Remarques

BCPST1B

2016/2017 Conditionnement et indépendance.

Exemples préliminaires : 1) Une urne contient deux boules rouges et trois boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne. a. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge au premier tirage ? b. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge au deuxième tirage sachant que l'on a tiré une boule rouge au premier tirage ? c. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ? 2) Une urne contient deux boules noires et trois boules blanches. On prend une boule au hasard dans l'urne, si la boule est blanche on la retire de l'urne sinon on la remet dans l'urne, on procède alors à un deuxième tirage. a. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules blanches ? b. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires ?

I) Probabilité conditionnelle 1) Dénition

Dénition et proposition :

Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et A un événement de probabilité non nulle.

P (A ∩ B) est une probabilité sur l'espace probabilisable (Ω, P(Ω)) P (A) L'application PA est appelée probabilité sachant A (probabilité conditionnelle relative à A).

L'application PA : P(Ω) → R qui à B 7→

Démonstration :

• On a bien : PA : P(Ω) → [0, 1] • PA (Ω) = 1. • Soit B1 et B2 deux événements tels que : B1 ∩ B2 = ∅, PA (B1 ∪ B2 ) = · · · = PA (B1 ) + PA (B2 )

Remarques :

• Toutes les propriétés énoncées sur P sont encore valables pour PA par exemple : PA (B ∪ C) = PA (B) + PA (C) − PA (B ∩ C) • PA (A) = 1

Remarques :


• On note aussi : PA (B) = P B /A

• Attention à cette notation P B /A car B /A n'est pas un événement. • P (A ∩ B) = P (A) × PA (B) PA (B)

P (A)

   A H HH H

B

B

Ω @ @ @ @

B    A H HH H

1

B

• Si P est la probabilité uniforme alors PA (B) =

d'univers.

card(A ∩ B) , tout se passe comme si on changeait card(A)

Exemples : 1. On lance un dé équilibré : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} On note : A l'événement "obtenir 2 ou 4" (A = {2, 4}) et B l'événement "obtenir un nombre impair" (B = {1, 3, 5}) Donner ci-dessous la probabilité des événements élémentaires pour les probabilité PA et PB . ω 1 2 3 4 5 6 P ({ω})

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

PA ({ω}) PB ({ω})

2. On a une urne contenant 9 boules rouges et 6 boules vertes. On tire successivement et sans remise trois boules de cette urne. Le modèle classique pour cette expérience est P uniforme sur Ω : l'ensemble des arrangements de trois boules de l'ensemble des 15 boules. On note : A1 : "Obtenir une boule rouge au premier tirage" A2 : "Obtenir une boule rouge au deuxième tirage" A3 : "Obtenir une boule rouge au troisième tirage" Calculer les cardinaux suivant : (on ne simpliera pas les calculs ) card (Ω) =.................

card (A3 ) =.................

card (A1 ) =.................

card (A1 ∩ A3 ) =.................

card (A1 ∩ A2 ) =.................

card (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =.................

Déterminer les probabilités suivantes : (on simpliera les calculs ) P (A1 ∩ A2 ) =.................

P (A1 ) =.................

P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =.................

PA1 ∩A2 (A3 ) =................. PA1 (A2 ) =.................

PA1 ∩A3 (A2 ) =.................

PA1 (A2 ) =.................

PA1 (A2 ) =.................

PA1 ∩A2 (A3 ) =.................

PA1 ∩A2 (A3 ) =................. P (A2 ∩ A3 ) =.................

P (A2 ) =................. PA1 ∩A3 (A2 ) =.................

P (A3 ) =.................

PA2 (A1 ) =.................

PA1 ∩A3 (A2 ) =.................

2

2) Formule des probabilités composées (conditionnements successifs ) On peut enchainer les conditionnements, avec trois événements P (A ∩ B ∩ C) = P (A) PA (B ∩ C) = P (A) PA (B) (PA )B (C)

Pour pouvoir écrire cela il faut P (A) 6= 0 et PA (B) 6= 0 Remarque : (PA )B (C) =.......................................................

PA∩B (C) =.......................................................

donc (PA )B (C) = PA∩B (C)

Soit A et B deux événements tels que P (A ∩ B) 6= 0, on a : P (A ∩ B ∩ C) = P (A) PA (B) PA∩B (C)

Remarque : Comme A ∩ B ⊂ A, si P (A ∩ B) 6= 0 alors P (A) 6= 0.

Théorème : (Formule

des probabilités composées

)

Pour A1 , . . . , Ak , k événements (k > 2) vériant P (A1 ∩ . . . ∩ Ak−1 ) > 0, on a : P (A1 ∩ . . . ∩ Ak ) = P (A1 ) × PA1 (A2 ) × · · · × PA1 ∩...∩Ak−1 (Ak )

Démonstration :

Illustration avec un arbre.

Exemple : Une urne contient quatre boules rouges et trois boules vertes. On tire successivement et sans remise trois boules de l'urne. a. Quelle est la probabilité d'obtenir trois boules rouges ? b. Quelle est la probabilité d'avoir une boule verte et deux boules rouges dans un ordre quelconque ? c. Quelle est la probabilité d'avoir une boule rouge au troisième tirage sachant qu'on a eu une boule rouge au premier tirage ?

3

3) Formule des probabilités totales

Dénitions :

Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et {A1 , . . . , Ak } k événements. (k > 1) {A1 , . . . , Ak } est un système complet d'événements non négligables pour P ssi {A1 , . . . , Ak } est une partition de l'univers et ∀i ∈ [[1, k]], P (Ai ) 6= 0.

Théorème : (Formule des probabilités totales) Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et (A1 , . . . , Ak ) une liste de k événements. Ê Si (A1 , . . . , Ak ) un système complet d'événements alors pour tout événement B on a : P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) + · · · + P (Ak ∩ B)

ou encore : P (B) =

k X

P (Ai ∩ B)

i=1

Ë Si (A1 , . . . , Ak ) un système complet d'événements non négligeables pour P alors pour tout événement B on a : P (B) = P (A1 ) × PA1 (B) + P (A2 ) × PA2 (B) + · · · + P (Ak ) × PAk (B)

ou encore : P (B) =

k X

P (Ai ) × PAi (B)

i=1

Démonstration : Cette formule vient du fait que : B = (A1 ∩B)∪· · ·∪(Ak ∩B) et les (Ai ∩B) sont deux à deux incompatibles. Ce qui donne : P (B) = P (A1 ∩ B) + · · · + P (Ak ∩ B)

Illustration avec un arbre.

Remarque :

On a en particulier lorsque P (A) 6∈ {0, 1} : (A, A) est un système complet d'événements non négligeable pour P . P (B) = P (A) PA (B) + P (A) PA (B)

Illustration avec un arbre.

4

Exemples : Ê Une urne contient deux boules noires et trois boules blanches.

On prends une boule au hasard dans l'urne, si la boule est blanche on la retire de l'urne sinon on la remet dans l'urne, on procède alors à un deuxième tirage. a. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule noire au deuxième tirage ? b. On fait de même après le deuxième tirage : si la boule est blanche on la retire de l'urne sinon on la remet dans l'urne, on procède alors à un troisième tirage. Quelle est la probabilité que la boule soit noire au troisième tirage ? Ë Soit n ∈ N∗ , on dispose d'urnes numérotées de 1 à n, plus précisément : - on dispose d'une urne U1 - on dispose de deux urnes U2

.. . - on dispose de n urnes Un

a. Quel est le nombre N d'urnes dont nous disposons ? Dans chaque urne Uk , il y a k blanches et k(k − 1) boules rouges. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule de cette urne. On note pour tout k ∈ [[1, n]], Uk l'événement : "l'urne choisie porte le numéro k". b. Soit k ∈ [[1, n]], déterminez la probabilité de Uk . c. Calculer la probabilité que la boule tirée suivant la méthode décrite soit blanche. d. On constate que la boule tirée est blanche. Calculez pour tout k ∈ [[1, n]], la probabilité que cette boule provienne d'une urne portant le numéro k. 4) Formule de Bayes Remarque : Si P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0 alors : PA (B) P (A) = PB (A) P (B)

PA (B)

A P (A)

  HH HH

@ @

B

PB (A)

B P (B)

B

@ @

B @ @

A

   H HH H

A

A

A @ @

B

  HH HH

B

−−→ ?

Proposition :

   H HH H

A

Soit (A1 , . . . , Ak ) un système complet d'événements non négligeables pour P et B un événement également non négligeable pour P alors : pour tout j ∈ {1, . . . , k}, PB (Aj ) =

P (Aj ) × PAj (B) k X i=1

Démonstration : 5

P (Ai ) × PAi (B)

Illustration.

En particulier : PB (A) =

P (A) × PA (B) P (A) × PA (B) + P (A) × PA (B)

Exemple

On dispose de trois urnes U1 , U2 et U3 . U1 contient 3 boules rouges et 1 blanche, U2 contient 1 boule rouge et 3 blanches et U3 contient 2 boules rouges et 2 blanches. On choisit au hasard une urne et on tire une boule. On obtient une boule rouge, quelle est, alors, la probabilité que cette boule vienne de l'urne U1 ? 5) Rédaction. À Á Â Ã Ä Å

Commencer par bien lire l'énoncé. Reconnaitre un exercice utilisant les probabilités conditionnelles(on ne cherche pas à dénir Ω...) Donner des noms aux événements utiles à la résolution de l'exercice. Traduire l'énoncé avec ces notations. Utiliser les théorèmes du cours. Conclure.

Exemple :

Un test sanguin a une probabilité de 0,95 de détecter un certain virus lorsque celui-ci est eectivement présent. Il donne néanmoins un faux résultat positif pour 1% des personnes non infectées. Si 0,5% de la population est porteuse du virus, quelle est la probabilité qu'une personne ait le virus sachant qu'elle a un test positif ? Que pensez-vous de ce résultat ? Quel protocole proposez-vous pour avoir un test ecace ?

II) Evénements indépendants 1) Indépendance de deux événements.

Dénition : Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et A et B deux événements, Dire que A et B sont indépendants signie que : P (A ∩ B) = P (A)P (B)

6

Exemples : 1. On tire une carte d'un jeu de 52 cartes.

Les événements A :"la carte tirée est un pique" et B : "la carte tirée est un roi" sont-ils indépendants ? démontrez-le. On enlève du jeu l'as de c÷ur et on recommence l'expérience. Les événements A :"la carte tirée est un pique" et B : "la carte tirée est un roi" sont-ils indépendants ?

2. Ê On prend un nombre au hasard dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}

On note A : "obtenir un nombre pair" et B : "obtenir un nombre multiple de trois". Montrer que A et B sont deux événements indépendants. Ë On prend un nombre au hasard dans {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. On note A : "obtenir un nombre pair" et B : "obtenir un nombre multiple de trois". Montrer que A et B sont deux événements indépendants. Ì Est-ce encore vrai en prenant un nombre au hasard dans {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Remarques. • Ne pas confondre incompatibles et indépendants. • L'indépendance est une relation symétrique. • Cette notion dépend de P .

Exemple : Un joueur lance une pièce trois fois. On modélise cette expérience par : P la probabilité uniforme sur l'univers Ω = {0 ; 1}3 . (pile :1, face :0) On considère les événements : E : "le troisième lancer donne pile" G : "le deuxième lancer donne pile" C : "le premier lancer donne pile" D : "le joueur obtient au moins une fois pile au cours des deux derniers lancers" a. Montrer que E et G sont indépendants pour la probabilité P et indépendants pour la probabilité PC . b. Montrer que E et G ne sont pas indépendants pour la probabilité PD . c. Montrer que E et D sont indépendants pour la probabilité PG mais ne sont pas indépendants pour la probabilité P . • Certains événements paraissent a priori non indépendants mais peuvent le devenir avec cette dénition.

Exemple : Considérons les diérentes répartitions possibles des sexes des enfants d'une famille ayant n enfants et notons Fn l'ensemble de ces répartitions. On a par exemple, avec des notations évidentes, F2 = {(f, f ), (f, g), (g, f ), (g, g)}. Il est clair que le cardinal de Fn est 2n et nous supposerons que toutes les répartitions possibles sont équiprobables. Considérons l'événement M :"la famille a des enfants des deux sexes" et l'événement F : "la famille a au plus une lle" Etudier l'indépendance de ces deux événements dans le cas n = 2, n = 3 et enn pour un entier n quelconque de N∗ .

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Proposition : Soient A et B deux événements , Si A et B sont indépendants

alors

• A et B indépendants. • A et B indépendants. • A et B indépendants.

Démonstration : Dénitions : Soit pour A1 , . . . , An , n événements sur Ω, Dire que que ces événements sont 2 à 2 indépendants signie que ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, i < j,

P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj )

Remarque : Pour vérier que A1 , . . . , An sont 2 à 2 indépendants, il faut faire

  n vérications. 2

Exemple :

On lance deux dés parfaits et on considère les événements : A1 : "le premier dé amène un nombre pair", A2 : "le deuxième dé amène un nombre pair", A3 : "la somme des nombres obtenus est paire". Etudier l'indépendance 2 à 2 de ces trois événements.

2) Indépendance mutuelle de n événements.

Dénitions : Soit pour A1 , . . . , An , n événements sur Ω, Dire que ces événements sont mutuellement indépendants signie que :  ∀J ⊂ [[1, n]],

P

 \

j∈J

La probabilité d'une intersection

quelconque

Aj  =

Y

P (Aj )

j∈J

de Ai distincts est égale au produit des probabilités.

Remarque : Pour vérier que A1 , . . . , An sont mutuelles indépendants, il faut faire         n n n n + + + ··· = 2n − n − 1 2 3 4 n

v´erifications

Proposition : Si n événements sont mutuellement indépendants alors ils sont 2 à 2 indépendants.

Remarque : ce n'est qu'une implication. Exemple : On lance deux dés parfaits et on considère les événements : A1 : "le premier dé amène un nombre pair", A2 : "le deuxième dé amène un nombre pair", A3 : "la somme des nombres obtenus est paire". Etudier l'indépendance mutuelle de ces trois événements.

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III) Expériences indépendantes Introduction (Wikipédia )

"On considère une expérience 1 conduisant à la création d'un univers Ω1 muni d'une probabilité P1 , et d'une expérience 2 conduisant à la création d'un univers Ω2 muni d'une probabilité P2 . La conjonction des deux expériences conduit à la création d'un univers produit Ω formé de couples d'éléments de Ω1 et Ω2 , cet univers se note Ω1 × Ω2 . On dira que les expériences sont indépendantes si on peut créer sur Ω une probabilité P produit des deux précédentes telle que P (A × B) = P1 (A) × P2 (B), pour tous événements A de Ω1 et B de Ω2 ." On considère une expérience aléatoire E se décomposant en n sous-expériences (ou épreuves) aléatoires : E1 , E2 , . . . , En

Chacune de ces expériences est modélisée par des espaces probabilisées : (Ω1 , P(Ω1 ), P1 ) ,

(Ω2 , P(Ω2 ), P2 ) ,

. . . , (Ωn , P(Ωn ), Pn )

Que signie : les expériences sont indépendantes ? Dénition :

Dire que E1 , E2 , . . . , En sont indépendantes, c'est modéliser E par l'univers Ω = Ω1 × Ω2 × · · · × Ωn associé à la probabilité P dénie par : ∀(ω1 , ω2 , · · · , ωn ) ∈ Ω1 × Ω2 × · · · × Ωn , P ({(ω1 , ω2 , · · · , ωn )}) = P1 ({ω1 }) × P2 ({ω2 }) × · · · × Pn ({ωn })

La probabilité d'une liste de résultats est égale au produit des probabilités de chacun d'entre-eux.

Démonstration : On admet que l'on dénit bien ainsi une probabilité. Remarques :

- Il n'y a pas toujours la remarque disant que les expériences sont indépendantes. - On peut modéliser ainsi un tirage successif avec remise. - Cette indépendance peut être conditionnée.

Proposition :

Si E1 , E2 , . . . , En sont indépendantes, on a alors les propositions suivantes : Ê si A est un événement de l'expérience Ei alors P (A) = Pi (A). Ë si A1 , A2 , . . ., Ap sont p événements de p expériences distinctes 2 à 2 alors les événements A1 , A2 , . . ., Ap

sont mutuellement indépendants. en particulier :

P (A1 ∩ · · · ∩ Ap ) = P (A1 ) × · · · × P (Ap )

Démonstration : On admet ces propositions. Remarque sur la rédaction : À Á Â Ã Ä Å

Commencer par bien lire l'énoncé. Reconnaitre un exercice utilisant les expériences indépendantes (on ne cherche pas à dénir Ω...) Donner des noms aux événements de la forme Ak : " ....... au k−ième lancers", "..... à la k−ième expérience". Traduire l'énoncé avec ces notations. Utiliser les théorèmes du cours et la mutuelle indépendances des Ak . Conclure.

Cas particulier :

L'expérience est souvent constituée de n expériences (ou épreuves) identiques et indépendantes. On retrouve cette situation dans le cas des tirages successifs avec remises. "Les expériences sont identiques" signie qu'elles sont modélisées par le même espace probabilisé (Le même univers et la même probabilité ). Nous reverrons cette situation lorsque nous étudierons la loi binomiale. 9