rörelsemängdsmoment och spinn. Pauliprincipen och periodiska

Föreläsning 12

Atomer: rörelsemängdsmoment och spinn. Pauliprincipen och periodiska systemet.

Från kvantmekaniken, lösning till Schrödingerekvationen i 3 dimensioner, har vi att elektronerna har rörelsemängdsmoment

L  (  1) 

Klassiskt ger en elektron i moturs bana kring en centralpunkt upphov till en ström I = qe/T där qe är elementarladdningen och T omloppstiden. Strömslingan, som omsluter en area A =πr 2 resulterar i ett magnetiskt moment

  IA 

q qe qe q q  r2   r 2  e r  e me r   e L T 2 r / 2 2me 2me

Elektronladdningen är negativ  strömmen riktad medurs samt att  är motriktad L

qe  L   L 2me 

Potentiella energin för en magnetisk dipol: U = -B

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Men: i lösningar till Schrödingerekvationen erhölls, förutom att det totala rörelsemängdsmomentet var kvantiserat, att en kvantisering av rörelsemängdens komponent längs en axel var kvantiserad. När man lägger på ett magnetfält skapar man en definierad axel, (standard är att definiera denna som z-axeln). Kvantiteter man då kan studera är baserade på B eller  x B där i båda fallen kvantiseringen längs z-axeln (kvantal mℓ) är avgörande.

z  

q qe Lz   e m    B m 2me 2me

där B är Bohr-magnetonen

B 

qe   9,274 10  24 J/T 2me

Potentiella energin för en magnetisk dipol:

  qB q U     B    z B  e Lz  e Bm   B m B 2me 2me Notera att mℓ både kan ha positiva och negativa värden. Tillstånd med mℓ > 0 i magnetfält B har högre energi än då z-komponenten av L är motriktad B. Denna typ splittring av degenerererade energinivåer i magnetfält som kan observeras i fotonenergier i övergångar kallas Zeemaneffekten.

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Innan vi går vidare och mäter om effekten finns där: Eftersom L vars storlek är L 

(  1)  aldrig är upplinjerad med z-axeln kommer  x B att vara ≠ 0.

Klassiskt är vridmomentet på en dipol  =  x B motsvarande  = = dL/dt Ur figuren fås: |dL|=Lsinθ  dφ Men vi också att |dL|=| |dt där



 

q BL sin  2me

L kommer att precessera kring z-axeln med Larmor-frekvensen:

L 

 dL

1 d q   e B dt L sin  dt 2me

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Är det magnetiska dipolmomentet för väte i grundtillståndet: 1) > 0 ? 2) = 0 ? 3) < 0 ?

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Stern-Gerlachs experiment

En atomstråle passerar ett inhomogent magnetfält. Fältet är symmetriskt i y-led och homogent i x-led  kraft beroende på dipolmoment i z-led. Klassikt: ingen kvantisering, alla värden tillåtna.

För väte (i grundtillståndet) observerades två band, men i grundstillståndet är ℓ =0, dvs L = 0.

Observerat

 Elektronen har ett inre magnetiskt moment och därmed ett slags inre rörelsemängdsmoment:

spinn SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Spinn skall inte ses som att en ”utbredd” elektron roterar och därmed får ett rörelsemängdsmoment utan är en relativistisk kvantmekanisk effekt. Vi (i partikelfysikens standardmodell) betraktar idag elektronen som en punktpartikel.

Parantes: (Jämför: Elektronen är den enda stabila punktpartikel vi idag kan använda för att studera andra partiklar. I dagens läge har man i laboratorier accelererat elektroner till ca 100 GeV/c rörelsemängd. Detta motsvarar en deBroglievåglängd   h / p av ca 10-17 m. Mycket bättre än så kan vi inte uttala oss om utbredning av en partikel. Elektriska dipolmomentet är (0,70,7)10-26 qe cm. Protonen, som vi idag betraktar i det närmaste som en ”kulpåse” av kvarkar och gluoner (vilka är punktpartiklar) har en radie av 10-15 m)

Spinn kan ses analogt med rörelsemängdsmomentet för ”banrörelse” av elektroner.

S  s ( s  1) 

s är ett kvanttal som beror av partikelslag. Varje partikel har ett bestämt s och kan inte anta olika värden. Detta gäller för alla slags partiklar, inte bara elektroner. För elektroner är s =1/2, medan för t.ex. W- (förmedlar svag växelverkan) och fotonen är s =1. Notera att för elektronen och andra spinn-1/2 partiklar gäller:

S

1 1 3 (  1)    2 2 2

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

På samma sätt som för banrörelsemängdsmomentet är z-komponenten kvantiserad:

S z  ms 

där ms = -s, -s +1, ... s -1, s För e-: ms = -1/2 eller ms=+1/2

Magnetiska momentet:

qe  s   ge S 2me 

Där gyromagetiska faktorn för elektronen, ge ≈ 2,00232 ≈ 2 Faktorn ges av relativistisk kvantmekanik (=2) med kvantfältteoretiska korrektioner  faktorn något större än 2.

Totala vågfunktionen för vätes elektron kan nu skrivas:

 n , , m , m

Tillåtna värden: n = 1, 2, ..... ℓ = 0, 1, .... n -1 mℓ = -ℓ, -ℓ +1, .. 0,..., ℓ -1, ℓ ms = -1/2, 1/2



s

där n = huvudkvantalet ℓ = rörelsemängsmomentskvanttalet mℓ = komponenten löngs z-axelm ms = spinnets komponent längs z-axeln

Vi talar oftast om om spinnet som: ms = +1/2 spinn upp () ms= -1/2 spinn ner ()

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Betrakta ett system av två kvantpartiklar, (t.ex. elektroner i en Heliumatom) med gemensam vågfunktion

 

 (r1 , r2 ) Om partiklarna är av samma typ och rumsmässigt har visst överlapp går de inte att särskilja. Sannolikhetstätheten måste då vara lika vid utbyte av de två partiklarna: |  (r , r ) |2 |  ( r , r ) |2 1

2

2

1

Låt partiklarna vara i två tillstånd, a och b, vardera med en kombination av kvantal n, ℓ, mℓ, ms.



 a (r1 )

innebär då partikel 1 i tillstånd a.

Variabelseparation ger lösning av typen ψab= ψaψb men denna ger i sig inte symmetri vid partikelbyte. Eftersom Schrödingerekvationen är en linjär diff-ekvation, är dock också lösningar av typen:             1 a (r1 )b (r2 )  a (r2 )b (r1 ) och A ab (r1, r2 )  1  a (r1 )b (r2 )  a (r2 )b (r1 ) S ab (r1 , r2 )  2 2 (antisymmetrisk) (symmetrisk) lösningar till S.E. För båda dessa lösningar gäller att sannolikhetstätheten bevaras vid utbyte av de två partiklarna.

    |  ab (r1 , r2 ) |2 |  ab (r2 , r1 ) |2

Om vi bara betraktar spinn-delen kan vi konstruera symmetriska och antisymmetriska tillstånd enligt: Symmetriskt   +  

Antisymmetriskt Triplett-tillstånd

 - 

Singlett-tillstånd

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Pauliprincipen: Det har visat sig i naturen att partiklar med halv- (1/2, 3/2,...) och heltaligt (0,1,2,...) spinn uppträder på oilka sätt. • Bosoner Ett system med ej särskiljbara partiklar med heltaligt spinn har en symmetrisk vågfunktion m.a.p utbyte av partiklarna.

 

 

 ab (r1 , r2 )   ab (r2 , r1 ) • Fermioner Ej särskiljbara partiklar med halvtaligt spinn har en asymmetrisk vågfunktion m.a.p. partikelbyte.

 

 

 ab (r1 , r2 )   ab (r2 , r1 ) Exempel:

bosoner

fermioner

spinn ½ ½ 3/2       1   ( r , r )   ( r )  ( r )   ( r )  ( r Vågfunktionen för två fermioner i exakt samma tillstånd: A aa 1 2 a 1 a 2 a 2 a 1 )  0 2 partikel -partikel Foton Pion, π0

spinn 0 1 0

partikel elektron proton Omega

Pauliprincipen (the exclusion principle)

Två ej särskiljbara fermioner kan inte vara i samma individuella kvanttillstånd SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Hur många elektroner kan finnas i en atom i ett n=2 tillstånd? 1) 3 2) 6 3) 8

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Genom att utnyttja att elektroner är fermioner och måste uppfylla Pauliprincipen kan man förklara det periodiska systemet: huvudkvantal n = 1, 2 Nomenklatur: exempel: 1s22s22p5

tillstånd med olika ℓ anges med bokstav: s=0, p=1, d=2, f=3 ...

Antal e- för viss n,ℓ-kombination

Varje kombination av n, ℓ och mℓ kan enligt Pauliprincipen ha 2 elektroner om dessa har olika ms ( respektive ). s-skal (ℓ =0) hara bara mℓ=0 och därför max 2 ep-skal (ℓ =1) hara mℓ=-1,0,1 och därför max 6 eför visst ℓ finns 2ℓ+1 olika mℓ-värden, vilket tillåter 2(2ℓ +1) elektroner i n,ℓ-kombinationen

(När elektroner ”fylls på” i p-skal för högre atomtal, är det oftast (beroende på e- i andra n,ℓ –skal) energimässigt fördelaktigt att fylla på i olika mℓ-värden med lika riktade spinn (assymetrisk rumsdel, symmetrisk spinndel) därför att elektronerna, som har samma laddning hamnar längre ifrån varandra. (Hunds regel). )

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Relativa energinivåer för olika skal som funktion av atomnummer.

Med fler än en elektron i atomen, kommer elektronerna att skärma kärnladdningen för varandra. Systemet kan inte lösas analytiskt utan beräknas med hjälp av dator i approximationer. Notera dock: kärnladdningen ökar med atomnummer. 1s skalet är närmast kärnan och har minst skärmning. Bindningsenergin för en jon med bara en elektron är proportionell mot Z 2. (Z2-beroendet fås genom att i alla härledningar för väte ersätta qe2 me Zqe2) (Mosley visade att spektrallinjer för övergångar mellan n=2 och n=1 skalen ändras proportionellt mot (Z-1)2)

Jonisationsenergin för först frigjorda elektronen som funktion av Z. Ädelgaser är svårast att jonisera. Notera: helium, 24,6 eV för första frigjorda elektronen. Kvar finns en ebunden till kärna med Z=2. Bindningsenergin för denna enda elektron i He+ är då 2213,6 eV = 54,2 eV SH1009, modern fysik, VT2013, KTH