Sammanfattning av Statik

Sammanfattning av STATIK Peter Schmidt IEI-Mekanik, LiTH Linköpings universitet Kraft: En krafts verkan på en kropp bestäms av kraftens storlek, riktning och angreppspunkt P. Kraftens riktning och angreppspunkt definierar en verkningslinje. POSTULAT: En kraft är en vektorstorhet tillordnad en angreppspunkt. verkningslinje F

P angreppspunkt

En kraftvektor F som angriper i P kan skrivas F=Fx ex+Fy ey+Fz ez där F  Fx2  Fy2  Fz2 är kraftens storlek (belopp). Fz

F

ez ex P

Fy

ey

Fx F1 Om två eller flera krafter angriper i samma punkt P, är deras summa resultanten angripande i P. (Parallellogramlagen) F2 R=F1+F2+…. P En kraftvektors projektion på en riktning med enhetsvektorn e fås ur skalärprodukten F  F  e   F  1  cos   F cos 

F

 e 



R

Moment: Studera ett kraftpar. Krafterna tar ut varandra, men kraftparet har ändå en fysikalisk verkan; det försöker vrida kroppen. F -F

h

Denna vridande verkan beskrivs av kraftparets moment, vars storlek är M: MF h

Storleken av momentet av en kraft F med avseende på punkten O är M O  F d

F d O

Detta kan formaliseras till följande definition. Låt F=Fx ex+Fy ey+Fz ez vara en kraft angripande i punkten P, där P ges av lägesvektorn r = rx ex+ry ey+rz ez . 

Momentet av en kraft F med avseende på punkten O definieras som vektorn MO  r  F F z

 r

ez

d

O x

P y

ey ex

Enligt definitionen av kryssprodukt så ser vi att MO är en vektor som är vinkelrät mot planet som r och F spänner upp. Beloppet (storleken) av vektorn MO ges av: M O  r  F  r  F  sin   F d  , där d  kallas för hävarmen.



Momentet av en kraft F med avseende på en axel definieras som skalärprodukten MO M λ  M O  e där M O  r  F enligt tidigare.

e





O Således, momentet med avseende på en axel är momentvektorns projektion på axeln.



Momentet av ett kraftpar:

F r r

1

-F r

2

O Kraftparets moment med avseende på punkten O är: M O  r1  F  r2  (  F)  (r1  r2 )  F  r  F Kraftparets moment är oberoende av O ! Slutsats: Kraftparsmomentet M  r  F är detsamma för alla punkter, dvs en fri vektor (M kan således förflyttas med bibehållen riktning och belopp till en godtyckligt punkt). Kraftparsmomentvektorer brukar betecknas M eller C (eng. couple) .

M

F -F



Reduktion av kraftsystem: Förflyttning av en kraft från punkten A till O kan göras genom att addera F och -F i punkten O. F F F

r O

O

A

A

-F

F Mo  rF

F och –F bildar ett kraftpar

O

A

Kraftsystemen ovan är ekvimomenta (ekvivalenta ur kraft och momentsynpunkt). Betrakta nu ett kraftsystem bestående av två krafter F1 och F2 och två kraftparsmoment C1 och C2 enligt figuren. Ovanstående kan nu tillämpas för att bilda ett reducerat kraftsystem. Detta system består av enbart en kraft R och ett kraftparsmoment M o . Kraftsystemet sägs vara reducerat med avseende på punkten O. M 2o

C1

F1

C1

F1

F2 r1 C2

C2 F2

O

O r2

M 1o

R

Mo

R  F1  F2

M o  M 1o  M 2o  C1  C 2 O

där M 1o  r1  F1 och M 2o  r2  F2

Betrakta en frilagd stel kropp där samtliga yttre krafter F1,...,Fn och samtliga yttre kraftparsmoment C1,…,Cm som verkar på kroppen är inkluderat. a) F1 C1

Fn r1 O

Cm

rn Reducera kraftsystemet med avseende på punkten O. b) Mo

R

n

R   Fk k 1

n

m

k 1

k 1

M o   rk  Fk   C k

O

POSTULAT: För en stel kropp gäller att kraftsystemen a) och b) ovan har samma verkan på kroppen, dvs de resulterar i samma rörelse. Ur postulatet ovan följer bl.a. att om en kraft verkar på en stel kropp kan kraften förflyttas längs kraftens verkningslinje utan att dess verkan på kroppen ändras. stel kropp

Statisk jämvikt Ett nollsystem definieras som ett kraftsystem där R=0 och M o =0. En stel kropp sägs befinna sig i statisk jämvikt om systemet av yttre krafter och kraftparsmoment bildar ett nollsystem, dvs om R0 Mo  0

Detta är ett nödvändigt villkor för att en kropp skall befinna sig i fortvarig vila. Reduceringspunkten O kan väljas godtyckligt och man brukar därför utelämna O och enbart skriva R=0 och M=0.

Two-force member: Följande följer ur jämviktsvillkoret ovan och kan i många fall förenkla jämviktsberäkningarna vid komplicerade strukturer. Om en stång med försumbar massa är i jämvikt och enbart belastas med krafter i ändarna, är dessa krafter riktade i stångens längdriktning. Detta kan generaliseras vidare till en kropp med godtycklig form. I detta fall måste krafterna gå längs en tänkt linje mellan de båda krafternas angreppspunkter. F

F

-F -F

 Vektorsymboler Vektorer betecknas vanligen med boldface F, M eller som F , M . Vektorernas skalära komponenter betecknas med F, M. Vid problemlösning används ofta av praktiska skäl följande symboler

F

M

M

eller

Detta betyder att vektorerna F och M är definierade enligt nedan

e

F Fe

e

M Me

där e är enhetsvektorn i pilens riktning och F och M är vektorernas komponenter (vilka räknas som positiva i pilens riktning).



Friläggning: För att erhålla det kraftsystem som verkar på en kropp så används en metod som kallas friläggning. Vid friläggning plockas kroppen bort från sin omgivning och omgivningens verkan på kroppen ersätts med krafter och kraftparsmoment.

Arbetsgång vid friläggning: 1) Bestäm vilken kropp som skall friläggas. 2) Ersätt omgivningens verkan på kroppen med krafter och kraftparsmoment. Rita ut applicerade krafter och kraftparsmoment i givna riktningar (hit räknas även tyngdkraften mg angripande i kroppens masscentrum G). Reaktionen vid stöd och leder etc. modelleras med krafter och kraftparsmoment enligt Figur 3/1 sid 111-112 och Figur 3/8 sid 147 i Meriam (Statics). Ovanstående kan även tillämpas för ett system av kroppar, se Meriam (Statics) sid 204-209. Nedan ges några exempel.

Sist i detta häfte finns några övningsuppgifter på just friläggning. Det rekommenderas starkt att noga arbeta igenom dessa, ty en korrekt friläggning utgör basen vid problemlösning.



Friktion:

Betrakta två sträva ytor som är i kontakt enligt figuren.

en

et

A

A

N F

kontaktställets tangentplan

kontaktställets normal

F är friktionskraften och N normalkraften, där F=Fet och N=Nen ( N > 0 vid kontakt). Friktionskraften F är riktad så att den motverkar glidning eller tendens till glidning längs kontaktställets tangentplan. Coulombs friktionslagar Villkor för att glidning ej skall inträda F  μs N

där μs är den statiska friktionskoefficienten. Vid gränsfallet då F  μs N sägs friktionen vara fullt utbildad (gränsfallet för begynnande glidning) Friktion vid glidning F  μk N

där μk är den kinetiska friktionskoefficienten. Under glidning verkar F rakt motsatt kontaktställets glidhastighet



Masscentrum:

Givet en stel kropp enligt nedan där volymselementet dV har massan dm=dV och är densiteten. Kroppens masscentrum rG = xG ex+yG ey+zG ez definieras som punkten

rG 

 r ρdV

dV

V

 ρdV

z

V

r

V

O x

y

POSTULAT: De postulat, definitioner och satser som uppställts för kraftsystem bestående av ett begränsat antal krafter gäller även för kontinuerliga kraftsystem (kraftfält). Betrakta en kropp med massan m   ρdV som befinner sig i tyngdkraftfältet. V

Tyngdkraften som verkar på varje volymselement dV är dVg, där g är tyngdaccelerationen. Man kan ofta med tillräcklig noggrannhet anta att tyngdaccelerationen g är en konstant vektor inom ett begränsat område. Kraftsystemen nedan är då ekvimomenta om vi låter totala tyngdkraften F=mg ha sin angreppspunkt i kroppens masscentrum G. Detta kan inses genom att beräkna totala kraften (där g är en konstant vektor) F   g ρdV  g  ρdV  m g V

V

och totala momentet med avseende på O M O   r  g ρdV   r ρdV  g V

V

Men enligt definitionen av masscentrum är  r ρdV  m rG vilket ger V

MO  m rG  g  rG  m g

V dV G

dV g r O

rG

g

mg O

Således kraftsystemen har samma totalkraft och samma totalmoment med avseende på O, dvs de är ekvimomenta. Att masscentrum har denna egenskap i ett konstant tyngdkraftfält motiverar benämningen tyngdpunkt (om vi reducerar det vänstra kraftsystemet till G fås ett kraftsystem bestående enbart av en kraft mg, dvs vi kan balansera kroppen via ett momentfritt stöd vid G).

g