Résumé

DE LA STABILITE DES AERONEFS AVEC AILES EN TANDEM Une approche théorique et numérique des coefficients de stabilité de l'équilibre en vol. Bernard GUERRAND ----------------------------

Résumé Parmi les aéronefs à deux plans les plus répandus sont les appareils à ailes en tandem : les avions dits traditionnels des aéroclub, les canards dont l’aile la plus grande est à l’arrière et les pou-du-ciel. De manière à préciser, quantifier puis comparer les performances de stabilité des aéronefs de chacune de ces catégories, voire d’une catégorie à l’autre, une méthode numérique et systématique est proposée. Cette approche de la stabilité repose sur un calcul de la dérivée du couple de tangage par rapport à l’incidence, au voisinage du point d’équilibre. Cette grandeur « dM/di » est comparée aux coefficients habituels tels le rapport des coefficients de portance (kch) ou le rapport des « volumes de stab » (. La note expose la méthode et les applications numériques sur tableur EXCEL et les résultats obtenus sur quelques configurations, notamment pour 3 vitesses et des conditions de centrage extrêmes. Les résultats permettent d’évaluer la sensibilité au centrage et au profil de ces trois coefficients. Les caractéristiques aérodynamiques des profils sont implicites dans dM/di : ce qui explique sans doute pourquoi ce coefficient est le plus efficace pour évaluer l’influence du choix des profils, du centrage et autres données sur la stabilité.

SOMMAIRE 1 - OBJET ................................................................................................................................................................................................ 2 2 - LIMITES DE L’ETUDE ................................................................................................................................................................... 2 3 - RELATIONS DE BASE .................................................................................................................................................................... 3 3.1- FORCES ET COUPLES AGISSANT SUR L’AERONEF ............................................................................................................................ 4 3.1.1 - Force d’inertie ..................................................................................................................................................................... 4 3.1.2 - Forces Aérodynamiques exercées sur chaque aile ............................................................................................................... 4 3.1.3 - Force motrice ....................................................................................................................................................................... 4 3.1.4 - Moment des Forces .............................................................................................................................................................. 5 3.2 - EQUILIBRE DU VOL ........................................................................................................................................................................ 5 3.3 - STABILITE DU VOL ........................................................................................................................................................................ 5 4 - EQUATIONS A RESOUDRE ET COEFFICIENTS DE STABILITE ........................................................................................ 6 4.1 - EQUATIONS A RESOUDRE POUR OBTENIR L’EQUILIBRE ................................................................................................................. 6 4.2 - GRANDEURS DE STABILITE A CALCULER ET CRITERES A EVALUER ............................................................................................... 6 4.2.1 - Grandeur de stabilité par dérivée du moment de tangage dM/d ....................................................................................... 6 4.2.2 - Grandeur de stabilité par rapport des Cz : kch.................................................................................................................... 7 4.2.3 - Grandeur de stabilité par rapport des volumes de stab :  ................................................................................................. 7 5 - METHODE DE RESOLUTION ...................................................................................................................................................... 8 5.1 - METHODE ..................................................................................................................................................................................... 8 5.2 - FEUILLES DE DONNEES ENTREES SORTIES EXCEL ....................................................................................................................... 9 5.3 - FEUILLE « CALCULS »................................................................................................................................................................. 10 5.4 - FEUILLE « AILE K » ..................................................................................................................................................................... 11 6 - RESULTATS DES CALCULS ....................................................................................................................................................... 12 6.1 - CONFIGURATION POU DU CIEL.................................................................................................................................................... 12 6.1.1 - TWIN avec deux NACA 23012 .......................................................................................................................................... 12 6.1.2 - TWIN avec deux NACA 23112 ......................................................................................................................................... 13 6.1.3 - TWIN avec deux CLARK Y ................................................................................................................................................ 14 6.2 - CONFIGURATION AVION ........................................................................................................................................................... 15 7 - SYNTHESE ..................................................................................................................................................................................... 16 7.1 - QUEL COEFFICIENT CHOISIR ?...................................................................................................................................................... 16 7.2 - COMPARER LES STABILITES D’UNE CONFIGURATION A L’AUTRE ................................................................................................. 16 8 - CONCLUSION ................................................................................................................................................................................ 17

1 - OBJET Les aéronefs plus lourds que l’air volent en transmettant à l’air les forces dues principalement à la pesanteur. Cette transmission peut se faire avec une aile tournante d’hélicoptère, une aile fixe comme celle du concorde, ou plusieurs : ailes en tandem, biplans, multi-surfaces etc. Le cas des ailes en tandem comprend au moins trois catégories :  les avions de type grand monoplan à l’avant et petit stabilisateur arrière : la plus répandue  les canards qui ont l’aile la plus grande à l’arrière,  les pou-du-ciel. La connaissance des propriétés de stabilité de ces aéronefs vient la plupart du temps de l’expérience associée à des calculs de critères simplifiés. Réaliser des comparaisons de stabilité amène alors à ajouter aux incertitudes des essais, des hypothèses incertaines sur le calcul de ces critères. De manière à réduire ces incertitudes dans l’évaluation des performances de stabilité des appareils de chacune de ces catégories, voire d’une catégorie à l’autre, une méthode numérique et systématique a été développée. Cette approche par le calcul traite explicitement de l’impact d’une perturbation de l’incidence sur le couple de rappel vers l’équilibre. Cet impact est un calcul de la dérivée du couple par rapport à l’incidence au voisinage du point d’équilibre. L’objet de la note est de présenter :  les définitions des grandeurs et les relations physiques qui les relient,  les lois de l’équilibre et de la stabilité,  l’approche numérique : algorythmes et développements des calculs  les résultats de calculs de stabilité obtenus sur des configurations d’ailes en tandem.  une étude comparative des résultats et des différents coefficients de stabilité habituels

2 - LIMITES DE L’ETUDE Axe de tangage Sur l’axe de lacet les conditions d’équilibre et de stabilité sont conditionnées par les surfaces des dérives et aussi par celles du fuselage. L’étude présentée ici est limitée à la stabilité en tangage c’est à dire aux conditions nécessaires au rappel en piqué si la perturbation est à cabrer. Dans ce domaine, le fuselage joue un rôle négligeable par rapport aux surfaces horizontales des ailes ou des stabilisateurs : c’est pourquoi le fuselage est négligé dans cette étude.

Configuration Pou du Ciel Les calculs sont réalisés sur la configuration pou du ciel dessiné et construit avec deux de mes amis : TWIN AIR. Les ailes sont dérivées du modèle AIRPLUME n°10 de E.CROSES, tandis que la cellule est un biplace côte à côte entièrement originale et large de 1.15 m au maître couple. Cette géométrie est la même pour les différents cas étudié de manière à pouvoir comparer l’influence de la nature des profils sur la stabilité toute choses égales par ailleurs, pour trois vitesses, un centrage avant et un centrage arrière.

Configuration AVION Les calculs sont réalisés sur la configuration d’un avion de construction amateur aussi : le MENESTREL biplace HN700 II. Remarque : C’est une pratique courante que de comparer ce qui n’est pas « égal par ailleurs », par exemple la stabilité de deux voitures de marque différente alors que les capacités de chargement et les domaines d’évolution sont différents. Le résultat de ces comparaisons est à prendre avec précautions. En aéronautique c’est encore plus vrai, du fait du déplacement sur les trois axes, des capacités de maniabilité différentes ou encore plus simplement de la plage de vitesse. Cependant, de manière à pouvoir comparer les valeurs des coefficients de stabilité la masse de la configuration étudiée est la même que pour le pou du ciel et le domaine de vitesse sera voisin.

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3 - RELATIONS DE BASE Trièdre et Notations Un trièdre aérodynamique (G, x, y,z) est défini à partir de G, centre de gravité de l’aéronef, pour situer dans l’espace les objets réels et les grandeurs physiques destinées à modéliser les phénomènes :  Axe de roulis Gx : tangent à et dans le sens de la vitesse relative de l’aéronef, Gx est tangent en G à la trajectoire suivi par l’aéronef  Axe de lacet Gz : ┴ à Gx et orienté vers les pieds du pilote  Axe de tangage Gy : ┴ à Gx et orienté vers la droite du pilote Les notations et unités des grandeurs sont indiquées dans le tableau 1.

Tableau 1 - Notation et unités des grandeurs NOM des Grandeurs masse avion masse volumique Accélération de la pesanteur Vent relatif Traction motrice Ordonnée centre de traction profil aile k Corde aile k Surface aile k Ordonnée bord attaque aile k Abscisse bord attaque aile k Incidence Aile k Centre de poussée aile k Abscisse centre de poussée aile k Ordonnée centre de poussée aile k Coefficient de portance aile k Coefficient de traînée aile k

Symbole m  g W Tr Zr profil k Ck Sk zk xk ik Cpk Xk Zk Czk Cxk

Unité kg kg/m3 m/s2 m/s N m Sans m m2 m m ° Sans m m Sans Sans

La figure 1 présente la géométrie de l’aéronef retenue ainsi que les efforts et autres couples. R1

Cp1

z1 Z1

i1

W

R2 i2 Tr

Cp2

z2 Z2

Cr

Zr

+ AXE DE VOL

M

G x1

X1

x2

X2

Fz Cp1

Cp2

Cr

G Liaisons indéformables après centrage

FIGURE 1 – Vue de profil des ailes en tandem Cette géométrie ressemble à celle d’un pou du ciel mais est applicable à celle d’un avion.

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La plupart des caractéristiques géométriques sont de conception. D’autres sont variables comme les incidences liées à la vitesse, le centrage qui est la position relative de G par rapport aux ailes dans l’axe de vol. Ce centrage est défini dans la suite par : X = x1 / CT avec CT = x1 - x2 +C2 cos( i2 /180 ) Nota : sur les avions, on limite en général CT à la corde de l’aile avant C1. En pratique, le constructeur calcul une incidence de vol, puis place les masses pour obtenir la bonne position de G en supposant en première approximation i1 et i2 petits d’où CT ≡ x1 - x2 . Ce qui permet de fixer les réservoirs, le moteur et autres masses en première approximation. Puis viennent les essais…l’étude suppose ici le même raisonnement : dans l’ordre seront calculées les incidences i1 et i2, puis la position réelle en vol de G.

3.1- Forces et couples agissant sur l’aéronef L’aéronef est animé d’un mouvement :  Selon les axes du trièdre, dû à la résultante des forces supposées appliquées en son centre de gravité G  Autour des axes du trièdre, dû au moment de ces forces par rapport à G Etudier l’équilibre de l’aéronef revient donc à étudier ces forces et le moment de ces forces 3.1.1 - Force d’inertie F est fonction de la masse totale m [kg] de l’aéronef et de l’accélération de la pesanteur g . Hypothèse H3.1.1 : Dans la suite, l’axe Gx est supposé horizontal et Gz supposé vertical. Cette force se réduit alors à  Fx  0  F  Fy  0  Fz  mg 

(3.1.1)

3.1.2 - Forces Aérodynamiques exercées sur chaque aile Ces forces Rk sont fonction de la masse volumique  [kg/m3] de l’air, de la vitesse W [m/s] , des surfaces d’ailes (indicées k = 1 ; 2) Sk [m2] et des coefficients de traînée Cx et de portance Cz de leur profil :

1  2 Rx k   2 Cxk W S k  RRy k  0  1 Rz k   Cz k W 2 S k 2 

(3.1.2)

Ces forces s’appliquent aux centres de poussée Cpk. Remarque : par convention, si Cz est positif Rz est négatif, de même si Cx est positif Rx est négatif. 3.1.3 - Force motrice Elle est fournie par le moteur est s’applique en Cr :

Tx  Tr  T Ty  0 Tz  0 

(3.1.3)

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3.1.4 - Moment des Forces

M est le couple des forces ci-dessus appliquées aux bras de levier correspondant par rapport à G. Sachant que les coordonnées des centres de poussée et centre de traction sont comptées algébriquement :

Mx  0  1  M My  W 2 S k Z k Cxk  X k Cz k   Tr Z r 2   Mz  0

(3.1.4)

3.2 - Equilibre du vol La relation fondamentale de la dynamique donne :

F  R  T  m

M  I où

 est l’accélération tangentielle, dérivée de la vitesse



l’accélération angulaire autour de Gy et I le moment d’inertie

Au point d’équilibre du vol dit « Eq » l’aéronef a une vitesse constante : les accélérations sont nulles et il suit une trajectoire rectiligne uniforme et sachant H3.1.1, horizontale :

F  R T  0

(3.2a)

M 0

(3.2b)

3.3 - Stabilité du vol La stabilité signifie que l’aéronef s’oppose de lui-même aux perturbations. Lorsque chaque aile voit son incidence augmenter de d, l’aéronef risque de se cabrer : pour être stable sur l’axe de tangage, le moment des forces M doit donc augmenter d’une quantité à piquer soit dM > 0. Inversement, dM doit être