Resistencia de Materiales EL SÓLIDO ELÁSTICO (El tensor de deformación)

Resistencia de Materiales EL SÓLIDO ELÁSTICO (El tensor de deformación)

El problema elástico F(x,y,z)

u(x,y,z)

Equilibrio

Rel. cinemáticas

σ(x,y,z)

Comportamiento

ε(x,y,z)

Resistencia de Materiales EL SÓLIDO ELÁSTICO (El tensor de deformación)

• • • • • • • •

Concepto de desplazamiento y deformación. Deformación en el entorno de un punto. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. El vector deformación. Componentes intrínsecas. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. Tensor esférico y tensor desviador. Ecuaciones de compatibilidad. Deformación plana.

El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

Γ

P

Q O

Ω

Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

P

Q O

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

P’ P

Q O

Q’

O’

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

t

P’ P

s

θ Q O

Q’

O’

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

t

P’ P

θ'

s

θ Q

O

Q’

O’

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

t

P’

Valores medios P

O ' P ' − OP εt = OP

γ st = θ − θ '

θ'

s

θ Q

O O’

Q’

εs =

O ' Q ' − OQ OQ

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

t

P’

Valores medios P

O ' P ' − OP εt = OP

γ st = θ − θ '

θ'

s

θ Q

O O’

Q’

εs =

O ' Q ' − OQ OQ

Valores instantáneos

O ' Q ' − OQ Q →O OQ

ε s = lim

O ' P ' − OP P →O OP

εt = lim

γ st = lim ( θ − θ ') P ,Q →O

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El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

Q ( x + dx, y + dy , z + dz )

 dx  dr =  dy     dz   

P( x, y , z ) Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

Q ( x + dx, y + dy , z + dz )

 dx  dr =  dy     dz   

u

P'

P( x, y , z ) Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

Q'

u + du

Q ( x + dx, y + dy , z + dz )

 dx  dr =  dy     dz   

u

P'

P( x, y , z ) Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

Q'

u + du  dx '  dr ' =  dy '     dz '   

Q ( x + dx, y + dy , z + dz )

 dx  dr =  dy     dz   

u

P'

P( x, y , z ) Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

Q'

u + du

Q ( x + dx, y + dy , z + dz )

du  dx '  dr ' =  dy '     dz '   

u dr

 dx  dr =  dy     dz   

u

P'

P( x, y , z ) Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

Q'

u + du

TRASLACIÓN Q ( x + dx, y + dy , z + dz )

du  dx '  dr ' =  dy '     dz '   

u dr

 dx  dr =  dy     dz   

u

P'

P( x, y , z ) Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

Q' “TODO LO DEMÁS” u + du

Q ( x + dx, y + dy , z + dz )

du  dx '  dr ' =  dy '     dz '   

u dr

 dx  dr =  dy     dz   

u

P'

P( x, y , z ) Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

Q' “TODO LO DEMÁS” u + du

Q ( x + dx, y + dy , z + dz )

du

GIRO Y DEFORMACIÓN  dx '  dr ' =  dy '     dz '   

u dr

 dx  dr =  dy     dz   

u

P'

P( x, y , z ) Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

Q'

GIRO Y DEFORMACIÓN u + du

u Q = u P + du

du

Q ( x + dx, y + dy , z + dz )

dr '

u dr

 dx  dr =  dy     dz   

u

P'

P( x, y , z ) Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

TRASLACIÓN

GIRO Y DEFORMACIÓN

u Q = u P + du ∂u ∂u ∂u u Q = u P + dx + dy + dz + O ( d 2 ) ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v v Q = v P + dx + dy + dz + O ( d 2 ) ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w wQ = wP + dx + dy + dz + O ( d 2 ) ∂x ∂y ∂z

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El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

TRASLACIÓN

GIRO Y DEFORMACIÓN

u Q = u P + du ∂u ∂u ∂u u Q = u P + dx + dy + dz + O ( d 2 ) ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v v Q = v P + dx + dy + dz + O ( d 2 ) ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w wQ = wP + dx + dy + dz + O ( d 2 ) ∂x ∂y ∂z

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El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

GIRO Y TRASLACIÓN DEFORMACIÓN

u Q = u P + du u  u   u, x u, y u, z   dx   v  =  v  +  v, x v, y v, z   dy          w Q  w  P  w, x w, y w, z   dz 

∂u ∂u ∂u u Q = u P + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v v Q = v P + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w wQ = wP + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Deformación en el entrono de un punto Significado físico del tensor de deformación

GIRO Y DEFORMACIÓN

u Q = u P + du

u  u   u, x u, y u, z   dx   v  =  v  +  v, x v, y v, z   dy          w Q  w  P  w, x w, y w, z   dz 

TRASLACIÓN

A + At A − At A= + 2 2  u, x 1  2 ( u, y + v , x )  1  2 ( u, z + w, x )

1 2

1 2

( u, ( v,

y

+ v, x )

v, y

z + w, y )

1 2 1 2

( u, z + w, x ) 

 ( v,z + w, y )   w, z 

¿GIRO? ¿DEFORMACIÓN? ¿UNA COMPOSICIÓN DE AMBAS?

 0 1  2 ( v , x −u, y )  1  2 ( w, x −u, z )

1 2

( u,

y

− v, x )

0 1 2

( w,

y

− v, z )

1 2 1 2

( u, z − w, x ) 

 ( v,z − w, y )   0 

¿GIRO? ¿DEFORMACIÓN? ¿UNA COMPOSICIÓN DE AMBAS?

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

y

Deformación

Puntos cercanos

y

Deformación en dirección x

dx variación de las posiciones relativas de los puntos del dominio y

dy x x Deformación en dirección y

y

Deformación angular

x x Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain

El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

y Deformación en dirección x

y

dx dy x

x

u

u+

∂u dx ∂x

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

y Deformación en dirección x

y

dx dy x

x

u

lxf − lxi ε x = lim = i i l x →O lx

dx + u +

u+

∂u dx ∂x

∂u dx − u − dx ∂u ∂x = dx ∂x

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

y Deformación en dirección x

y

dx dy x

x

u

lxf − lxi ε x = lim = i i l x →O lx

dx + u +

u+

∂u dx ∂x

∂u dx − u − dx ∂u ∂x = dx ∂x

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

y Deformación en dirección x

y

dx dy x

∂u εx = ∂x

x

u

lxf − lxi ε x = lim = i i l x →O lx

dx + u +

u+

∂u dx ∂x

∂u dx − u − dx ∂u ∂x = dx ∂x

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

y Deformación en dirección y

dx dy x

v+

y

∂v dy ∂y v x

ε y = lim i

l y →O

l yf − l yi l

i y

dy + v + =

∂v dy − v − dy ∂v ∂y = dy ∂y

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

y Deformación en dirección y

dx dy x

v+

∂v εy = ∂y

y

∂v dy ∂y v x

ε y = lim i

l y →O

l yf − l yi l

i y

dy + v + =

∂v dy − v − dy ∂v ∂y = dy ∂y

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El Tensor de Deformaciones

Concepto de desplazamiento y deformación

y Deformación angular

dx

β

dy y x

v+

α, β