Résumé de cours : Tests statistiques

Biostatistiques UE4 Paris 11

Résumé de cours : Tests statistiques 1. Généralités

On utilise les tests pour comparer une observation avec une référence théorique ou pour comparer deux observations entre elles. Les tests sont basés sur un raisonnement par l’absurde : on suppose qu’une hypothèse (H0, l’hypothèse nulle) est vraie, et après quelques calculs on trouve soit que le résultat est incompatible avec H0, auquel cas on rejette H0, soit que le résultat est compatible avec H0 et on ne rejette pas H0. La décision d’accepter ou de rejeter H0 comporte des risques d’erreur. Le risque de première espèce, noté , est la probabilité de rejeter H0 sachant que H0 est vraie. Il est généralement fixé à 5%. On l’appelle également seuil de signification. Le risque , ou risque de deuxième espèce, est le risque de ne pas rejeter H0 sachant qu’elle est fausse. On l’utilise plus rarement comme seuil, car ce risque n’est généralement pas calculable. La puissance d’un test est 1 − , c’est la capacité à rejeter une hypothèse H0 fausse ( ( 0)). Le degré de signification, noté , est la probabilité sous H0 que le hasard seul produise un écart en valeur absolue égal ou plus grand à celui observé. Si < , alors on rejette H0. Si > , on ne rejette pas H0. Pour choisir le bon test, il faut regarder la nature des variables à comparer (qualitative, quantitative), les grandeurs étudiées (moyennes, effectifs, proportions, etc.), la nature de la comparaison (référence vs. observé ou observé vs. observé), l’appariement éventuel des données et les conditions d’application (taille échantillon, effectifs, normalité, égalité des variances). On choisira un test bilatéral ou unilatéral en fonction du contexte (mais sans tenir compte de l’observation).

2. Test sur les proportions (variables qualitatives à 2 modalités) a. Comparaison d’une proportion observée à une valeur de référence H0 : , la proportion dans la population dont est issu l’échantillon, est égale à Conditions : ≥ 30, ≥ 5 et (1 − )≥5 Statistique de test : − ~ (0,1) (1 − ) avec

la proportion de référence et

, valeur de référence.

la proportion observée dans l’échantillon

b. Comparaisons de deux proportions observées H0 : = , avec (resp. ) la proportion dans la population dont est issu l’échantillon A (resp. B). Conditions : ≥ 30, ≥ 30, ≥ 5, (1 − ) ≥ 5, ≥ 5 et (1 − )≥5 On définit l’estimation de la proportion dans les populations A et B sous H0 : + = + Statistique de test : − ~ (0,1) 1 1 (1 − ) +

avec

et

les proportions observées dans les échantillons A et B et échantillons.

et

les effectifs des

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3. Test du Chi-deux (variables qualitatives à 2 modalités ou plus) Les tests du Chi-deux se font uniquement sur des effectifs. La conclusion d’un test du Chi-deux est toujours bilatérale bien qu’on lise une probabilité unilatérale dans la table. a. Comparaison d’une distribution observée à une distribution de référence H0 : la distribution de la variable étudiée est identique à la distribution de référence. Conditions : é ≥5 Statistique de test : ( − é )² ~ ² é

avec

é

les effectifs théoriques et

les effectifs observés

Le degré de liberté (ddl) =nombre de classes - nombre de paramètres indépendants, issus des données et utilisés pour calculer les effectifs théoriques sous H0. − 1 si on n’a utilisé que l’effectif n pour calculer la distribution théorique. − 2 si on a utilisé l’effectif n et un paramètre issu des données pour calculer la distribution théorique (ex : pour ajustement à une loi binomiale ou ou ² pour ajustement à une loi normale). − 3 si on a utilisé l’effectif n et deux paramètres ( et ²) issus des données pour calculer la distribution théorique (ex : ajustement à une loi normale). b. Comparaison de plusieurs distributions observées (ou test d’indépendance entre deux variables) H0 : la distribution est identique dans les différentes populations (dont sont issus les différents échantillons) ou les deux variables sont indépendantes Conditions : é ≥5 Statistique de test : ( − é )² ~ ²( )( ) é

4. Test sur les moyennes (variables quantitatives) a. Test de comparaison d’une moyenne observée à une valeur de référence H0 : L’échantillon provient d’une population où

=

est connu Conditions : ~ c.-à-d. ~ ou ≥ 30 =

−

~ (0,1)

est inconnu si Conditions :

=

−

~

~

si ≁ Conditions : =

−

⟶

≥ 30 (0,1)

≁

et

< 30

Test non paramétrique : S+ : nombre de valeurs > μH0 ~ ( ; = 0,5) Les valeurs = sont éliminées et est réduit d’autant.

Avec

la moyenne de référence, la moyenne observée dans l’échantillon, la variance dans la population, l’estimation de la variance et la taille de l’échantillon.

NB : Les tests non paramétriques ne posent pas d’hypothèse sur la normalité de la distribution de , ils sont donc plus largement utilisables que les tests paramétriques. En revanche, ils sont généralement moins puissants. En pratique, on ne les utilisera donc que lorsqu’aucun test paramétrique n’est possible.

ou

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b. Comparaison de deux moyennes observées sur deux échantillons indépendants =

H0 :

, avec

(resp.

) la moyenne dans la population dont est issu l’échantillon A (resp. B).

~

et ~ et à vérifier avec un test F :

= =

(

−

=

1

+

1

ê

avec

(

+

(resp.

≁ et ≥ 30 et ou

≠

ou ≥ 30

~

+(

− 1)

≁

> 1)

Estimation de la variance intrapopulation commune : =

Si

=

−

⟶

(0,1)

+

Si

≁

≁ et < 30 ou ou

ou

≠

< 30

Test non paramétrique de Mann-Whitney : R est la somme des rangs ( + 1) = − 2 ( + 1) = − 2 = ( ; ) On rejette H0 pour ≤ Si > 20, cf formule de la table.

− 1) −2

) la moyenne dans l’échantillon A (resp. B), (resp. ) la variance estimée de X dans l’échantillon A (resp. B), et et les effectifs des échantillons A et B.

c. Cas des données appariées On définit une nouvelle variable D (pour différence) : de D ( ̅ ) à la valeur de référence 0 (cf partie 4.a.). H0 : =0

=

−

. On comparera la moyenne observée