

d

38 : 38 =

.................................................................. . . . . . .

a

16 – 64 = –48

145 + 14 = 159 = 1

100 · 4 = 400

38 – 8 = 30 = 1

36 : 10 000 = 0,0036

b

1255 = B 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

1255 – 4 = 1251 = 125

e

62 : 1002 =

................................................................. . . . . . . .

c

d2 : d6 =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . ..................

1 d2 – 6 = d–4 = B

f

f19 = B 6

................................................................. . . . . . . .

125

rekenregels van machten

d

f

f19 – 6 = f13

3

WEER? 307 - 312

• •

Reken uit. Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.

a

33 : 3–1 =

b

132 + (–133) 132 – 133 99–1 = B 99132 · 99–133 = 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . .99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . ...................

c

991 · 199 =

d

( –3 ) B = –1 

4 3. . . .3–(–1) . . . . . . . . . . . .= . . . . .3 . . . . . . .= . . . . . .81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

0,12 · 0,1 =

................................................................. . . . . . . .

f

53 + 5–2 =

................................................................. . . . . . . .

99 . . . . . . . . .·. . .1 ....= . . . . . .99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

g

10210 : 1029 =

................................................................. . . . . . . .

2 – (–1) 2+1 3 (–3) = –27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . .(–3) . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . .(–3) . . . . . . ..................

h

d–2 · d–6 =

................................................................. .8. . . . . .

1 99

2

4

( –3 )

0,12 + 1 = 0,13 = 0,001

e

1 125 + B = 125 + 0,04 = 125,04 25

10210 – 9 = 1021 = 102

1 d–2 + (–6) = d–2 – 6 = d–8 = B d

MEER? 315 316

In het midden van een vijver groeit een witte waterlelie. De lelie breidt zich zo snel uit, dat het aantal bloemen elke dag verdubbelt. Als de drijfplant ongestoord kan groeien dan is de vijver volledig bedekt in 12 dagen. a b

c

MEER? 313 314

Vul in de tabel de tweede rij aan die het verband aangeeft tussen de tijd en het aantal bloemen. Noteer in de laatste rij het aantal bloemen als een macht met grondtal 2. tijd (in dagen)

0

1

2

3

4

5

6

7

aantal bloemen

1

2

4

8

16

32

64 128 256 512 1024 2048 4096

als macht 2n

20

21

22

23

24

25

26

27

8

28

9

29

10

210

11

211

12

212

Zoek het antwoord op onderstaande vragen. Je mag hiervoor alleen een beroep doen op de machten uit de laatste rij van de tabel en op de gepaste rekenregel. – Na hoeveel dagen is de vijver half bedekt? 12 12 – 1 11 2............. : 2 .= . . . . .2 . . . . . . . . . . . . .= . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Na 11. . .dagen ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . is . . . . . de . . . . . . . .vijver . . . . . . . . . . . . . . .half . . . . . . . . . . .bedekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

–

Na vier dagen is 1 m2 van de vijver gevuld met 24 bloemen. Wat is de oppervlakte van de vijver?

12 : 24 = 28 = 256 2............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 De oppervlakte ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . .de . . . . . . .vijver . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . .256 . . . . . . . . . .m . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wat moet je kunnen? τ machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen τ machten met eenzelfde grondtal delen τ de rekenregels verwoorden

73

G19

Een macht tot een macht verheffen Op verkenning

•

Vul de tabel in. 3

( 32 )

( a2 )3

(a ≠ 0)

Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging van kwadraten.

= 32 · 32 · 32

= a2 · a2 · a2

Noteer het resultaat als één macht.

= 36

= a6

•

Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. noteer de macht als een vermenigvuldiging 2

noteer het resultaat als één macht

( ( –4 ) ) =

(–4)4 · (–4)4

( 35 )3 =

35 · 35 · 35

315

( b2 )6 =

b2 · b2 · b2 · b2 · b2 · b2

b12

4

( ( 5k ) B

–3 2

)

5 –3 B 5 –3 B  ·  k

() ()

k

a–2 · a–2

( 02 )5 =

02 · 02 · 02 · 02 · 02

•

5 –6 B k 6 B  = 

() ()

=

( a–2 )2 =

•

(–4)8

k

5

1 4 a–4 = B a

()

010 = 0

Hoe kun je een macht tot een macht verheffen? –

Wat doe je telkens met het grondtal?

–

Wat doe je telkens met de exponenten?

Je behoudt het grondtal. Je vermenigvuldigt de exponenten. . . . . . . . ........................................................................................................... ........................................................................................................... . . . . . . .

Je ontdekt hier hoe je een macht tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. 3 – Neem ( 42 ) = 42·3 = 46 –

Vervang het grondtal 4 door de letter a en de exponenten 2 en 3 door de letters k en p.

–

Noteer de gelijkheid met letters.

–

Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid?

(ak)p = ak · p

........................................................................................................... . . . . . . .

Door alle gehele getallen.

............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

–

Mag je a door alle getallen vervangen? Verklaar.

Door alle rationale getallen, maar niet door 0.

............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

rekenregels van machten

Rekenregel – een macht tot een macht verheffen Een macht tot een macht verheffen: • Behoud het grondtal. • Vermenigvuldig de exponenten.

a is een rationaal getal verschillend van 0. k en p zijn gehele getallen. p

( ak )

( 22 )3 = 22·3 = 26 = 64

( 5–1 )–2 = 5(–1)·(–2) = 52 = 25 ( a3 )5 = a3·5 = a15

= ak·p

Oefeningen Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat. 5

6

7

WEER? 317 - 319

• •

Reken uit. Pas de gepaste rekenregel toe.

a

( 2 2 )3 =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

d

( ( –g )2 )

b

· (–1) 2 . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . .9 . . . . . . .= . . . . . .81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................. ( 9–2 )–1 = .9. . . –2

e

1 6 = B 1= B 1 B · (–2) = 2–6 ( 23 )–2 = 23....................................................................... ..  2 26 . . . . 64

c

12 . . . . . . . .= . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................. ( a–3 )–4 = .a. . . .–3. . . . .·.(–4)

f

( a8 )2 =

• •

Reken uit. Pas de gepaste rekenregel toe.

a

( 104 )2 =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

104 · 2 = 108 = 100 000 000

d

( k3 )3 =

....................................................................... . . . . . .

b

p3 · p–2 =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

p3 + (–2) = p3 – 2 = p

e

b5 = B 2

....................................................................... . . . . . .

c

a–2 : a–4 =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

a–2 – (–4) = a–2 + 4 = a2

f

x–2 · x–3 =

.......................................................................5. . . . . .

22 · 3 = 26 = 64

–3

–6

1 triljard : duizend = .1 . . . . triljoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................

b

1 miljard · 1 biljard = 1 . . . . quadriljoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................

c

1 triljoen : . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . .biljoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 1 miljoen

d

1 miljoen ·

e f

1 triljard = 1 quadriljard (1 miljard)2 = .1 . . . . triljoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ (1 quadriljoen)0 = .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. ............................................

Wat moet je kunnen?

1 B

6

( ) = ()

g

MEER? 320 - 323

(a)8 · 2 = (a)16 = a16

....................................................................... . . . . . .

WEER? 324

b

k3 · 3 = k9

MEER? 325 326

b5 – 2 = b3

1 x–2 + (–3) = x–5 = B1x  = B x

()

5

Vul in. Verklaar door de oplossing te berekenen met machten van 10. a

1 B

(–g) = – g  = 6  . . . . . . = .......................................................................

1021 : 103 = 1018 109 · 1015 = 1024 ..................................................... 1018 B  = 106 ..................................................... 1012 106 · 1021 = 1027 ..................................................... (109)2 = 1018 ..................................................... (1027)0 = 1 .....................................................

WEER? 327

.....................................................

 HHQPLOMRHQ  HHQPLOMDUG  HHQELOMRHQ   HHQELOMDUG   HHQWULOMRHQ  HHQWULOMDUG  Q  HHQTXDGULOMRH    HHQTXDGULOMDUG

τ een macht tot een macht verheffen τ de rekenregel verwoorden

75

G20

Een product en een quotiënt tot een macht verheffen 

Op verkenning a

Een product tot een macht verheffen • Vul de tabel in. (2 · 4)

Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging. Plaats de gelijke factoren samen tussen haakjes.

(

2·4

(

)·(

3

) ( 5·a )·( 5·a )·( 5·a ) )·( 4·4·4 ) ( 5·5·5 )·( a·a·a )

2·4

2·2·2

( 5a )3

)·(

2·4

Welke eigenschappen van bewerkingen pas je toe?

Het vermenigvuldigen is commu- Het vermenigvuldigen is commutatief en associatief in q. tatief en associatief in q.

Noteer als een vermenigvuldiging van twee machten.

= 23 · 43

•

= 53 · a3

Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. noteer de macht als een vermenigvuldiging. plaats de gelijke factoren samen tussen de haakjes

(a · b)

3

=

( –9 · 5 )2 =

noteer het resultaat als een vermenigvuldiging van machten

(a · b) (a · b) (a · b) = (a · a · a) (b · b · b)

a3 · b3

(–9 · 5) · (–9 · 5) = ( (–9) · (–9) ) (5 · 5)

(–9)2 · 52

1 1 1  B  =B  ( xyz )–2 = B (xyz)(xyz) (xx)(yy)(zz) (xyz)2 3 –1 2 B –1 2 –1 B –1 B –1 a B 2  –1 a 2 B a  = B a · –1 · B  · (a2 · a2 · a2) 2 = 2 2 2 2 2 2

( )( )( ) (

( ) •

1 B 2 2 2

xyz –1 3 2 3 B –1 3 6 B  · (a ) =  ·a 2 2

( )

)

( )

Hoe kun je een product tot een macht verheffen? Wat doe je telkens met de factoren?

Je verheft elke factor tot die macht.

............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

•

Je ontdekte hoe je een product tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. 3 – Neem ( 2 · 4 ) = 23 · 43 – Vervang de factoren 2 en 4 door de letters a en b en de exponent 3 door de letter m. Noteer de gelijkheid met letters.

(a · b)m = am · bm

............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

–

Door welke getallen kun je m vervangen in deze gelijkheid?

Door alle gehele getallen.

............................................................................. . . . . . . .

............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

–

Mag je a en b door alle getallen vervangen? Verklaar.

= B· B a, b mogen niet gelijk zijn aan 0.

1 1 –2 ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. .. . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Door alle rationale getallen, maar niet door 0.

(ab)

a b

Rekenregel – een product tot een macht verheffen Een product tot een macht verheffen: a en b zijn rationale getallen, ververhef elke factor van het product tot schillend van 0 die macht. p is een geheel getal

( a · b )p = ap · bp

( 9 · t )2 = 92 · t2 = 81t2 (x ≠ 0)

1 ( 2x )–1 = 2–1 · x–1 = B12  · B1x  = B 2x

( –0,5p )3 = ( –0,5 )3 · p3 = –0,125p3

CONTROLE 13 Reken uit. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. Pas de rekenregel toe indien mogelijk.

(–10)4 · p4 = 10 000 p4 1 B 1 =B 1 B –3 –3 (4 · a)–3 = . .4 . . . . . . . . .·. . .a . . . . . . . . .= . . . . . . . . .3. . ..·. . . . . .3. .  . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . ...................

(–10p)4 =

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................

4 a

76

rekenregels van machten

64a

3 3

3

(–4) x = –64x (–4x)3 = .................................................................................... ....... (4 – x) (4 – x) (4 – x) (4 – x)3 = ................................................................................... ......



b

Een quotiënt tot een macht verheffen • Vul de tabel in.

() 2 B

3

Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging.

2 = B 

Noteer op één breukstreep.

=

Noteer als een deling van twee machten.

 = ..................................................... 33

•

( 3 ) ( B23) ( B23) 2·2·2 3·3·3

23 B

(7 : k)3

(k ≠ 0)

3

=

( 7k ) ( 7k ) ( 7k )

=

7·7·7 k·k·k

73 B

 = ................................................. .... k3

Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. noteer de macht als een vermenigvuldiging. noteer op één breukstreep

( ( ( (

3

()

9 B  = 7

( 14 : 3 )5 = –c  2 = B

(d)

( –2 : a3 )–2

noteer als een deling van twee machten

9 B 9 9 9·9·9 B   B = B

93 B 3

14 5 B

3·3·3·3·3

145  B 5

–c · (–c) B 

(–c) B = c2 2 

)( )( ) )= )( ) = ) =( ) =( )( ) =

7 7 7

–c B –c B   d

–2 –2 B 3 a

7

14 · 14 · 14 · 14 · 14  BB

3

d

7·7·7

3

2

d

d·d

a3 2 B  –2

a3 B a3 B  

(–2)–2 a6 B B  = –6  2

a3 · a3 B 

–2 –2

a

(–2)

(–2) · (–2)

•

Hoe kun je een quotiënt tot een macht verheffen? Wat doe je telkens met het deeltal en de deler?

•

Je ontdekt hier hoe je een quotiënt tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. 4 24  – Neem B23  = B 4

Je verheft het deeltal en de deler tot die macht.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .

()

3

–

Vervang het deeltal 2 door de letter a, de deler 3 door de letter b en exponent 4 door de letter m.

–

(a : b) = a : b  = . . . .m. . .  ........................................................................................................... Noteer de gelijkheid met letters. b b Door welke getallen kun je m vervangen in deze gelijkheid? m

m

a B

m

()

m

am B

Door alle gehele getallen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .

–

Mag je a en b door alle getallen vervangen? Verklaar.

Door alle rationale getallen, maar niet door 0. De noemer mag niet gelijk zijn aan 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .

Rekenregel – een quotiënt tot een macht verheffen (p ≠ 0)

Een quotiënt tot een macht verheffen: a en b zijn rationale getallen, verhef het deeltal en de deler tot die verschillend van 0 macht. p is een geheel getal

(4 : p)2 = 42 : p2 = 16 : p2

(–10)4 B –10 4 = B B = 10 000  4 

(7)

7

2 401

(a : b)p = ap : bp CONTROLE 14 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.

1 3 = B 13  = B 1 B

–23 = –8 5 125 5 2 (–0,5) 0,25 –0,5 2 B B = B  ....... p  = .................................................................................. p2 p2 3

(

()

( )

. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

4 64 4 4 4 3 3 81 B a  –4 = . . .B B = B  . . . . . . . . . . . .4. . a. . . .. . . . . . . .= 3 a . . . . . . . . . . . .a. . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................

()

B B –2  = ...................................................................................... B ....... 3

()

(1 : 4)3 =

)

77

G20

Een product en een quotiënt tot een macht verheffen (vervolg) Oefeningen Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.

WEER? 328 329

8

MEER? 330

WEER? 331 332

9

• •

Reken uit. Pas de gepaste rekenregel toe.

a

(–5 · x)3 = .(–5) . . . . . . . . . . . . . .·. . x . . . . . . .= . . . . . .–125x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................

b

160 000 (–2 · 10)4 = .(–2) . . . . . . . . . . . .·. .10 . . . . . . . . .= . . . . .16 . . . . . . .·. .10 . . . . . . .000 . . . . . . . . . .= . . . ...................

• •

Reken uit. Pas de gepaste rekenregel toe.

a

b

WEER? 333 - 335 MEER? 336 - 341

10 • • a

b

78

3

3

4

3

4

4 4

c

ax (a · x)4 = ............................................................................ ......

d

100 · (–a)2 =

B B 5 4 B  = . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................

c

(k)

B B 3 3 B . . .3. . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... p  = .p p

d

(–3 : 11)2 =

54 625 = 16 2

(2)

33

()

= 27

100a2

................................................................... . . . . . . .

B m  8 = ............................................................................. B ...... 8

m8 k

2

(–3) B –3 2 B B =  = 9 

( )

.................................................................... ....... 2

11

Reken uit. Pas de gepaste rekenregel toe.

( –5 · 10–2 )2 –2

B

( 103 )

( B) 1

4

= 25 · 10  = (–5) . . . . . . . . . . . . (10 . . . . . . . . . . .). . . . . . .= . . . . . . .25 . . . . . . .·. .10 . . . . . . . .................. 2

–2 2

–4

25 1 = B  = B  10000 400

(10) B 10 2 B 100 B = . . . .3 ..... . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . ................... (3)

( DÃE) N ( DE) N

2–1 1 (–3)2 B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... 1

d

d–2 · d–6 =

e

000 (10–4)–2 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .10 . . . . . . . . . .= . . . . . 100 . . . . . . . . . . . .000 . . . . . ..................

g

(–2ab)–5 =

f

1 B –9 –10 f–1  = . . . –1 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................. 9

h

–( 32 )

(–3)

f

DNÃS DNÃEN DNEN

= (–3) = –3

1 d–2 + (–6) = d–8 = B

.............................................8 . . . . . . . . . . . . . . ..................

d

–4 · (–2)

f

DNDS DN²S

( DN ) S

c

(–3)

DNÃDS DNS

2

( )

121

11

=f

rekenregels van machten

=

8

f

–2

1  = –B 1  1  –B = –B 5 5

( )

5

..................................................................... ....... 5 5 5

2ab

2ab

1 B

32a b

4

()

1 B

–3 = –3 = – 3  = . . .–. . . 81  = ......................................................................... 2 · (–2)

–4

11 a

Reken uit. Let op de volgorde van de bewerkingen. 2

. . . . . . .= . . . . . 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... (5 + 2)2 = .7

b

25 + 4 = 29 52 + 22 = ................................................................................... .......

WEER? 342

Kun je hier één van de rekenregels toepassen? Verklaar.

Neen, is niet gelijk aan de som van de machten. . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . . een . . . . . . . . . . . .som . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... c

Vul in met = of ≠. Verklaar. (1 + 5)2

≠

........

12 + 52

De macht van een som is niet gelijk aan. . .de ............................................................................................................ .... som van de machten. ............................................................................................................ .......

(2 · 10)2

=

........

22 · 102

De rekenregel voor de macht van ............................................................................................................ ....... een product. ............................................................................................................ .......

(2 · b)2

=

........

22 · b2

De rekenregel voor de macht van ............................................................................................................ ....... een product. ............................................................................................................ .......

(2 – b)2

≠

........

22 – b2

De macht van een som is niet gelijk aan. . .de ............................................................................................................ .... som van de machten. ............................................................................................................ .......

(a + 3)2

≠

........

a2 + 9

De macht van een som is niet gelijk aan. . .de ............................................................................................................ .... som van de machten. ............................................................................................................ .......

(a · b)2

=

........

a2 b2

De rekenregel voor de macht van ............................................................................................................ ....... een product.

............................................................................................................ . . . . . . .

Wat moet je kunnen? τ een product tot een macht verheffen τ een quotiënt tot een macht verheffen

τ de rekenregels verwoorden

79

G21

Rekenregels van machten noteren in symbolen Op verkenning •

•

Vul aan: Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen,

behoud je de exponenten op. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .je . . . . . .het . . . . . . . . . . .grondtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . .tel . . . . . . .............................................................................. k Vul aan: ap · . . .a . . . . . . . = ap + k –

Door welke getallen kun je in deze gelijkheid de letter a vervangen? Je onderzocht dit in de ‘op verkenning’ van les G18. Noteer je antwoord volledig in symbolen.

a∊q

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................

–

Door welke getallen kun je in deze gelijkheid p en k vervangen? Je onderzocht dit in de ‘op verkenning’ van les G18. Noteer je antwoord volledig in symbolen.

p, k ∊ z

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................

•

Noteer de volledige rekenregel in symbolen.

a ∊ q , p, k ∊ z: ap · ak = ap+k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................

Rekenregels van machten ∀ a, b ∊ q0, ∀ p, k ∊ z: Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen.

ap · ak = ap + k

126 · 12–4 = 122

Machten met eenzelfde grondtal delen.

ap : ak = ap – k

10–3 : 102 = 10–5

Een macht tot een macht verheffen.

( ap )k = ap · k

( 25–2 )–2 = 254

Een product tot een macht verheffen.

(a · b)p = ap · bp

(6de)3 = 63d3e3 = 216d3e3

Een quotiënt tot een macht verheffen.

(a : b)p = ap : bp

(4 : c)2 = 42 : c2 = 16 : c2 (c ≠ 0)

Oefeningen Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat. WEER? 343 MEER? 344

WEER? 345 346 MEER? 347 - 349

80

a

∀ a, b ∊ q0, ∀ m ∊ n: (a · b)m = am · bm

b

∀ a, b ∊ q, ∀ m ∊ n: (a : b)m = am : bm

Juist de rekenregel geldt ook voor m ∊ z, dus ook voor m ∊ N .................................................................................................................. ....... Fout, het moet zijn: a, b ∊ q0 .................................................................................................................. .......

c

∀ a, b ∊ q, ∀ m ∊ n: (a + b)m = am + bm

Fout, de macht van een som is niet gelijk aan de. . . . . . . ..................................................................................................................

12 Juist of fout? Verklaar.

som van de machten.

13 Reken uit. 2

32

6

a

(–2a3)2 = .(–2) . . . . . . . . . . . . . ·. . .(a . . . . . . . .). . . . .= . . . . . 4a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . .

b

(ap)–2 = . . . .a . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . 2p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .

c

st + 8 r –(t+8) Bs (t+8) B Br  –t–8 = . . . . .B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .t...................................................................................................................................... ...... + 8 s r s

–2p

1 B a

()

()

rekenregels van machten

=

()

=

r

d

– 6) p–p+6 6 10p = . . . . . . . .p. . .–. . .(p B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . p–6

e

omdat je geen regel kent om een som tot een macht te verheffen. (19 + a7)3 = .Je . . . . .kunt . . . . . . . . . .geen . . . . . . . . . . . rekenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .toepassen . . . . . . . . ...................................................................................................................................... ....

f

6 6 (x–2)–3 + (x–6)–1 = .x. .6. . + . . . .x . . . . .= . . . .2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . .

10

10

= 10

= 10 = 1 000 000

Reken uit. Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.

WEER? 350

a

 20 · 2–1 · 2–2 = .2 . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . .3. . . . . . .= . . . ....................................................................................................................................... ....

b

+ + =  20 + 2–1 + 2–2 = .1 . . . . .+ . . . . . . . . ..+ . . . . . . . . . ..= .... 4 . . . . . .4. . . . . . . . . . .4. . . . . . . . ....................................................................................................................................... 4 4

MEER? 351 352

14 • •

c d 15 a

b

1 B

–3

1 B 2

() 2

1 B

3

1 B

4 B

2

2 B

1 B

1 B

8

7 B

0 . . . . . .a . . . . . . .= . . . . .1 . . . . .+ . . . . . .1 . . . . .= . . . . .2 . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . ( a0 )–4 + ( a4 )0 = .a. . . 0. . . .+ 4 2 1–5 2–6 –4 x–4 = 2x– 4 = 2 · B1x  = B x · x–5 + x2 · x–6 = .x. . . . . . . . . . . .+ .....x . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .x . . . . . . . .+ . . . . ....................................................................................................................................... .... x4

()

WEER? 353

Reken uit en geef het antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze. a

8 7 = (5 · 2)(108 · 107) = 10 · 1015 = 1016 = 1 · 1016 . . . . . . . . . . .·. . 2 . . . . . ·. . .10 . . . . . ....................................................................................................................................... .... ( 5 · 108 ) · ( 2 · 107 ) = .5. . . . .·. . 10

b

· 10 = 14 · 10 = 1,4 · 10 · 10 = 1,4 · 10 . . . . . . . . . . ·. . .10 . . . . . . . . . . . . .·. . .4 ....................................................................................................................................... .... ( 3,5 · 10–8 ) · ( 4 · 103 ) = 3,5

c

–6 · 108 = 125 · 102 = 1,25 · 102 · 102 = 1,25 · 104 . . . . . . . . . . . . .·. . .25 . . . . . . ....................................................................................................................................... .... ( 5 · 10–6 ) · ( 25 · 108 ) = .5. . . . .·. . 10

d

–1 –2 –110 (10–3)–110 = 10330 = 1 · 10330 . . . . . . . . . . . . . . ·. . .10 . . . . . . . . . . .). . . . . . . . . . . = . . . ....................................................................................................................................... .... ( 0,1 · 10–2 )–110 = (10

–8

3

–5

–5

MEER? 354

–4

Een lichtjaar is de afstand die een lichtstraal met een snelheid van 300 000 km per seconde aflegt in één jaar. Een lichtjaar is 9,461 · 1012 km. De Andromedanevel ligt op een afstand van ongeveer 2,2 miljoen lichtjaar. Bereken de afstand aarde-Andromeda in km. Geef je antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.

2,2 miljoen · 9,461 · 1012 km 12 = 2,2 · 106. . .·. . .9,641 ....................... . . . . . . . . . . . . . . ·. . .10 . . . . . . . . . . km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6 = 2,2 · 9,641 ....................... . . . . . . . . .·. . 10 . . . . . . . . . . .·. .10 . . . . . . . . . km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 = 20,8142. . .·. . .10 ....................... . . . . . . . . . .km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 = 2,08142. . .·. . .10 ....................... . . . . . . .·. . 10 . . . . . . . . . . .km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   19 De afstand ....................... . . . . . . .van . . . . . . . . . . .de . . . . . . .Andromedanevel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . tot . . . . . . . . .de . . . . . . .aarde . . . . . . . . . . . . . . . .is .. . . .2,08142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .·. .10 . . . . . . . . . . .km. .......................................... ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. ..................................................................... . . . . . . ... . . . . ...

Wat moet je kunnen? τ de rekenregels van machten in symbolen weergeven

81

Problemsolving 16 Bereken de som van de eerste 100 oneven getallen. 2 1..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . .=. . . . .1. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . + .....3 . . . . .+ . . . . .5 .. . .+ . . . . .7 . . . . .+ . . . . .... . . . . .= . . . . . . . .n ................................................. 1..................... + 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . .=. . . . .2. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n. . . . .termen . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1..................... + 3 + 5. .=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9. . . .=. . . . .3. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . + .....3 . . . . .+ . . . . .5 .. . .+ . . . . .7 . . . . .+ . . . . .... . . . . .+ . . . . .199 . . . . . . . . . .= . . . . .100 . . . . . . . . . . . .= . . . . .10 . . . . . . . 000 ............. 2 1..................... + 3 + 5. .+. . . . .7. . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 . . . . . . .= . . . . .4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1..................... + 3 + 5. .+. . . . .7. . . .+ . . . . .9 ....= . . . . . . . . . .25 . . . . . . .= . . . . .5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 De toren van Hanoi De legende vertelt dat in de stad Benares onder keizer Fo Hi een boeddhistische tempel stond. De grote middenkoepel markeerde het midden van de wereld. In deze koepels waren priesters continu bezig met het verplaatsen van gouden schijven die op diamanten punten stonden. God plaatste 64 schijven van groot naar klein op één pin. Zodra de hele stapel naar een andere pin verplaatst is, zal dat het einde van de wereld betekenen. Reken uit hoe lang dit duurt als je elke seconde één schijf verplaatst. Verplaats de toren door alle schijven te verplaatsen naar een ander stokje. a Er mag slechts 1 schijf tegelijk worden verplaatst. b Een grotere schijf mag nooit op een kleinere rusten.

Is er een oneven aantal schijven, leg dan de eerste schijf op de stok waarop je uiteindelijk. .wilt ..................... . . . . . . . . . . .eindigen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Is . . . . . er . . . . . . een . . . . . . . . . . .even . . . . . . . . . . . . .aantal . . . . . . . . . . . . . . . . . .schijven, . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .leg . . . . . . . . .dan . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .eerste . . . . . . . . . . . . . . . .schijf . . . . . . . . . . . . . .op .............. een andere ..................... . . . . . . . . .stok. . . . . . . . . . . . . . Het . . . . . . . . . . aantal . . . . . . . . . . . . . . . . . . zetten . . . . . . . . . . . . . . . . . is . . . . . steeds . . . . . . . . . . . . . . . . .het . . . . . . . . . .dubbele . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . .de . . . . . . .vorige . . . . . . . . . . . . . . . . .stapel . . . . . . . . . . . . . . . . .+1. ............ ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aantal schijven aantal 1,84467441 ..................... . . . . . . . . . .1 . . .= . . . .2. .1. .– . . .1 ...........3 . . . .= . . .2 . . 2. . .–. . .1. . . . . . . . . . .7 . . .= . . . .2. .3. .– . . .1 . . . . . . . . . . .15 . . . . .= . . .2 . . 4. . .–. . .1. . .. . . . . .31 . . . . .= . . . .2 . .5. . – ...1 . . . . . . . . . . . . . .2 . .n. . .–. . .1. . . . . . . . . . . . . . . . 19 .................... zetten · 10 = 264 – 1 ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ................

..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Voor 64 schijven heb je ongeveer 5,8 · 1010 jaar nodig.

..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180°. Van een driehoek ABC is hoek A drie keer zo groot als hoek B en half zo groot als hoek C. Hoe groot is hoek A?

1 | C | ⇒ | C | = 2| A | B |..................... | . . . .|. . .=. . . . .B1. . .|. .A. . . .|. . . . . . . .en | . . . . .|. .= A | = 3| B. .|. .⇒ . . . . . . . . .B . . . . . . . . . . . . . .A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2

..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 | | + 2| A | = 3 · 180° B | . . . .|. .+ |..................... | . . . .|. .= A | + | B | .+ . . . . . . .C . . . . . 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . . . . . . . .A . . . . . . . ... . .A 3 ............................................................................ 1 B | . . . .|. .+ | . . . ..| . + | . . . . .|. .= |..................... | . . . . .2. . . .|. .A. . . .|. .= A | + 3 | A . . . . . . .+ . . . . . 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . . . . .A . . . . . . .A .....6 . . . . .A . . . . .540° ........................................................ | . . . . .|. .= ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 . . . . . . .A . . . . .540° . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . .|. .= ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . .540° . . . . . . . . .. . . .:. .10 .......................................................................... | . . . . .|. .= ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . .54° . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(

)

19 Het product van twee gehele getallen is gelijk aan 25 · 3² · 5 · 7³. De som van deze getallen kan dan deelbaar zijn door: A 3

B 5

C 8

D 10

E 49

De som kan ..................... . . . . . . . . . . .niet . . . . . . . . . . .deelbaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . .door . . . . . . . . . . . . .5 . . . . want . . . . . . . . . . . . . . .slechts . . . . . . . . . . . . . . . . ..één . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .twee . . . . . . . . . . . . .getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is ............... deelbaar ..................... . . . door . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . De . . . . . . . . .som . . . . . . . . . . . .kan . . . . . . . . . . .dan . . . . . . . . . . .zeker . . . . . . . . . . . . . . niet . . . . . . . . . . .deelbaar . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . .door . . . . . . . . . . . . . .10. ............................................... 3 en 25 = 23 · 22. Slechts één van de De som kan ..................... . . . . . . . . . . .niet . . . . . . . . . . .deelbaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . .door . . . . . . . . . . . . .8 . . . .want . . . . . . . . . . . . . . .8 . . . .= . . . . .2 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . termen .....................is . . . .deelbaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .door . . . . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

rekenregels van machten