Relativ rörelse

Relativ r¨orelse

8–1

1 ¨ RELATIV RORELSE

8 8.1

Inledning

Den grundl¨ aggande lagen i den klassiska mekaniken ¨ar Newtons accelerationslag ma = F Som Newton sj¨alv noterade finns det en fundamental sv˚ arighet g¨ omd i denna ekvation, n¨amligen det faktum att ekvationen bara kan g¨alla i vissa koordinatsystem. Detta f¨ oljer av att accelerationsvektorn a kan a¨ndras n¨ar man byter koordinatsystem medan kraftvektorn F f¨orblir densamma. Kraften p˚ a en partikel beskriver dess v¨ axelverkan med andra partiklar och beror allts˚ a av vilka objekt som finns i omgivningen, men den har inget med valet av koordinatsystem att g¨ora. Observera att vi h¨ar talar om vektorerna sj¨alva och inte om deras komponenter! Komponenterna av kraftvektorn ¨andras n¨ ar vi byter koordinatsystem, men vektorn sj¨ alv a¨r invariant i den meningen att den har en given storlek och pekar i en best¨ amd riktning. Accelerationen d¨aremot m˚ aste alltid relateras till n˚ agot visst koordinatsystem f¨ ar att vara meningsfull. Exempel: Den gravitationskraft varmed jorden p˚ averkar m˚ anen ¨ar riktad fr˚ an m˚ anen mot jorden. Newtons accelerationslag s¨ager oss d˚ a att m˚ anens acceleration likas˚ a ¨ar riktad fr˚ an m˚ anen mot jorden. Detta st¨ ammer om vi beskriver m˚ anens r¨orelse i ett koordinatsystem med origo i jordens medelpunkt och axelriktningar bets¨amda av fixstj¨ arnorna. Om vi d¨ aremot v¨aljer ett koordinatsystem med origo i m˚ anens medelpunkt blir m˚ anens acceleration uppenbarligen noll, fast¨an gravitationskraften fortfarande finns kvar och fortfarande pekar fr˚ an m˚ anen mot jorden. 1

Detta avsnitt ¨ ar h¨ amtat fr˚ an ett kompendium av A. Kihlberg och G. Niklasson

De koordinatsystem i vilka Newtons lagar g¨aller kallar vi inertialsystem. Ett problem som bekymrade Newton och m˚ anga efter honom a¨r att det inte finns n˚ agon grundl¨aggande princip som talar om f¨ or oss vilka system som ¨ar inertialsystem. Det enda man kan s¨aga ¨ar att om man hittat ett inertialsystem s˚ a har man hittat dem alla, eftersom tv˚ a olika inertialsystem bara kan skilja sig ˚ at genom att det ena utf¨or en ren translationsr¨orelse med konstant hastighet relativt det andra. System som inte ¨ar inertialsystem kallar man d¨arf¨or f¨ or accelererade koordinatsystem. Fr˚ agan om ett visst koordinatsystem a¨r ett inertialsystem eller ej avg¨ ors som alla fysikaliska fr˚ agor i sista hand av experiment. Om m¨ atresultaten st¨ammer med ber¨akningar baserade p˚ a Newtons accelerationslag s˚ a ¨ar systemet ett inertialsystem, annars inte. Eftersom m¨atresultat aldrig kan vara exakta och fullst¨andiga kan man aldrig ge ett absolut svar, utan man f˚ ar n¨oja sig med att s¨aga att systemet kan betraktas som ett inertialsystem f¨ or en viss klass av fenomen eller inom en viss m¨atnoggrannhet. Exempel: N¨ar man studerar hur en bil r¨or sig l¨ angs en v¨ag eller hur en utkastad projektil r¨ or sig genom luften kan man i allm¨anhet betrakta ett koordinatsystem fixerat i jordytan som ett inertialsystem. Om man noggrannt studerar fallr¨orelse i lufttomt rum finner man emellertid sm˚ a avvikelser fr˚ an accelerationslagens f¨ oruts¨agelser. Mera p˚ atagliga s˚ adana avvikelser visar sig i storskaliga r¨orelser som str¨ ommarna i v¨ ardshaven eller vindarna kring ett l˚ agtryck. Dessa fenomen p˚ averkas m¨arkbart av jordens rotationsr¨orelse. F¨or att beskriva dem korrekt med hj¨alp av Newtons mekanik m˚ aste vi utg˚ a fr˚ an ett koordinatsystem fixerat i jordens medelpunkt med axelriktningar best¨amda av fixstj¨arnorna. Vill man

Relativ r¨orelse studera ¨annu storslagnare fenomen, som t ex planeternas r¨orelser, duger inte heller detta som inertialsystem, utan man f˚ ar g˚ a till ett system fixerat i solen. Och s˚ a vidare. Man kan fr˚ aga sig om det o¨verhuvud taget finns n˚ agot absolut inertialsystem, i vilket Newtons lagar a¨r exakt giltiga. Fr˚ agan ¨ar str¨ angt taget meningsl¨ os, eftersom vi vet att den klassiska mekaniken av andra sk¨al har ett begr¨ansat giltighetsomr˚ ade. Newtons teori kan betraktas som ett gr¨ansfall av mera allm¨angiltiga teorier som kvantmekanik och allm¨ an relativitetsteori. S¨arskilt den allm¨anna relativitetsteorin kastar ett nytt ljus ¨over begreppet inertialsystem. ¨ Aven om man i princip b¨or arbeta i ett inertialsystem n¨ ar man till¨ampar Newtons la˙ gar s˚ a ¨ar det ofta opraktiskt att g¨ ora s˚ aMan f˚ ar t ex en mycket klumpig beskrivning av havsstr¨ ommars r¨ orelser om man anger dem relativt ett stj¨ arnfixt system. Funktionen hos en mekanisk apparat i ett sv¨angande och dykande flygplan studerar man l¨ampligen i ett flygplansfixerat koordinatsystem, fast¨an det inte a¨r ett inertialsystem. Vi beh¨over d¨ arf¨or en metod att transformera accelerationslagen s˚ a att vi direkt kan arbeta i accelererade koordinatsystem utan att varje g˚ ang beh¨ova ta omv¨ agen ¨over ett inertialsystem. I detta kapitel skall vi presentera en s˚ adan metod.

8.2

Grundl¨ aggande formler och begrepp

L˚ at oss studera r¨orlesen hos en given partikel i f¨orh˚ allande till tv˚ a olika koordinatsystem. Det ena koordinatsystemet antages vara ett inertialsystem, medan det andra a¨r ett accelererat system. Partikelns l¨ agevektor relativt inertialsystemet skriver vi som

8–2 tialsystemet, och d¨ ar x, y och z ¨ar koordinaterna. F¨or att beteckna koordinater och l¨agevektorer i det accelererade koordinatsystemet anv¨ander vi grekiska bokst¨aver. L¨ agevektorn skrivs allts˚ a som ρ = ξ eξ + η eη + ζ eζ d¨ar eξ , eη och eζ ¨ar basvektorerna i det accelererade systemet, och ξ, η och ζ ¨ar partikelns koordinater i detta system. Om b˚ ada koordinatsystemen har samma origo ¨ar r och ρ samma vektor. I annat fall g¨ aller sambandet r = ρ+R

d¨ar R ¨ar vektorn fr˚ an origo O i inertialsystemet till origo Ω i det accelererade systemet.

eζ I @ eη H Y  HH @

r(t)

ρ(t) HH@ HH ez @

1Q  6

  Ω QQ 

 s Q 

 R(t) eξ O

 ey ex

I forts¨ attningen skall vi anv¨anda ordet ‘absolut’ f¨ or att beteckna hastighet och acceleration i f¨orh˚ allande till inertialsystemet och ‘relativ’ f¨or att beteckna motsvarande storheter i f¨orh˚ allande till det accelererade systemet. V˚ ar uppgift ¨ar att finna sambanden mellan de absoluta och de relativa storheterna. F¨ or att g¨ora detta utg˚ ar vi fr˚ an ovanst˚ aende samband mellan den absoluta l¨agevektorn r och den relativa l¨ agevektorn ρ, vilket vi skriver p˚ a formen r = ξ eξ + η eη + ζ eζ + R

Den absoluta hastigheten v finner vi genom att bilda tidsderivatan av r , varvid vi m˚ aste av¨ al vektorn R som basvekd¨ar vi inf¨ ort beteckningarna ex = ˆi, ey = ta h¨ansyn till att s˚ ˆj och ez = k ˆ f¨or basvektorerna i iner- torerna eξ , eη och eζ kan vara tidsberoende. r = xex + y ey + z ez

Relativ r¨orelse

8–3

Detta ger v

= ξ˙eξ + η˙ eη + ζ˙ eζ + ˙ + ξ e˙ ξ + η e˙ η + ζ e˙ ζ + R

f¨ orst˚ a ¨an de tv˚ a andra bidragen. Den upptr¨ ader endast f¨or roterande koordinatsystem, och vi skall senare diskutera dess inneb¨ord utf¨ orligare. Bland annat skall vi se att det ¨ar coriolisaccelerationen som f¨orklarar varf¨or vindarna kring ett l˚ agtryck och str¨ommarna i v¨arldshaven uppf¨or sig som de g¨or. F¨ or ¨ogonblicket n¨ojer vi oss med den formella definitionen och skriver allts˚ a den absoluta accelerationen p˚ a formen

H¨ar representerar de tre f¨orsta termerna partikelns relativa hastighet v rel, d v s den hastighet en observat¨or fixerad i det accelererade systemet skulle tillordna partikeln, om han inte vore medveten om att hans koordinatsystem r¨or sig. De ˚ aterst˚ aende termerna representerar den hastighet partikeln f˚ ar genom att f¨ olja med koordinatsystemet i dess r¨orelse. Dessa termer bildar tillsammans d¨ar medf¨ oringshastigheten v med . Vi kan allts˚ a skriva den absoluta hastigheten p˚ a formen v = v rel + v med

d¨ar v rel v med

= ξ˙eξ + η˙ eη + ζ˙ eζ ˙ = ξ e˙ ξ + η e˙ η + ζ e˙ ζ + R

a = arel + amed + acor

arel amed acor

= ξ¨eξ + η¨eη + ζ¨eζ ¨ = ξ¨eξ + η¨eη + ζ¨eζ + R = 2(ξ˙e˙ ξ + η˙ e˙ η + ζ˙ e˙ ζ )

Newtons accelerationslag, som ju g¨aller i inertialsystem, f˚ ar nu formen m(arel + amed + acor ) = F

att att skriva samma ekvation a¨r Den absoluta accelerationen a finner vi p˚ a Ett annat s¨ motsvarande s¨ att genom att derivera v m a p marel = F − mamed − macor tiden och d¨arvid ta h¨ansyn till tidsberoendet i alla ing˚ aende termer. En r¨attfram utr¨akning Det f¨orsta skrivs¨attet a¨r det ur formell synger resultatet punkt mera naturliga och det som b¨ast ˚ aterspeglar filosofin i Newtons mekanik. I a = ξ¨eξ + η¨eη + ζ¨eζ + h¨ogerledet st˚ ar de verkande krafterna och i + 2(ξ˙e˙ ξ + η˙ e˙ η + ζ˙ e˙ ζ ) + v¨ansterledet den acceleration de ger upphov ¨ + ξ¨ eξ + η¨ eη + ζ¨ eζ + R till. Det senare skrivs¨ attet a¨r emellertid ofta i b¨ attre samklang med hur en observat¨or som d¨ar de tre f¨orsta termerna i analogi f¨oljer med det accelererade systemet upplever med motsvarande termer i uttrycket f¨or situationen. En observat¨or p˚ a jorden har t ex hastigheten utg¨or den relativa accelerationen ingen direkt upplevelse av att hans koordinatarel. De fyra sista termerna kommer en- system r¨ or sig, och n¨ ar han talar om en parbart av koordinatsystemets r¨ orelse, och de tikels acceleration menar han vanligen bara bildar tillsammans medf¨ oringsaccelerationen den relativa accelerationen. Ekvationen ovan amed . I motsats till vad som g¨allde f¨or visar att man kan r¨akna med Newtons andra hastigheten finner vi emellertid att accele- lag p˚ a vanligt s¨att ¨aven i ett accelererat koorrationen inneh˚ aller ytterligare tre termer, dinatsystem, om man l¨agger till ett par extra vilka beror av den relativa r¨ orelsen och termer till kraften i h¨ ogerledet. Man skriver av koordinatsystemets r¨orelse. Dessa ter- allts˚ a accelerationslagen p˚ a formen mer utg¨or den s˚ a kallade coriolisacceleramarel = F + F med + F cor tionen acor, som kanske a¨r lite sv˚ arare att

Relativ r¨orelse

8–4

d¨ ar F med

= −mamed

F cor

= −macor

S˚ adana extra termer kallar vi fiktivkrafter, d¨arf¨or att de inte representerar v¨ axelverkan med omgivningen utan egentligen bara ¨ar accelerationsbidrag som flyttats ¨over till ‘fel sida’ av ekvationen. Ett exempel som vi skall st¨ota p˚ a ¨ar centrifugalkraften, som erh˚ alles som ett specialfall av F med f¨or roterande koordinatsystem. Det a¨r ofta bekv¨amt att r¨akna med fiktivkrafter, och trots namnet kan de upplevas som mycket p˚ atagliga, vilket m˚ anga Lisebergsbes¨okare kan intyga. Vare sig vi v¨aljer att arbeta med begreppet fiktivkrafter eller inte, m˚ aste vi kunna ber¨akna medf¨ oringsaccelerationen och coriolisaccelerationen. I f¨ oljande avsnitt skall vi studera hur man g˚ ar tillv¨aga f¨or att g¨ ora detta i olika situationer.

Exempel: En j¨ arnv¨ agsvagn r¨or sig horisontellt och r¨ atlinjigt med hastigheten v(t). St¨ all upp r¨orelseekvationen f¨or en partikel som glider p˚ a ett lutande plan i vagnen!

t t - v(t)

H H
H
HH HH

Vi v¨aljer koordinatsystem enligt figuren med ξ-axeln l¨ angs planet. Under f¨oruts¨attning att partikeln inte lyfter fr˚ an planet f˚ ar den relativa accelerationen formen arel = ξ¨eξ

η

8.3

Koordinatsystem translationsr¨ orelse

med





H H
H
HH θ HH HH j

ren

Vi skall b¨orja med att betrakta den enklaste situationen, n¨ amligen den att axelriktningarna i det accelererade systemet a¨r fixa. Systemet s¨ages d˚ a utf¨ ora ren translationsr¨orelse. Eftersom basvektorerna eξ , eη och eζ ¨ar konstanta blir alla deras tidsderivator noll. Uttrycket f¨ or medf¨ oringshastigheten f¨orenklas d˚ a till

ξ

Medf¨oringsaccelerationen kan skrivas ¨ = aex = a(eξ cos θ + eη sin θ) R

˙ v med = R vilket helt enkelt a¨r den hastighet varmed origo i det accelererade koordinatsystemet r¨ or sig. P˚ a samma s¨att reduceras uttrycket f¨ or medf¨oringsaccelerationen till ¨ amed = R

d¨ar θ ¨ar planets lutningsvinkel och a = v(t) ˙ ¨ar vagnens acceleration. De krafter som verkar p˚ a partikeln ¨ar tyngdkraften W , normalkraften N och friktionskraften F . Dessa skriver vi p˚ a f¨oljande s¨att:

och coriolisaccelerationen f¨ orsvinner helt och h˚ allet. Accelerationslagen f˚ ar allts˚ a formen

W

= mg(eξ sin θ − eη cos θ)

N

¨) = F m(arel + R

= N eη

F

= −F eξ

Relativ r¨orelse

8–5 blir N negativ, vilket signalerar att partikeln lyfter fr˚ an planet, s˚ avida den inte ¨ar fastklistrad. I det fall att partikeln glider nedf¨or planet g¨aller att F = f N , d¨ar f ¨ar friktionstalet. Accelerationen l¨angs planet kan d˚ a l¨osas ur den f¨ orsta av ovanst˚ aende ekvationer, vilket ger


N


HH Y
HH
F



θ ?

W

ξ¨ = (g − f a) sin θ − (a + f g) cos θ

Accelerationslagen blir allts˚ a ¨) = W + N + F m(arel + R

Vi ser h¨ar att ξ¨ blir negativ om vagnens acceleration a har ett tillr¨ackligt stort positivt v¨arde. Det betyder att om partikeln ges en begynnelsehastighet nedf¨ or planet kommer dess r¨ orelse att bromsas upp och eventuellt kan den ist¨allet b¨ orja glida upp˚ at l¨ angs planet. Man kan ocks˚ a genom att s¨ atta ξ¨ = 0 i ovanst˚ aende ekvationer studera villkoret f¨ or att partikeln skall kunna ligga i j¨ amvikt p˚ a planet. Betrakta t ex specialfallet att planet a¨r lodr¨ att, d v s θ = 90◦ . J¨amviktsvillkoren blir d˚ a

vilket kan skrivas p˚ a den alternativa formen marel = W + N + F + F med d¨ar ¨ F med = −mR Partikelns r¨ orelse p˚ a det lutande planet kan allts˚ a beskrivas genom att man utover tyngdkraften och kontaktkrafterna ¨ inf¨ or en fiktiv kraft vilken a¨r motriktad vagnens acceleration.
N

F
YH H
 HH
F med

Beroende p˚ a storlek och tecken hos vagnens acceleration a kan olika situationer intr¨ affa. Vi noterar t ex att om a har ett tillr¨ackligt stort negativt v¨arde

= ma



N

ma ? W

m(ξ¨ + a cos θ) = mg sin θ − F

N = mg cos θ + ma sin θ

N

F 6

Efter uppdelning i komponenter l¨angs eξ och eη ger accelerationslagen de tv˚ a ekvationerna

Ur den andra av dessa ekvationer kan normalkraften N l¨osas:

= mg

vilka ¨ar m¨ ojliga att satisfiera under f¨oruts¨attning att a ≥ g/f .

? W

ma sin θ = −mg cos θ + N

F

8.4

Koordinatsystem med ren rotationsr¨ orelse

Antag att det accelererade koordinatsystemets r¨orelse best˚ ar i att det roterar med vinkelhastigheten ω kring en viss axel A. Origo antages vara fixerat och kan f˚ a sammanfalla med origo i inertialsystemet. Som exempel kan man t¨anka p˚ a ett koordinatsystem fixerat p˚ a en roterande karusell med origo

Relativ r¨orelse

8–6

'$ &%

i mittpunkten. Ett annat exempel ¨ar ett ko- torn V s˚ a att den f˚ ar tillskottet ∆V . Tidsordinatsystem fixerat i jorden med origo i jor- derivatan av V definieras som dens medelpunkt. dV ∆V = lim ∆t→0 ∆t dt η ξ I @  och man inser att detta blir en vektor som @ tangerar cirkeln och a¨r vinkelr¨at mot ω och @ω V . I gr¨ ansen d˚ a ∆t → 0 g¨ aller att 

Villkoret att origo ¨ar fixerat inneb¨ar att tidsderivatorna av R f¨orsvinner ur uttrycken f¨or hastighet och acceleration. Basvektorerna eξ , eη och eζ ¨ ar d¨aremot tidsberoende, och vi beh¨over finna uttryck f¨or deras tidsderivator. F¨ or den skull b¨orjar vi med det mera allm¨anna problemet att finna tidsderivatan av en vektor V , som roterar kring en axel A med vinkelhastigheten ω. Ett bekv¨amt s¨att att matematiskt beskriva rotationsr¨orelsen ¨ar att introducera en rotationsvektor ω, definierad av uttrycket ω = ω eA d¨ar eA axeln.

|∆V | → |ω∆tV sin θ| och tidsderivatans belopp ges allts˚ a av dV dt

= lim ∆V ∆t→0 ∆t

= |ωV sin θ|

Kombinerar vi detta med ovanst˚ aende argument om riktningen hos derivatan finner vi att resultatet kan skrivas som en vektoriell produkt: dV =ω×V dt Detta g¨aller allts˚ a f¨ or varje roterande vektor, inklusive basvektorerna eξ , eη och eζ . Vi kan nu ber¨akna de olika bidrag till hastigheten och accelerationen som definieror medf¨ oringshastigheten ¨ar en enhetsvektor l¨ angs rotations- ades i avsnitt 1. F¨ ˙ = 0: finner vi t ex med R v med

ω A eA



∆V

i P PP    

  

6 V 

 θ 

˙ = = ξ e˙ ξ + η e˙ η + ζ e˙ ζ + R = ξω × eξ + ηω × eη + ζω × eζ = = ω × (ξ eξ + η eη + ζ eζ )

d¨ar termerna inom parentes i sista ledet igenk¨ anns som komponentframst¨allningen av den relativa l¨ agevektorn ρ. Resultatet blir allts˚ a v med = ω × ρ

P˚ a samma s¨att kan vi g˚ a vidare och ber¨ akna Rotationsriktningen, tecknet p˚ a vinkel- h¨ogre derivator. F¨ or andraderivatan av hastigheten ω och riktningen hos eA ¨ar basvektorn eξ finner vi t ex relaterade till varandra enligt skruvregeln. dω Rotationsr¨orelsen inneb¨ar att spetsen hos ¨ξ = e × eξ + ω × (ω × eξ ) dt den roterande vektorn V beskriver en cirkel kring rotationsaxeln. Av figuren framg˚ ar att d¨ar vi tagit h¨ansyn till att rotationsvekav¨ al vinkelcirkelns radie ¨ar V sin θ, d¨ar V ¨ar beloppet av torn ω kan vara tidsberoende. S˚ V , och θ ¨ ar vinkeln mellan vektorerna ω och hastigheten som rotationsaxelns riktning kan andras med tiden. V . Under tidsintervallet ∆t vrider sig vek- ¨

Relativ r¨orelse

8–7

Det ¨ae nu en enkel sak att ber¨akna medf¨oringsaccelerationen och coriolisaccelerationen enligt definitionerna i avsnitt 1. Med anv¨ andning av ovanst˚ aende formler finner vi att amed acor

dω × ρ + ω × (ω × ρ) dt = 2ω × v rel =

Medf¨oringsaccelerationen best˚ ar som synes av tv˚ a termer. Ett vanligt specialfall a¨r att rotationsvektorn a¨r konstant, och i s˚ a fall ¨overlever endast den sista av dessa. Genom att utf¨ora de vektoriella multiplikationerna finner man att den representerar en acceleration som alltid ¨ar riktad in mot rotationsaxeln och har storleken `ω 2 , d¨ar ` ¨ar det vinkelr¨ata avst˚ andet fr˚ an rotationsaxeln. Detta bidrag ¨ar k¨ ant under namnet centripetalaccelerationen. ω  



ω × (ω × ρ) 



ρ



Av uttrycket f¨ or coriolisavvelerationen framg˚ ar att den endast upptr¨ader f¨ or partiklar som r¨or sig relativt det roterande systemet. Vidare ser man att coriolisaccelerationen alltid ¨ar vinkelr¨at mot den relativa hastigheten. Exempel: En person som ˚ aker karusell har ingen acceleration relativt karusellen. D¨aremot har han en centripetalacceleration p˚ a grund av att han f¨oljer med karusellen och allts˚ a r¨ or sig i en cirkul¨ ar bana. F¨ or att ˚ astadkomma en s˚ adan acceleration kr¨ avs enligt Newtons andra lag en kraft som a¨r riktad ˚ at samma h˚ all

som accelerationen, d v s in mot centrum. Denna s˚ a kallade centripetalkraft utg¨ ors av friktionskraft fr˚ an underlaget, tryckkraft fr˚ an en stolsrygg eller n˚ agot liknande, och den ¨ar allts˚ a en p˚ ataglig reell kraft som kommer fr˚ an kontakten med materiella objekt i omgivningen. N˚ agon annan kraft beh¨over inte inf¨ oras. Karusell˚ akaren vill emellertid g¨ arna beskriva situationen p˚ a ett helt annat s¨att. Han upplever sig vara p˚ averkad av en ut˚ atriktad centrifugalkraft som uppst˚ ar p˚ a grund av rotationen och som precis uppv¨ager centripetalkraften s˚ a att ˚ akaren f¨ orblir i vila relativt karusellen. Som vi f¨orut sett ¨ar skillnaden mellan Newtons syns¨ att och krausell˚ akarens syns¨ att egentligen bara att en term, som enligt Newton h¨or hemma i v¨ansterledet av ekvationen akaren omedvetet ma = F . av karusell˚ flyttas ¨over till h¨ ogersidan av ekvationen och d¨arigenom tolkas som en kraft. Antag att v˚ ar karusell˚ akare kastar iv¨ ag en boll eller n˚ agot annat f¨orem˚ al. N¨ ar handen har sl¨appt f´orem˚ alet p˚ averkas det inte l¨angre av n˚ agon annan kraft ¨an tyngdkraften och ett f¨orsumbart luftmotst˚ and. En iakttagare utanf¨ or karusellen kommer d¨ arf¨or att se f¨ orem˚ alet beskriva en kastparabel vars projektion p˚ a horisontalplanet ¨ar en r¨ at linje. F¨or iakttagaren p˚ a den roterande karusellen ser emellertid den r¨ata linjen ut som en spiral, d v s han upplever att f¨orem˚ alets bana hela tiden b¨ojer av ˚ at ena sidan. Det ser allts˚ a ut som om f¨ orem˚ alet p˚ averkas av en mystisk sidoriktad kraft. Denna a¨r inget annat a¨n corioliskraften, d v s den tidigare introducerade fiktivkraft som svarar mot coriolisaccelerationen. F¨ or att beskriva situationen i mera matematiska termer f¨orenklar vi karusellen till en horisontell v¨andskiva som roterar

Relativ r¨orelse

8–8 η

kring en vertikal axel med den konstanta vinkelhastigheten ω. P˚ a skivan finns en partikel med massan m, vars r¨orelse vi vill unders¨oka. Om vi inf¨or ett roterande koordinatsystem med ξ-axeln och η-axeln i skivans plan finner vi att η

-

-

ξ

En annan t¨ ankbar r¨ orelse ¨ar att partikeln r¨or sig ut˚ at l¨ angs ξ-axeln med den konstanta farten vrel relativt skivan, vilket betyder att η = ζ = 0, ξ˙ = vrel och η˙ = 0. Man kan t ex t¨anka sig att partikeln glider i ett sp˚ ar p˚ a skivan. Den kraft som kr¨ avs f¨ or att realisera en s˚ adan r¨orelse ges av

ξ

ω = ω eζ arel = ξ¨eξ + η¨eη

acor

F

6 ρ

amed

6

Fξ

= ω × (ω × ρ) = −ω 2 ρ = 2ω × v rel

= 2ω

eξ

eη

0 ξ˙

0 η˙

eζ 1 0

= 2ω(−η˙ eξ + ξ˙eη ) R¨orelseekvationerna i komponentform blir s˚ aledes m(ξ¨ − 2ω η˙ − ω 2 ξ) = Fξ m(¨ η + 2ω ξ˙ − ω 2 η) = Fη Dessa kan sedan studeras i olika specialfall. Man kan t ex best¨ amma den kraft som kr¨ avs f¨ or att partikeln skall vara i vila relativt skivan, vilket inneb¨ar att ξ och η skall vara konstanta. Man finner d˚ a Fξ = −mω 2 ξ Fη = −mω 2 η vilket a¨r den centripetalkraft som enligt observat¨ oren p˚ a karusellen kr¨ avs f¨ or att kompensera den ut˚ atriktade centrifugalkraften.

= −mω 2 ξ

Fη = 2mωvrel En observat¨or som f¨ oljer med skivan i dess rotation skulle kunna beskriva situationen genom att s¨aga att det kr¨avs dels en kraft in mot centrum f¨ or att kompensera centrifugalkraften, dels en kraft ˚ at v¨ anster f¨ or att kompensera den ˚ at h¨oger verkande corioliskraften. F¨ or en observat¨or utanf¨ or skivan existerar emellertid varken centrifugalkraft eller corioliskraft. Han ser helt enkelt en partikel som r¨ or sig i en spiralformad bana under inverkan av en kraft med komponenterna Fξ och F η enligt ovan. Ett annat intressant specialfall a¨r att partikeln ¨ar fritt r¨orlig p˚ a skivan men bromsas av en glidfriktion med friktionstalet f . Friktionskraften ¨ar motriktad den relativa hastigheten och ges av uttrycket v rel F = −f mg |v rel| vilket efter komponentuppdelning och ins¨attning i ovanst˚ aende r¨ orelseekvationer leder till ett mycket komplicerat

Relativ r¨orelse

8–9

system av differentialekvationer, som vi vilket leder till slutsatsen att a11 = 0. P˚ a inte kan l¨ osa analytiskt. samma s¨att ser vi att a22 = a33 = 0. Vidare g¨aller att hur ¨an basvektorerna vrider sig s˚ a m˚ aste de f¨ orbli ortogonala mot varandra. 8.5 Det allm¨ anna fallet Allts˚ a g¨aller t ex att R¨orelsen hos ett godtyckligt koordinatsyseξ · eη = 0 tem best˚ ar dels i att origo flyttar sig, dels i att koordinataxlarna a¨ndrar riktning. Origos r¨ orelse kan vi alltid beskriva med hj¨ alp vilket efter derivering m a p tiden ger av en translationsvektor R(t). Man fr˚ agar e˙ ξ · eη + eξ · e˙ η = 0 sig om koordinataxlarnas r¨ orelse p˚ a liknande s¨att alltid kan beskrivas med hj¨alp av en roallningen f¨ or tationsvektor ω(t). Svaret a¨r ja, vilket vi nu Ins¨attning av komposantframst¨ ˙ e och e ˙ ger nu sambandet η skall bevisa. Vi b¨orjar med att konstatera arr ξ tidsderivatan av en godtycklig vektor sj¨alv a¨r a12 = −a21 en vektor, som kan delas upp i komposanter l¨ angs basvektorerna eξ , eη och eζ . Allts˚ a kan och p˚ a samma s¨att vi alltid skriva ez

a23 = −a32

6

a31 = −a13 O

@ ey @ eζ ex @ eη @ AK @ A  @ A R(t) @A R @ AH -ω(t) Ω HHH jeξ

e˙ ξ

= a11 eξ + a12 eη + a13 eζ

e˙ η

= a21 eξ + a22 eη + a23 eζ

e˙ ζ

= a31 eξ + a32 eη + a33 eζ

d¨ar koefficienterna a11 , a12 , etc ¨ ar tills vidare ok¨ anda storheter. De kan emellertid inte se ut hur som helst, eftersom basvektorerna m˚ aste uppfylla vissa villkor. F¨ or det f¨orsta ¨ar de enhetsvektorer, vilket t ex inneb¨ ar att eξ · eξ = 1

Deriverar vi denna likhet m a p tiden finner vi att e˙ ξ · eξ = 0

Endast tre av koefficienterna aij ¨ar allts˚ a oberoende av varandra. Vi kan sammans¨ atta dessa till en vektor ω genom definitionen ω = a23 eξ + a31 eη + a12 eζ och vi finner d˚ a att e˙ ξ

= ω × eξ

e˙ η

= ω × eη

e˙ ζ

= ω × eζ

vilket visar att koordinataxlarna utf¨or rotationsr¨orelse best¨amd av vektorn ω. Notera att inget hindrar att koefficienterna aij och d¨armed rotationsvektorn ω ¨ar tidsberoende. Vi kan nu med utg˚ angspunkt fr˚ an definitionerna i avsnitt 1 skriva ner de allm¨anna uttrycken f¨or medf¨ orningsaccelerationen och coriolisaccelerationen f¨ or ett koordinatsystem med godtycklig r¨orelse: amed acor

¨ + dω × ρ + ω × (ω × ρ) = R dt = 2ω × v rel

Relativ r¨orelse

8 – 10

Exempel: Ett t˚ ag passerar en plan, horisontell kurva med radien b och retarderas s˚ a att farten varierar enligt

sidan av R, och en explicit ber¨akning ger d˚ a v2 amed = −ceξ + eη b Coriolisaccelerationen blir

v = v0 − ct d¨ar c och v0 ¨ar konstanter. Inf¨or ett r¨orligt koordinatsystem med ζ-axeln vertikalt upp˚ at och ξ-axeln i t˚ agets r¨orelseriktning. Best¨ am medf¨ oringsaccelerationen och coriolisaccelerationen f¨ or en partikel i t˚ aget som befinner sig n¨ara origo!

acor

eξ

eη

0 ξ˙

0 η˙

eζ v v ˙ b = 2 (−η˙ eξ +ξ eη ) b ˙ζ

F¨ or en partikel i fritt fall som endast p˚ averkas av tyngdkraften blir r¨orelseekvationerna v m(ξ¨ − 2 η˙ − c) = 0 b v ˙ v2 m(¨ η+2 ξ + ) = 0 b b mζ¨ = −mg

O eη

= 2

Alternativt kan man skriva de tv˚ a f¨ orsta ekvationerna som v mξ¨ = m(2 η˙ + c) b v v2 m¨ η = −m(2 ξ˙ + ) b b d¨ar termerna i h¨ ogerledet representerar fiktivkrafter.

b

6 -

eξ

Vi har att v v0 − ct ω = eζ = eζ b b R = −beη v rel = ξ˙eξ + η˙ eη + ζ˙ eζ

8.6

Till¨ ampning p˚ a r¨ orelse relativt jorden

Vi skall nu till¨ ampa den allm¨anna teorin p˚ a ett koordinatsystem som a¨r fixerat i jorden. L˚ at oss l¨ agga origo p˚ a jordytan, ξ-axeln ˚ at at norr och ζ-axeln vertikal F¨or att ber¨ akna medf¨ oringsaccelera- ¨oster,, η-axeln ˚ at. tionen bildar vi f¨orst derivatorna av R, upp˚ ω som ju ¨ar en roterande vektor:  η ˙ R = ω×R I @ ζ dω @ ¨ = R × R + ω × (ω × R)  dt α R Medf¨oringsaccelerationen kan allts˚ a skrivas O amed =

dω × (R + ρ) + ω × [ω × (R + ρ)] dt

Eftersom partikeln f¨ oruts¨atts vara n¨ ara origo kan vi f¨orsumma vektorn ρ vid

Relativ r¨orelse

8 – 11

Rotationsvektorn f¨or koordinatsystemet a¨r densamma som f¨or jorden, d v s den a¨r riktad l¨angs jordaxeln fr˚ an sydpolen mot nordpolen och har en storlek svarande mot 2π radianer per dygn. Egentligen ¨ar rotationsvektorn inte exakt konstant, utan b˚ ade storlek och riktning fluktuerar en smula, men fluktuationerna ¨ar helt f¨orsumbara i detta sammanhang. Koordinatsystemets translationsr¨orelse beskrivs av vektorn R fr˚ an jordens medelpunkt O till v˚ art r¨ orliga origo Ω. Medf¨oringsaccelerationen kan allts˚ a skrivas ¨ + ω × (ω × ρ amed = R

d¨ar α ¨ar vinkeln mellan jordaxeln och den vertikala ζ-axeln och allts˚ a best¨ ams av latituden f¨ or punkten Ω. Vi finner d˚ a att = 2ω

0 sin α cos α = acor = 2ω × v rel ξ˙ η˙ ζ˙ h i 2ω (ζ˙ sin α − η˙ cos α)eξ + ξ˙ cos αeη − ξ˙ sin αeζ eξ

eη

eζ

Vi kan nu skriva ner accelerationslagen, och vi v¨ aljer att ta h¨ ansyn till koordinatsystemets r¨orelse genom att inf¨ ora fiktiva krafter i h¨ogerledet:

marel = F + F med + F cor Vektorn R utf¨or ren rotationsr¨orelse, och vi finner allts˚ a dess tidsderivator genom up- d¨ar prepad vektoriell multiplikation med rota¨ F med = −mamed = −mR tionsvektorn, vilket leder till F cor = −macor = −2mω × v rel amed = ω × [ω × (R + ρ)] Vid r¨ orelse n¨ara punkten Ω kan vi f¨ orsumma ρ i j¨amf¨orelse med R, s˚ a att

6 S

¨ = ω × (ω × R) amed = R Detta a¨r en centripetalacceleration riktad in mot jordaxeln. Den ¨ar st¨ orst vid ekvatorn och blir noll vid polerna.

-





F med




W




?

ω  eη I @

α @ @ @

eζ

L˚ at oss f¨ orst betrakta en partikel som h¨ anger i en tr˚ ad och befinner sig i vila relativt jorden. De krafter som verkar ut¨ over den fiktiva centrigugalkraften F med ¨ar kraften S i linan och tyngdkraften W . Vi f˚ ar allts˚ a j¨ amviktsvillkoret S + W + F med = 0

F¨or att ber¨ akna coriolisaccelerationen vilket visar att linkraften S m˚ aste komutg˚ ar vi fr˚ an uttrycken pensera s˚ av¨ al tyngdkraften W som centrifugalkraften F med . I sj¨ alva verket har vi ingen v rel = ξ˙eξ + η˙ eη + ζ˙ eζ m¨ojlighet att skilja dessa tv˚ a˚ at, utan det ¨ ar deras summa vi normalt m¨ater n¨ ar vi v¨ ager en ω = ω sin αeη + ω cos αeζ

Relativ r¨orelse

8 – 12

kropp eller best¨ammer vertikallinjen med ett lod. Vi sammanf¨ or dem d¨arf¨or till en effektiv tyngdkraft ¨ W eff = W + F med = W − mR Det ¨ar denna effektiva tyngdkraft som definierar den vertikala ζ-riktningen och vi kan d¨arf¨or skriva W eff = −mg eζ

d¨ar g som vanligt betecknar accelerationen vid fritt fall. Denna varierar n˚ agot mellan olika punkter p˚ a jordytan, fr¨ amst just f¨or att den inneh˚ aller ett bidrag fr˚ an centrifugalkraften. Det a¨r dock ganska komplicerat att ber¨akna variationen, eftersom man m˚ aste ta h¨ansyn till att jordens form av samma sk¨ al blir n˚ agot tillplattad.

d

6 S

W eff ?

Accelerationslagen kan nu skrivas marel = F + W eff + F cor d¨ar F st˚ arf¨or alla p˚ alagda krafter ut¨over tyngdkraften. P˚ a komponentform f˚ ar vi ekvationerna mξ¨ = Fξ − 2mω(ζ˙ sin α − η˙ cos α) m¨ η = Fη − 2mω ξ˙ cos α mζ¨ = Fζ − mg + 2mω ξ˙ cos α Exempel: F¨or att illustrera hur corioliskraften p˚ averkar r¨orelsen skall vi studera ett enkelt exempel, d¨ar alla andra krafter

a¨r eliminerade. Betrakta f¨ or den skull en partikel som glider p˚ a ett glatt horisontalplan. D˚ a g¨ aller mξ¨ = 2mω η˙ cos α m¨ η = −2mω ξ˙ cos α Efter integration m a p tiden ger detta mξ˙ = 2mω(η − η0 ) cos α mη˙ = −2mω(ξ − ξ0 ) cos α d¨ar η0 och ξ0 ¨ar integrationskonstanter. Genom att eliminera η finner vi sedan ξ¨ + (2ω cos α)2 (ξ − ξ0 ) = 0 Den allm¨anna l¨osningen till denna differentialekvation ¨ar ξ = ξ0 + R0 cos(2ωt cos α + θ0 ) d¨ar R0 och θ0 ¨ar integrationskonstanter. Ur ekvationen f¨or η f˚ as vidare η = η0 − R0 sin(2ωt cos α + θ0 ) Vi ser nu att partikeln r¨or sig i en cirkelformig bana med ekvationen (ξ − ξ0 )2 + (η − η0 )2 = R20 Omloppsriktningen best¨ ams av tecknet p˚ a cos α. Man o¨vertygar sig l¨ att om att banan genoml¨ops medurs p˚ a norra halvklotet, d¨ ar cos α > 0. P˚ a s¨odra halvklotet g¨aller motsatsen. Partikeln uppf¨or sig allts˚ a som om den p˚ averkades av en kraft riktad ˚ at h¨oger p˚ a norra kalvklotet och ˚ at v¨ anster p˚ a s¨ odra halvklotet. Detta a¨r naturligtvis inget annat a¨n horisontalkomponenten av corioliskraften.

Relativ r¨orelse

η η0

6

'$ &% R @ I @ 0

-

ξ0 ξ

Banradien R0 beror av partikelns hastighet. Ur ovanst˚ aende ekvationer finner vi l¨att att 2 vrel = ξ˙2 + η˙ 2 = R20 (2ω cos α)2

vilket allts˚ a ger vrel R0 = 2ω cos α

Antag t ex att vrel = 10 m/s och cos α = 0.7. Med ω = 2π(24 · 3600)−1 rad/s f˚ as radien R0 = 105 m = 10 mil. F¨or normala hastigheter blir banradien mycket stor, vilket ˚ aterspeglar att corioliskraften a¨r mycket liten. Den kan trots detta spela en v¨asentlig roll vid storskaliga r¨orelser. En blick p˚ a en karta ¨over str¨ommarna i v¨arldshaven r¨acker f¨ or att man skall se att de tenderar att cirkulera medurs p˚ a norra halvklotet och moturs p˚ a s¨odra halvklotet. F¨ or vindarna kring ett l˚ agtryck spelar krafter fr˚ an tryckskillnader en v¨asentlig roll.

8 – 13