Samenvatting Kansberekening en statistiek: Direct en

lOMoARcPSD

Soorten kansverdeling Discrete verdeling Bernoulli verdeling: Wordt gebruikt om een experiment te schetsen met slechts twee mogelijke uitkomsten, vaak beschreven als ‘succes’ of ‘mislukking’. Vb.: Je moet kiezen uit 2 dozen, in 1 van de dozen zit een prijs en de andere doos is leeg. De kans dat de prijs in doos 1 zit is p en de kans dat de prijs in doos 2 zit is 1-p waarbij 00 gegeven door: . Vb.: De tijd die zal verstrijken tot de eerstvolgende telefoon oproep, wanneer er gemiddeld λ oproepen per tijdseenheid zijn.

Gamma verdeling: Deze verdeling wordt vaak gebruikt wanneer er meerdere, onderling onafhankelijke experimenten met een exponentiële verdeling in het spel zijn. De gamma verdeling heeft twee parameters. Als X een gamma (1,θ)-verdeling heeft, dan heeft X een exponentiële verdeling met parameter λ=1/θ.

Hierbij geeft het linker plaatje de kansdichtheid en het rechter plaatje de verdelingsfunctie. Vb.: Stel dat de wachttijd in minuten op de bus bij een halte een exponentiële verdeling met parameter λ=10 heeft, dan is de wachttijd op de vijfde bus verdeeld volgens de gamma (5,1/10)verdeling. Normale verdeling: Een normale verdeling heeft een verwachtingswaarde van µ en een standaardafwijking σ. Het gaat dan om verschijnselen waarvan de verdeling symmetrisch geconcentreerd is rond een centrale waarde en afwijkingen van deze centrale waarde steeds onwaarschijnlijker worden naarmate de afwijking groter is. Soms is het verschijnsel de optelsom van een groot aantal effecten die elkaar niet beïnvloeden. De N(0,1)-verdeling wordt ook wel een standaardnormale verdeling genoemd.

lOMoARcPSD

Vb.: Met behulp van de normale verdeling kan men een schatting maken van de gemiddelde lengte van Nederlandse mannen en de standaardafwijking van de verdeling door een steekproef van honderden mannen te nemen en daarvan de lengte te meten. Pareto verdeling: Deze verdeling werd oorspronkelijk gebruikt als model voor de verdeling van rijkdom. Het paretoprincipe zegt dat 20% van de bevolking 80% van de rijkdom bezit. De pareto-verdeling is geschikt om zo’n situatie te beschrijven. Andere situaties kunnen ook met de pareto-verdeling worden beschreven. Zoals de frequentie van woorden in een tekst (slechts een klein aantal woorden vormt het grootste deel van de tekst). Uniforme verdeling: Een verdeling op een interval met een constante kansdichtheid. Dit houdt in dat er geen voorkeur is voor enige waarde uit dat interval. Voor de uniforme verdeling op het interval (a,b) wordt de kansdichtheid f dus gegeven door:

Het linker plaatje geeft de kansdichtheid weer en het rechterplaatje de verdelingsfunctie. Vb.: De gemiddelde hoeveelheid bier die er op een drukke avond doorheen gaat in een populaire kroeg is uniform verdeeld met een minimum van 200 liter (= a) en een maximum van 500 liter (= b) . De kans dat er op een avond tussen de 250 (= x1) en 300 (= x2) liter bier doorheen gaat wordt als volgt berekend: