Sammanfattning TNE043

Sammanfattning TNE043 Nathalie Ek 11 april 2011 Sammanfattning

1

Experimentiell probleml¨ osning

Uppgift: Att sj¨ alv plocka fram ett fysikaliskt samband. Viktiga moment: Ansats, m¨ atningar, dimensionsanalys.

2 2.1

Mekanik Inledning

Kinematik: R¨ orelse, ej krafter Dynamik: R¨ orelse, krafter Statik: Vila, krafter

2.2

Kinematik i en dimension

F¨ orflyttning fr˚ an en position till en annan: ∆x = x2 − x1 Medelhastigheten ges av: vavg =

∆x ∆t

(1)

Momentanhastighet: v=

dx dt

Momentanacceleration: aavg = Medelacceleration: a=

Farten ges av |v|

1

∆v ∆t

dv dt

(2)

(3)

(4)

P˚ a integralform ges f¨ orflyttningen mellan tv˚ a punkter av: Z t2 Z t2 dx ∆x = dt = vdt t1 dt t1 Den totala distansen ¨ ar Z

(5)

t2

|v|dt

(6)

t1

Utifr˚ an den totala distansen kan vi ber¨ akna medelfarten, vilket ¨ar ett annat s¨att att beskriva hur snabbt en partikel r¨ or sig. R t2 |v|dt savg = t1 (7) ∆t

2.3

Kinematik i tre dimensioner

F¨ orflyttning d˚ a det r¨ or sig om vektorer ∆~r = ~r(t2 ) − ~r(t1 ) och medelhastigheten ges av ~vavg =

∆~r ∆v, ∆y, ∆z = ∆t ∆t

ss ~v ¨ ar en tangent till bankurvan i varje punkt. Farten ges av beloppet |~v |. Momentanhastiheten ¨ ar: d~r ~v = dt

(8)

(9)

Det ¨ ar viktigt att skilja p˚ a hastighet (velocity) som ¨ar en vektor och fart (speed) som ¨ar en skal¨ar! Medelacceleration, momentanacceleration ber¨aknas enligt samma ekvationer som i en dimension, nu handlar det dock om vektorer. Derivatan av en vektor ber¨aknas genom kompenentvis derivering och integraler av en vektor ber¨ aknas genom komponentvis integration.

2.4

Transformation av hastighet och acceleration mellan olika referenssystem

Partiel P kan beskrivas utifr˚ an ett referenssystem A eller B, d¨ar B har konstant hastighet relativt A. Efter derivering av vektorsambandet med avseende p˚ a tiden tv˚ a g˚ anger, kan man dra slutsatsen att observat¨orer i olika referenssystem med konstant relativ hastighet, m¨ater samma acceleration hos partikeln.   dv d dx d2 x a= = = 2 (10) dt dt dt dt

3

Dynamik

Fundamentala krafter: Gravitaton - Elektromagnetisk - Stark, svag (atom, atomk¨arna) Makroskopiska krafter: Kontaktkrafter (friktion, normalkraft) - Tr˚ adkrafter - Elastiska krafter (fj¨aderkraft) - Visk¨ osa krafter (luftmotst˚ and) V¨ axelverkan mellan partiklar/kroppar.

2

3.1 3.1.1

Newtons lagar Newtons f¨ orsta lag: Tr¨ oghetslagen

Om summan av alla krafter (nettokraften) p˚ a en kropp ¨ar noll, s˚ a ¨ar dess acceleration noll. Det inneb¨ ar antingen r¨ orelse med konstant hastighet eller vila. 3.1.2

Newtons andra lag: F = ma

Nettokraften (summan av alla krafter) ¨ ar densamma som produkten mellan kroppens massa och acceleration. 1N = 1kg ∗ m/s2 3.1.3

Newtons tredje lag: Lagen om verkan och motverkan

N¨ ar tv˚ a kroppar v¨ axelverkar ¨ ar de krafter som kropparna p˚ averkar varandra med lika stora och motsatt riktade.

3.2

N˚ agra kraftbegrepp

• Inertialsystem Referenssystem d¨ ar tr¨ oghetslagen g¨ aller. Jorden ¨ar ett (approximativt) s˚ adant system. Axelererande bilar, karuseller m.m. ¨ ar exempel p˚ a system som inte ¨ar inertialsystem.

• Tr˚ adkraft L¨ att (massl¨ os) ot¨ anjbar tr˚ ad, f¨ ormedlar kraft.

• Friktionskraft fs - statisk friktionskraft (vila). Statisk friktionskoefficient: µs =

fs,max FN

(11)

fk - kinetisk friktionskraft (r¨ orelse). Kinetisk friktionskoefficient: µk =

fk FN

(12)

Friktionskoefficientens storlek beror av flera parametrar, t ex materialkombination, fukt och temperatur. Friktion uppst˚ ar p g a flera komplicerade mekanismer, t ex vidh¨aftning.

• Visk¨ os kraft, linj¨ ar modell Start fr˚ an vila inneb¨ ar V (0) = 0. Hastigheten V(t) kan best¨ammas. N¨ar t → ∞ f˚ ar man gr¨anshastigheten.

3.3

Tyngdlo ¨shet

Tyngdl¨ oshet inneb¨ ar inte a ¨vsaknad av gravitation”.

3

3.4

Att t¨ anka p˚ a vid probleml¨ osning inom dynamik

1. Rita tydlig figur, fril¨ agg (ers¨ att ¨ omgivningenmed krafter) partikeln. Anv¨and vid behov Newtons tredje lag. 2. Definiera referens(koordinat)system. V¨alj koordinataxel i r¨orelseriktningen. 3. St¨ all upp kraftekvation p˚ a komponentform. 4. L¨ os ekvationerna, eventuellt beh¨ over kraftekvationerna integreras map. p˚ a tiden. Ta h¨ansyn till villkor. 5. St¨ all upp ett slututtryck f¨ or den s¨okta storheten med bokstavsbet¨ackningar f¨ore ins¨attning av numeriska v¨ arden. 6. Kontrollera trov¨ ardigheten i svaret (dimension, storleksordning, tecken).

3.5

Tr¨ oghetskraft

Tr¨ oghetskrafter har inte sitt ursprung i v¨ axelverkan. De f¨oljer inte Newtons tredje lag. Tr¨ oghetskrafter ska inte anv¨ andas om man beskriver dynamiska f¨orlopp utg˚ aende fr˚ an inertialsystem. Tr¨ oghetskrafter ¨ ar anv¨ andbara vid beskrivning av t ex r¨orelse hos havs- och luftstr¨ommar, samt i andra fall d˚ a man m˚ aste ta h¨ ansyn till jordens rotation.

4 4.1

Kinetisk energi, potentiell energi och arbete Potentiell energi

Ett system har energi n¨ ar det kan utf¨ ora ett arbete. Ett f¨orem˚ al har potentiell energi i tyngkraftf¨altet. Om man lyfter f¨ orem˚ alet ett styckt h upp fr˚ an en vald nollniv˚ a, f˚ ar f¨orem˚ alet en potentiell energi lika med Ep = mgh. Det enda som betyder n˚ agot f¨or den potentiella energin ¨ar h¨ojdskillnaden mellan startoch slutpunkt. Det spelar allts˚ a ingen roll vilken v¨ag f¨orem˚ alet lyfts eller om man lufter med en konstant kraft. N¨ ar en konservativ kraft p˚ averkar ett f¨ orem˚ al, utr¨attas ett arbete W p˚ a f¨orem˚ alet. F¨or¨andringen, ∆U , i potentiell energi ¨ ar densamma som det utf¨orda arbetet, fast negativt: ∆U = −W 4.1.1

Potentiell energi, gravitation

Den potentiella energin beror endast p˚ a vertikala positionen y (eller h¨ojden) hos f¨orem˚ alet relativt mot y = 0, inte p˚ a dess horisontella position. ∆U = U − Ui = mg(y − yi ) 4.1.2

(13)

Elastisk potentiell energi ∆U =

1 1 kxf 2 − kxi 2 2 2

4

(14)

4.2

Kinetisk energi

Kinetisk energi = r¨ orelseenergi, det arbete som kr¨avs f¨or att s¨atta ett f¨orem˚ al i r¨orelse. Ju snabbare ett f¨ orem˚ al r¨ or sig, detso st¨ orre ¨ an den kinetiska energi. N¨ar ett objekt ¨ar station¨art (stillast˚ aende), ¨ar den kinetiska energin noll. 1 (15) K = mv 2 2

4.3

Arbete

N¨ ar en konstant kraft F verkar p˚ a ett f¨ orem˚ al som d¨arigenom f˚ ar en f¨orflyttning s (eller d), utf¨or kraften ett arbete W p˚ a f¨ orem˚ alet som ¨ ar lika med produkten av kraftkomposanten Fx i r¨orelsens riktning och f¨ orflyttnigen 1 1 W = Fx d = Kf − Ki = mv 2 − mv0 2 = F~ · d~ = F s ∗ cosθ (16) 2 2 d¨ ar θ ¨ ar vinkeln mellan f och s. Detta g¨ aller dock bara d˚ a kraften ¨ar konstant, allts˚ a ej f˚ a kraften varierar eller n¨ ar f¨ orem˚ alet har en kroklinjig r¨ orelse. 4.3.1

Arbete utf¨ ort av gravitationskraft Wg = mgd ∗ cosθ

(17)

Om f¨ orflyttningen ¨ ar vertikalt upp˚ at riktad, ¨ar θ = 180◦ och W = mgh. Om f¨orf¨orflyttningen ¨ar vertikalt riktad ned˚ ar blir arbetet W = −mgh. Arbete utf¨ ort d˚ a man lyfter och s¨ anker ett objekt: ∆K = Kf − Ki = Wa + Wg

(18)

En vanlig situation ¨ ar d˚ a objektet ¨ ar station¨art (stillast˚ aende) b˚ ade f¨ore och efter lyftet, tex d˚ a man flyttar en bok fr˚ an ett bord till en bokhylla. D˚ a ¨ar b˚ ade Kf och Ki noll och vi f˚ ar ekvationen Wa + Wg = 0 ⇔ Wa = −Wg 4.3.2

(19)

Arbete utf¨ ort av fj¨ aderkraft

(Exempel med en fj¨ ader som sitter fast i ett block) F~s = −k d~ (Hooke’s lag)

(20)

Fx = −kx (Hooke’s lag)

(21)

Konstanten k kallas f¨ or fj¨ aderkonstanted och beskriver fj¨aderns styvhet. Ju st¨orre k, desto styvare fj¨ader - stora k drar eller skjuter iv¨ ag h˚ ardare f¨or en given f¨orflyttning. Det utf¨orda arbetet av fj¨adern ges av 1 1 (22) Ws = kxi 2 − kxf 2 2 2 Antag att vi f¨ orflyttar blocked l¨ angs med x-axel undertiden som en kraft F hela tiden p˚ averkar. Under f¨ orflyttningen utf¨ or v˚ ar applicerade kraft ett arbete Wa p˚ a blocket medan fj¨aderkraften utf¨or ett arbete Ws . ∆K = Kf − Ki = Wa + Ws (23)

5

5

Mekaniskt arbete

Mekaniskt arbete = summan av kinetisk och potentiell energi. Mekaniskt arbete betecknas med W och ¨ ar en skal¨ ar storhet. Kraft parallell med f¨ orflyttning l¨ angs r¨ at linje: W = F ∗ s, SI-enhet 1 Nm = 1 J (Joule) Kraften ¨ ar konstant och f¨ orflyttningen av angreppspunkten sker l¨angs en r¨at linje: W = F~ · ~a Om kraft ⊥ f¨ orflyttning, s˚ a¨ ar W = 0. F~ = (Fx , Fy , Fz )

En allm¨ an definition av W ¨ ar (linjeintegral): Z

B

F~ · d~s =

W = A

5.1

Z

x1

Z

y1

Fx dx + x0

~ = (dx, dy, dz) ds

och Z

z1

Fy dy + y0

Fz dz

(24)

z0

Samband arbete-energi

F : Nettokraften (f¨ or¨ andringen i kinetisk energi) p˚ a en partikel (en dimension). Z

x2

Wnet =

Z

x2

F dx = x1

Z

t2

madx = x1

t1

dv dx m dt = dt dt

ty vi vet att kinetisk energi (Ek el. K) ¨ ar

5.2

Z

v2

mvdv = v1

mv2 2 − mv1 2 = K2 − K1 = ∆K (25) 2

mv 2 2 .

Fj¨ aderkraft

Fj¨ aderkraften ges av Hooks lag: Fs = −kx, d¨ar k ¨ar en fj¨aderkonstant och minustecknet inneb¨ ar ˚ aterf¨ orande kraft. Arbete fr˚ an x = x1 till x = x2 Z

x2

−kxdx =

Ws = x1

kx1 2 − kx2 2 k = (x1 2 − x2 2 ) 2 2

(26)

Om partikeln ¨ ar i vila vid start- och slutl¨age blir Wa = −Ws , ty ∆K = 0

5.3

Potentiell energi

F : konservativ kraft. F¨ or¨ andringen i potentiell energi U vid f¨orflyttning fr˚ an A till B definieras enligt: Z B ∆U = −∆WAB = − F~ · d~s (27) A

Vid integration i x-led kan ∆U ¨ aven beskrivas med  R XB   −WAB = − XA F dx ∆U =   U − U = R B du B A A I tre dimensioner ¨ ar F~ = −∇U (gradienten). Enligt definitionen av gradienten, sammanfaller kraftens riktning allts˚ a med den riktning i vilken U avtar snabbast.

6

5.4

Energisamband

Mekanisk energi Emec = K + U (kinetisk 0 potentiell energi). Allm¨ ant g¨aller ∆K = W och i specialfallet konservativ kraft dessutom ∆U = −W . Detta ger ∆(K + U ) = ∆Emec = 0. Emec bevaras om endast konservativa krafter utr¨attar arbete (isolerat system). S˚ a, om inga andra krafter ¨ an tyngden och eventuella normalkrafter verkar, f˚ ar vi satsen om fritt fall: 1 1 mv 2 + mgh = mv0 2 + mgh0 2 2

5.5

(28)

Bevarande av mekanisk energi

N¨ ar ett system inte p˚ averkas av dragkraft eller friktion, p˚ averkas systemet endast av konservativa krafter. F¨ or en konservativ kraft beror arbetet endast av var start- och slutpunkt finns, inte av v¨agen mellan dessa. Exempel ¨ ar tyngdkraft och fj¨aderkraft. Ett isolerat system ¨ ar ett system som inte p˚ averkas av n˚ agon yttre kraft utanf¨or systemet. N¨ ar en konservativ kraft utf¨ or ett arbete W p˚ a ett objekt i systemet, f¨orflyttas energi mellan kinetisk energi hos objektet och potentiell energi hos systemet: ∆K = W ∆E = ∆K + ∆U = 0

5.6 5.6.1

⇔

Kf − Ki = −(Uf − Ui )

⇔

Kf + Uf = Ki + Ui

Utf¨ ort arbete p˚ a ett system av en yttre kraft Ingen friktion involverad W = ∆Emec = ∆K + ∆U

5.6.2

(29)

(30)

Friktion involverad

Genom att bryta ut a ur

v − v0 2d kan vi anv¨ anda Newtons andra lag och ta h¨ansyn till friktionskraften. D˚ a kan vi skriva lagen som: v 2 = v02 + 2ad

Fnet = ma

⇔

F − fk = ma

⇔

⇔

a=

Fd =

mv 2 mv02 − + fk d = ∆K + fk d 2 2

(31)

(32)

fk d a arme som uppst˚ ar d˚ a friktion p˚ averkar ett system och betacknas ∆Eth . F d a¨r det arbete W ¨r den v¨ utf¨ ort av den externa kraften (den o verf¨ o rda energin av kraften). D¨armed kan vi nu s¨aga att det arbete ¨ som utf¨ ors p˚ a ett system som p˚ averkas av friktion kan skrivas som W = F d = ∆Emec + ∆Eth

5.7

(33)

Bevarande av energi

Den totala energin hos ett system kan endast f¨or¨andras genom energi som tillkommer eller l¨amnar systemet. W = ∆E = ∆Emec + ∆Eth + ∆Eint (34) D˚ a det r¨ or sig om ett isolerat system

7

6

Gravitation

Newtons gravitationslag g¨ aller exakt f¨ or partiklar och kroppar med sf¨ariskt symmetrisk massf¨ordelning. F =G

m1 m2 r2

(Newtons gravitationslag)

(35)

En kraft som verkar p˚ a en partikel med massa m p˚ a avst˚ andet R fr˚ an jordens masscentrum d¨ar M ¨ ar jordmassan, f˚ ar resultatet F = mg n¨ ara jordytan.

6.1

Potentiell energi

Sambandet mellan potentiell energi och arbete ¨ar ∆U = −W , (k¨ant sedan tidigare). Arbetet som gravitationen utr¨ attar fr˚ an R till ∞ kan skrivas som Z ∞ Z ∞ W = F~ (r) · d~r = F (r)dr ∗ cosθ (36) R

R

d¨ ar θ a ¨r vinkeln mellan riktningen av F~ (r) och d~r Gravitationskraften ¨ ar en konservativ kraft, d¨armed ¨ar arbetet som utf¨ors av gravitationen p˚ a en partikel oberoende av vilken v¨ ag partikeln f¨ orflyttas fr˚ an start- till slutpunkt: ∆U = Uf − Ui = −W

7

Masscentrum

Masscentrum f¨ or en grupp av punktmassor ¨ar det viktade medelv¨ardet av punkternas position.

7.1

Partikelsystem

Beskrivet med koordinater: xcom =

n 1 X mi xi , M i=1

ycom =

Beskrivet med vektorer: ~rcom

n 1 X mi yi , M i=1

zcom =

n 1 X mi zi M i=1

n 1 X Mi~ri = M i=1

(37)

(38)

d¨ ar ~ri = xiˆi + yi ˆj + zi kˆ och ~rcom = xcomˆi + ycom ˆj + zcom kˆ

7.2

Solida kroppar

Exempel p˚ a solida kroppar kan t.ex. vara ett basebolltr¨a, vilken best˚ ar av s˚ a pass m˚ anga partiklar (atomer) att vi g¨ or b¨ ast i att beskriva det som en kontinuerligt f¨ordelad massa. Z Z Z 1 1 1 xdm, ycom = ydm, zcom = zdm (39) xcom = M M M M F¨ or att bekr¨akna en kropps dencitet utnyttjar vi att ρ = dm dV = V Z Z Z 1 1 1 xcom = xdV, ycom = ydV, zcom = zdV V V V

8

(40)

7.3

Newtons andra lag f¨ or partikelsystem dP~ , F~net = M~acom = dt

M=

n X

mi

(41)

i=1

F~net ¨ ar mettokraften av alla externa krafter som verkar p˚ a systemet. M ¨ar systemets totala massa. Vi g¨ or antagandet att ingen massa tillkommer eller f¨orsvinner, massan ¨ar allts˚ a konstant. ~acom ¨ar masscentrums acceleration. En kropps masscentrum r¨ or sig, som en partikel med samma massa skulle g¨ora, under inverkan av samma nettokraft. Tidigare partikeldynamik kan anv¨andas!

7.4

R¨ orelsem¨ angd

R¨ orelsem¨ angd definieras som produkten av ett objekts massa och hastighet. R¨orelsem¨angden ¨ar en vektor eftersom den har b˚ ade en storlek och en riktning. ρ ~ = m~v ,

7.5

d~ p F~net = dt

(42)

St¨ ot

En st¨ ot karakt¨ ariseras av kortvarighet (kan i regel approximeras som momentan”), deformation av kroppar (partiklar), v¨ arme, ljud samt stora krafter (st¨otkrafter). Vid elastisk st¨ ot bevaras den kinetiska energin. Vid inelastisk st¨ ot bevaras inte den kinetiska energin. Ibland anv¨ands begreppet helt inelastisk st¨ ot, d˚ a fastnar kropparna i varandra. Anv¨ and Newtons andra lag: d dP~ F~net = F~12 + F~21 + F~ext = (~ p1 + p~2 ) = dt dt

(43)

Anv¨ and Newtons tredje lag (ger bevaringslag vid st¨ot): F~12 + F~21 = 0

(44)

dvs P~ bevaras om F~ext = ~0 7.5.1

Impuls

Impulsen, J~ definieras som ¨ andringen i r¨ orelsem¨angd: J~ = ∆~ p = p~f − p~i =

Z

tf

ti

d~ p dt dt

(45)

Eftersom tidintervallet (st¨ ottiden) ∆t ¨ ar litet, kommer det dominerande bidraget till J~ att komma fr˚ an st¨ otkrafterna. En medelkraft F~avg kan definieras enligt J~ F~avg = ∆t

9

(46)

8

Rotation

Rotationshastighet eller vinkelhastighet ¨ ar ett m˚ att p˚ a hur snabbt ett f¨orem˚ al vrider sig. Varvtal anges ofta per minut (RPM, rotations per minute). I klassisk mekanik anv¨ands rotationshastigheten i f¨oljande exempel: • En satellit eller en planet som roterar i en cirkul¨ar bana runt sitt centrum. Satelliten r¨or sig d˚ a med konstant rotationshastighet. • En kropp roterar kring en fast axel utan p˚ averkan av andra yttre krafter. Varje punkt roterar d˚ a med konstant rotationshastighet relativt axeln. • Om rotationsaxeln inte ¨ ar fast, kan r¨orelserna bli komplicerade, med precession och nutation av rotationsaxeln. F¨ or ett fritt f¨ orem˚ al g˚ ar rotationsaxlar alltid genom kroppens tyngdpunkt. R¨ orelseekvationerna ¨ ar l¨ osbara om f¨orem˚ alet ¨ar en stel kropp. Viktiga begrepp - stel kropp och fix rotationsaxel. En stel kropp ¨andrar ej form. En fix rotationsaxel vrids ej, kan dock flyttas t.ex. vid rullning. Vinkelhastigheten ges av: wavg =

∆θ θ2 − θ1 = , t2 − t1 ∆t

ω=

dθ , dt

θ=

s r

(47)

Vinkelaccelerationen ges av: αavg =

8.1

ω2 − ω1 ∆ω , = t2 − t1 ∆t

α=

dω dt

(48)

Kinetisk energi vid rotationsr¨ orelse, tr¨ oghetsmoment

• Partikelsystem: N st partiklar d¨ ar samtliga roterar kring en fix axel. • Partikel i har massa mi , fart vi och r¨or sig en i cirkelbana med radien ri Partikelsystemets totala kinetiska energi ges av Ktot =

N X mi v 2 i

i=1

2

=

N X mi r2 ω 2 i

i=1

2

(49)

Tr¨ oghetsmomentet (moment of inertia), I, definieras av I=

N X

mi ri2

(50)

Iω 2 2

(51)

i=1

och den kinetiska energin blir Ktot =

Kontinuerlig massf¨ ordelning - summan ¨ overg˚ ar till en integral: Z I = r2 dm

(52)

I formelsamlingar med tr¨ oghetsmoment ges i regel Icom , med avseende p˚ a axel genom masscentrum. Om axeln inte g˚ ar genom masscentrum - anv¨ and parallell-axis (Steiner’s theorem): I = Icom + M h2

(53)

d¨ ar M ¨ ar kroppens massa, h ¨ ar avst˚ andet mellan den givna axeln och en axel genom com parallell med den givna. 10

8.2

Kraftmoment (torque)

Kraftmoment, τ , ¨ ar ett m˚ att p˚ a en krafts f¨orm˚ aga att vrida ett objekt kring en viss axel. Vridmomentet beror av kraften som verkar p˚ a h¨ avarmen och h¨avarmens l¨angd. H¨avarmen ¨ar l¨agesvektorn |r| τ = Ft r = (F sinθ)r,

F r⊥ = F rsinθ

(54)

I b˚ ada fallen g¨ aller ”kraft g˚ anger h¨ avarm”. τnet = Iα

8.3

(Newtons andra lag)

(55)

Arbete och roterande kinetisk energi ∆K = Kf − Ki =

Iωf2 Iω 2 − i =W = 2 2

Z

θf

τ dθ

(56)

θi

N¨ ar τ ¨ ar konstant, kan ekvationen f¨ orenklas till W = τ (θf − θi ) P =

9

dW = τω dt

(arbete, konstant kraftmoment)

(57)

(power, rotation kring fixa axler)

(58)

Rullning, vridmoment och r¨ orelsem¨ anfsmoment

Hur l˚ angt ett hjul rullar ges av: s = θR

(59)

d¨ ar s a ackan/b˚ agens l¨ angd och R a ¨r str¨ ¨r hjulets radie. Vid rullning utan glidning (ren rullning) ¨ ar kontaktpunkten P : s hastighet noll. Kontaktpunkten P ¨ ar momentant i vila och r¨ orelsen kan ¨ aven ses som en ren rotation kring P , ~v0 = ~vcom .

9.1

Kinetisk energi vid rullning

Kinetisk energi vid rotation kring P ges av K=

Ip ω 2 , 2

Ip = Icom + M R2

(Steiners teorem)

(60)

Ett rullande objekt har tv˚ a typer av kinetisk energi - en roterande kinetisk ty rotation runt masscentrum och en translationell kinetisk energi ty translation runt masscentrum. K = Krotation + Ktranslation =

Ip ω 2 M R2 ω 2 + 2 2

(K¨onigs teorem)

(61)

Exempel - rullning: En homogen cirkul¨ar cylinder med massan m och radien R rullar utan att glida nedf¨ or ett lutande plan med lutningsvinkeln β. Best¨am masscentrums acceleration! 1. St¨ all upp krafteckation i x-led. 2. St¨ all upp motsvarighet till Newtons andra lag vid rotation, map. axel genom masscentrum. 3. St¨ all upp samband mellan vinkelaxxeleration och linj¨ar acceleration vid rullning utan glidning. 4. L¨ os ut masscentrums axxeleration.

11

9.2

Vridmoment (kraftmoment) p˚ a vektorform

Moment map. fix punkt, inte axel:

9.3

~τ = ~r × F~

(62)

|~r × F~ | = rF sinθ

(63)

R¨ orelsem¨ angdsmoment (angular momentum)

R¨ orelsem¨ angsmomentet (impulsmomentet) ¨ar f¨or ett objekt som roterar kring n˚ agon referenspunkt, ett m˚ att p˚ a i vilken utstr¨ ackning objektet kommer att forts¨atta att rotera kring denna punkt n¨ar det p˚ averkas av ett yttre vridmoment. Om ett objekt roterar kring en axel ¨ ar objektets r¨orelsem¨angdsmoment med avseende p˚ a en punkt p˚ a axeln relaterad till objektets massa, dess hastighet och dess tyngdpunkts avst˚ and till axeln. ~l = ~r × p~ = m(~r × ~v )

(64)

d¨ ar l ¨ ar r¨ orelsem¨ angsmomentet f¨ or en partikel kring n˚ agot centrum, r ¨ar partikelns positionsvektor relativt centrum och p ¨ ar partikelns r¨ orelsem¨angd.

9.4

l = rmvsinθ = rp⊥ = r⊥ p = rmv⊥ = r⊥ mv

(65)

d~l ~τnet = ~r × F~net = dt

(66)

R¨ orelsem¨ angdsmoment f¨ or partikelsystem

P = M v motsvaras av L = Iω ~ = L

n X

~li

(67)

i=1

~τnet =

~ dL dt

9.5

Eulers dynamiska ekvationer

10

Sv¨ angningar

(kraftmoment)

(68)

Exempel p˚ a sv¨ angningar ¨ ar bl.a. pendlar, musikinstrument (luftspelare, str¨angar), balkar, roterande maskiner, byggnader, fordon, elektriska sv¨ angningskretsar, atomer och molekyler i gaser och fasta material, ljud, ljus etc... En sv¨ angning ¨ ar en periodisk r¨ orelse mellan tv˚ a ytterl¨agen. Ett speciellt l¨age mellan ytterl¨agena ¨ ar j¨ amnviktsl¨ aget och om sv¨ angningssystemet placeras i j¨amnviktsl¨aget, f¨orblir det i vila.

10.1

Enkel harmonisk sv¨ angning

Den enklaste och mest regelbundna av alla periodiska r¨orelser. N¨ar sv¨angningarna ¨ar snabba ¨arperioden, T , liten och frekvensen, f , stor. En h¨ og frekvens motsvarar en kort period. Amplituden betecknas med xm . Fasf¨ orskjutningen, φ, ¨ ar en konstant. x(t) = xm cos(ωt + φ) Vinkelfrekvensen ω =

2π T

= 2πf

, d¨ ar f ¨ar frekvensen. Perioden ges av T = 12

(69) 1 f

Genom att derivera x(t) med avseende p˚ a tiden, ges hastigheten hos en partikel i enkel harmonisk sv¨ angning av: dx(t) = −ωxm sin(ωt + φ) (70) v(t) = dt Utifr˚ an den givna hastigheten kan vi nu finna partikelns acceleration genom att a¨nnu en g˚ ang derivera map. tiden: dv(t) a(t) = = −ω 2 xm cos(ωt + φ) (71) dt Genom att kombinera (69) och (71) f˚ ar vi a(t) = −ω 2 x(t)

10.2

(72)

Pendelr¨ orelse

• Matematisk pendel: Anv¨ and F = ma f¨or att formulera en differentialekvation med s = Lθ som funktion av tiden. • Fysisk pendel: Anv¨ and τ = Iα f¨ or att formulera en differentialekvation med θ som funktion av tiden.

10.3

D¨ ampning (svag)

D¨ ampkraften ¨ ar en linj¨ ar funktion av hastigheten: Fd = −bv. Fj¨aderkraft enligt hookes lag ger kraftekvad2 x tionen −bv − kx = ma. S¨ att sedan in v = dx dt och a = dt2 . Detta ger andra ordningens differentialekvation d2 x b dx k = + x=0 (73) dt2 m dt m L¨ osningen till ekvationen a ¨r: r −bt k b2 0 0 x(t) = xm e 2m cos(ω t + φ), ω = − (74) m 4m2

11

V˚ agr¨ orelsel¨ ara

En v˚ ag ¨ ar en sv¨ angning som breder ut sig fr˚ an ett st¨alle till ett annat i rummet. Exempel p˚ a v˚ agor ¨ ar bl.a. v˚ agor i str¨ angar, ljudv˚ agor, vattenv˚ agor, seismiska v˚ agor. • Mekansika v˚ agor: V˚ agor som bara kan breda ut sig genom ett ¨anme kallar vi mekaniska v˚ agor. Ljudv˚ agor ¨ ar ett exemper p˚ a det. Utan ett ¨amne uppst˚ ar inget ljud. En pistol som avfyras i vakuum ar helt ljudl¨ os! ¨ • Elektromagnetiska v˚ agor: Elektriska och megnetiska sv¨angningar som utbreder sig i rummet. S˚ adana v˚ agor kan ocks˚ a g˚ a genom tomrum. Ljus ¨ar ett exempel p˚ a det. Vi kan ju se solen och stj¨ arnorna. Radiov˚ agor ¨ ar ett annat exempel. • Transversell puls/v˚ ag: mediet sv¨ anger vinkelr¨att mot utbredningsriktningen. (En v˚ ag d¨ar punkterna i v˚ agmediet sv¨ anger vinkelr¨ att mot v˚ agens hastighetsriktning.) • Longitudinell v˚ ag (ljudv˚ ag): mediet sv¨anger i utbredningsriktningen. (En v˚ ag d¨ar punkterna i v˚ agmediet sv¨ anger l¨ angs v˚ agens hastighetsriktning.)

13

11.1 11.1.1

Harmonisk v˚ ag Grundl¨ aggande begrepp och samband

• V˚ agl¨ angd (avst˚ andet mellan en punkt i en v˚ ag och n¨asta punkt som sv¨anger i samma fas): λ = v · T • Utbredningshastighet (v˚ aghastighet): v =

λ T

= fλ

• Frekvens: f • Amplitud: ym • Vinkelfrekvens: ω = 2πf = • V˚ agtal: k =

2π T

2π λ

Formeln f¨ or v˚ aghastigheten ¨ ar den mest grundl¨aggande inom v˚ agfysiken. Formeln g¨aller f¨or b˚ ade longitudinella och transversella v˚ agor. Harmonisk v˚ ag matematiskt: y(x, t) = ym sin(kx − ωt + φ),

(φ : faskonstant)

(75)

ωt )) = ym sin(k(x − vt)) k

(76)

Om φ = 0 f˚ as y(x, t) = ym sin(kx − ωt) = ym sin(k(x −

λ λ ω = 2πf · = =v k 2π T V˚ agen kan allts˚ a skrivas p˚ a formen f (x − vt). Derivera tv˚ a g˚ anger map. x respektive t. ∂2y = −k 2 ym sin(kx − ωt) , ∂x2

∂2y = −ω 2 ym sin(kx − ωt) ∂t2

(77)

Detta ger ∂2y k2 ∂ 2 y = · ∂x2 ω 2 ∂t2

,

∂2y 1 ∂2y = · ∂x2 v 2 ∂t2

(v˚ agekvationen)

(78)

Ekvationen g¨ aller f¨ or fortskridande v˚ agor/pulser (¨andrar ej form) med konstant utbredningshastighet. Allm¨ anna l¨ osningen till v˚ agekvationen kan skrivas enligt nedan, d¨ar f och g ¨ar tv˚ a g˚ anger deriverbara funktioner. y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt) (79)

11.2

St˚ aende v˚ ag

Ett klassiskt exempel ¨ ar d˚ a man binder fast ett ganska l˚ angt rep i en stolpe och vevar. Dessa v˚ agor som uppst˚ ar kallas st˚ aende v˚ agor eftersom de ser ut att st˚ a stilla. Detta ¨ar ett interferensfenomen som intr¨ affar n¨ ar en v˚ ag interfererar med sin egen reflekterande v˚ ag. Stolpen som repet ¨ar fastsatt i ¨ar alldeles f¨ or fast f¨ or att b¨ orja vibrera. D¨ arf¨ or reflekteras v˚ agen tillbaka genom repet. Punkterna som st˚ ar stilla kallas noder och v˚ agtopparna som r¨ or sig mest kallas bukar. Matematiskt (tv˚ a fortskridande v˚ agor): ytot = ym sin(kx − ωt) + ym sin(kx + ωt) = (trigonometri) = 2ym cos(ωt)sin(kx)

14

(80)

11.2.1

V˚ agutbredning i str¨ ang

Hastigheten b¨ or bero av: 1. Mediets tr¨ oghet”, massa/l¨ angdenhet µ 2. Mediets ”elasticitet”, sp¨ annkraften τ x ML y 3. Hastighetens dimension LT −1 m˚ aste vara lika med dimensionen f¨or µx τ y som ¨ar ( M L) ( T ) q τ Detta ger y = 21 , x = −1 2 och v = C µ

En h¨ arledning som bygger p˚ a Newtons andra lag ger att den dimensionsl¨osa konstanten, C = 1. OBS: Skilj p˚ a utbredningshastigheten, v, och den transversella hastigheten, u. v=

11.3

dx dt

,

u=

∂y ∂t

(81)

Energi- och effekttransport

• Kinetiska energin best¨ ams av transversella hastigheten u =

∂y ∂t

• Potentiella energin best¨ ams av hur varje dx ¨andrar l¨angd vid transversell r¨orelse. Kinetisk energi f¨ or del med massa dm u2 2 ∂y u= = −ωym cos(kx − ωt) ∂t

dK = dm ·

(82)

=⇒

(83)

y = ym sin(kx − ωt) Massan per l¨ angdenhet: µ ger dm = µdx och

(ωym )2 cos2 (kx − ωt) 2

(84)

dK (ωym )2 cos2 (kx − ωt) = µv · dt 2

(85)

dK = µdx · Energi/tidsenhet (effekten):

Medelv¨ arde ¨ over en period: T

Z

cos2 (kx − ωt)dt =

0

Medelv¨ ardet av effekten ¨ ar:

1 2

dK (ωym )2 = µv · dt avg 4

(86)

(87)

Man kan visa att medeleffekten som svarar mot potentiell energi ¨ar lika stor genom att j¨amf¨ora pendel eller massa-fj¨ adersystem, samma medelv¨ arde av K och U (ωym )2 dU = µv · dt avg 4

(88)

Som resultat finner man den genomsnittliga effekt som transporteras av v˚ agen: Pavg = 2

dK (ωym )2 = µv · dt avg 2

15

(89)

12

Ljud

¨ ¨ FOREL ASNING 9

12.1

Intensitet

Intensiteten I definieras som effekt per area och har medelv¨ardet Iavg . I=

P A

,

Iavg =

Pavg (∆pm )2 = A 2vρ

(90)

Viktigt specialfall: Punktformig ljudk¨ alla som s¨ander ut ljud isotropt (lika mycket i alla riktningar). H¨ ar ¨ ar intenssiteten P (91) I(r) = 4πr2 d¨ ar P ¨ ar uts¨ and effekt och r ¨ ar avst˚ andet fr˚ an ljusk¨allan. Ljudintensitetsniv˚ an β m¨ ats i decibel (dB) β = 10log

I I0

(92)

d¨ ar I ¨ ar ljudintensiteten och I0 ¨ ar ett referensv¨arde = 10−12 W/m2

12.2

Fourieranalys av periodiska funktioner

Harmonisk ljudv˚ ag: • En enda frekvens. • Ingen bra modell av t.ex. musik eller tal. • Viktig byggsten”vid modellering av mer realistiska funktioner. • Fouriers teorem: En periodisk funktion kan skrivas som en Fourierserie (sinus- eller cosinusfunktioner): ∞

f (t) =

12.3

a0 X + (an cos(nΩt) + bn sin(nΩt)), 2 n=1

Ω=

2π T

(93)

Interferens

Tv˚ a v˚ agor kan befinna sig p˚ a samma st¨ alle vid samma tidpunkt. V˚ agorna interfererar n¨ar de samverkar och bildar en enda v˚ ag. • Tv˚ a punktformiga s¨ andare, S1 och S2 , s¨ander ut v˚ agor i fas och med samma v˚ agl¨angd λ. • Amplituden (intensiteten, maximalt utslag) i en punkt O beror p˚ a v¨agskillnaden δ = r2 − r1 , d¨ ar rn a r avst˚ andet fr˚ an S till O. ¨ n • δ motsvarar en fasskillnad φ enligt φ = δ ·

2π λ

= δ · k, d¨ar k ¨ar v˚ agtalet.

Man betraktar ofta de tv˚ a extremfallen: 1. N¨ ar v˚ agorna f¨ orst¨ arker varandra maximalt har man konstruktiv interferens. δ = mλ

eller

φ = 2nπ

16

,

(n, m = heltal)

(94)

2. N¨ ar v˚ agorna sl¨ acker ut varandra helt har man destruktiv interferens. 1 δ = (m + ) = λ 2

12.4

eller

φ = (2n + 1)π

,

(n, m = heltal)

(95)

Dopplereffekt

Frekvensen hos en v˚ ag f¨ or¨ andras d˚ a s¨ andare och mottagare r¨or sig relativt varandra j¨amf¨ort med n¨ ar de ¨ ar i vila. Det ¨ ar allts˚ a en f¨ or¨ andring av frekvensen (sv¨angningstalet) hos en signal, beroende p˚ a om k¨ allan n¨ armar sig eller avl¨ agsnar sig i f¨ orh˚ allande till observat¨oren. Beteckningar (samtliga storheter a ¨r definierade relativt ett fixt system) a¨r v - ljudets fart, vs - s¨andarens fart och vD(0) - detektorn (observat¨ orens) fart. Om vi antar att luften ¨ ar i vila relativt marken, kan vi se p˚ a fem fall: 1. S och D i vila: v = f0 λ 0 2. S i vila, D r¨ or sig mot S: v 0 = v + vD v λ0 = f0 v0 v + vD v + vd = = · f0 > f0 f0 = λ0 λ0 v

(Ljudets fart relativt D) (V˚ agl¨angd) (Frekvens)

3. S i vila, D r¨ or sig bort fr˚ an S. Samma resonemang som i (2) ger: f0 =

v + vd · f0 < f0 v

(Frekvens)

4. S r¨ or sig mot D som ¨ ar i vila. Detta ¨ar inte samma situation som i (2)! V˚ agorna s¨ ands ut med v˚ agl¨ angden λ0 = fv0 = vT0 , d˚ a hinner S r¨ora sig str¨ackan vs T0 innan n¨asta v˚ agskickas ut. Den v˚ agl¨ angd som D uppfattar blir inte λo , utan λ0 = vT0 − vs T0 =

v − vs f0

V˚ agornas far relativt D a a blir den frekvens som D uppfattar ¨r v. D˚ v v f 0 = 0 = ... = · f0 > f0 λ v − vs 5. S r¨ or sig bort fr˚ an D som ¨ ar i vila. Samma resonemang som i (4) ger: f0 =

v · f0 < f0 v − vs

De fem olika fallen kan alla sammanfattas med formeln nedan, den d¨aller a¨ven d˚ a s¨andare och mottagare r¨ or sig samtidigt.   v ± vD 0 f = · f0 (96) v ± vs Specialfallet d˚ a b˚ ade s¨ andare och mottagare r¨ or sig ˚ at samma h˚ all ges av:   c − v0 ν0 = ·ν c − vs d¨ ar ν och ν 0 ¨ ar frekvenser (grekisk bokstav ny”), och c ¨ar ljudfarten 17

(97)

13 13.1

Optik Inledning

1. Geometrisk optik (str˚ alningsoptik): Behandlar egenskaper hos ljus i form av raka str˚ alar. Inom geometrisk optik ignorerar man det faktum att ljuset vanligtvis inte f¨ardas i form av raka str˚ alar, det ¨ ar dock en rimlig approximation n¨ar ljuset passerar genom stora ¨oppningar (¨oppnings storlek a orre a agl¨ angden). ¨r mycket st¨ ¨n v˚ 2. V˚ agoptik: Inom v˚ agoptik ¨ ar ljusets v˚ agegenskaper avg¨orande f¨or att f¨orklara fenomen som diffraktion, interferens och polarisation (ljusv˚ agorna sv¨anger vinkelr¨att mot utbredningsriktningen). 3. Kvantoptik: Gren av fysiken, s¨ arskilt olika former av laserfysik, som utnyttjar kvantmekanik f¨ or unders¨ okningar av ljus och av ljusets v¨axelverkan med materia. (Behandlas ej i denna kurs.) 4. Synligt ljus: V˚ agl¨ angd ca 400-700 nm, 1nm = 10−9 m 13.1.1

N˚ agra begrepp

L˚ at oss anta att v˚ agk¨ allan ¨ ar punktformig. • V˚ agfront: Sammanh¨ angande linje eller yta d¨ar alla punkterna sv¨anger i samma fas (vinkelargument). • Str˚ ale: Vinkelr¨ at mot v˚ agfronterna, anger utbredningsriktningen. • Plan v˚ ag: V˚ ag vars v˚ agfronter a a en modell f¨or v˚ agen n¨ar den a¨r s˚ apass ¨r plana ytor. Det a¨r allts˚ l˚ angt fr˚ an k¨ allan att v˚ agfronterna kan approximeras med plan.

13.2

Brytningslagen (Snells lag)

Snells lag ¨ ar den enkla formeln som anv¨ ands f¨or att ber¨akna vinklarna vid refraktion (ljusbrytning) d˚ a ljus f¨ ardas mellan tv˚ a medier med olika brytningsindex. n1 sinθ1 = n2 sinθ2

(98)

¨ en materialegenskap som beskriver utbredningen av elektromagnetiska v˚ • Brytningsindex: Ar agr¨ orelser i ett ¨ amne. N¨ ar en v˚ ag g˚ ar snett fr˚ an ett medium till ett annat med olika brytningsindex medf¨ or hastighets¨ andringen en ¨ andring av utbredningsriktningen, d¨ar vinkeln best¨ams av skillnaden mellan brytningsindex i medierna. c (99) n= v d¨ ar n ¨ ar brytningsindex, c ¨ ar ljushastigheten i vakuum och v ¨ar ljushastighet (utbredningshastigheten) i det aktuella ¨ amnet. • Kromatisk dispersion: Brytningsindex beror av v˚ agl¨angden. • Fermats princip: Ljusets str˚ alg˚ ang mellan tv˚ a punkter f¨oljer den snabbaste v¨agen.

13.3

H¨ agring

H¨ agring ¨ ar ett optiskt fenomen som upptr¨ader d˚ a atmosf¨arens brytningsindex varierar med h¨ojden. H¨ agring kan observeras p˚ a grund av att varm luft n¨ara markytan har l¨agre n ¨an luften h¨ogre upp. Vid stora temperaturskillnader mellan olika h¨ojder kan ljusstr˚ alar b¨ojas av, och d¨arigenom kan f¨orem˚ al bortom horisonten dyka upp ovanf¨ or den. Ljuset f¨ oljer en kr¨ okt bana om brytningsindex n i ett medium varierar kontinuerligt.

18

13.4

Totalreflektion

Totalreflektion ¨ ar ett fenomen d˚ a ljusstr˚ alar reflekteras i en gr¨ansyta mellan tv˚ a medier med olika optisk t¨ athet. Om ljuset kommer fr˚ an det optiskt t¨atare materialet, finns vid tillr¨ackligt stor infallsvinkel inget utrymme f¨ or en bruten str˚ ale i det optiskt tunnare mediet, och allt ljus reflekteras tillbaka in i det optiskt t¨ atare mediet. Dessa kriterier m˚ aste uppfyllas f¨ or att totalreflexion skall intr¨ affa: 1. Ljusstr˚ alen f˚ ar fr˚ an ett optiskt t¨ atare till ett optiskt tunnare ¨amne. 2. Infallsvinkeln ¨ ar st¨ orre ¨ an gr¨ ansvinkeln f¨or totalreflektion. Vid den kritiska vinkeln θc g¨ aller (enligt Snells lag): n1 sinθc = n2 sin90◦

⇔

θc = arcsin

n2 n1

(100)

F¨ or gr¨ ansytan mellan luft och vatten betyder det att gr¨ansvinkeln ¨ar arcsin(0, 75) = 49◦ . F¨or glas och luft a ansvinkeln 45◦ . ¨r gr¨

13.5

Optisk fiber

Fiberoptik ¨ ar ett optiskt system f¨ or data¨overf¨oring d¨ar ljus leds genom s˚ a kallade optiska fibrer vars k¨ arnor ¨ ar gjorda av mycket rent glas eller plast fr˚ an flera millimeters diameter ned till mindre ¨an ett h˚ arstr˚ as diameter. Dessa glas- eller plastk¨arnor ¨ar omslutna av ett mantelh¨olje och vanligtvis ocks˚ a av ett skyddande skal. Fiberoptiken fungerar genom att ljusstr˚ alen inuti k¨arnan totalreflekteras mot gr¨ansytan till manteln. S˚ aledes kan ljuset f¨ ardas mycket l˚ anga str¨ackor, f¨orutsatt att k¨arnan ¨ar optiskt t¨atare ¨an manteln och att infallsvinkeln mot mantelytan ¨ overstiger gr¨ansvinkeln f¨or totalreflexion. De f¨ orluster som sker i ett fiberoptiskt system beror huvudsakligen p˚ a sm˚ a orenheter som absorberar en del av ljuset. F¨ orluster beror ¨ aven p˚ a oj¨ amnheter i ytan d¨ar totalreflexionen sker.

13.6

Avbildning

13.6.1

Plan spegel

Objektet, O, ¨ ar en liten ljusk¨ alla eller ett litet f¨orem˚ al. Str˚ alarna som utg˚ ar fr˚ an O tr¨affar en plan spegel och varje str˚ ale reflekteras enligt reflexionslagen. (BILD) Ett ¨ oga som tr¨ affas av det reflekterade ljusknippet f˚ ar intrycket av att det kommer fr˚ an I (en virtuell bild bakomspegeln). Punkten I ¨ ar allts˚ a spegelbilden av punkten O. Eftersom ljusstr˚ alarna endast skenbart kommer fr˚ an I kallas en s˚ adan h¨ ar spegelbild f¨or en skenbild eller virtuell bild Objektets avst˚ and till spegelytan betecknas med p, och bildavst˚ andet med i. Traditionellt l˚ ater man objektets avst˚ and till spegeln vara positiv. F¨or en plan spegel g¨aller d˚ a sambandet p = −i. 13.6.2

Sf¨ ariska speglar

En enkel ekvation, linsformeln relaterar objektavst˚ andet p, bildavst˚ andet i och br¨annvidden f : 1 1 1 + = p i f

19

(101)

Storleken hos en bild och objekt ¨ aven kallad f¨or linj¨ ar f¨ orstoring definieras som kvoten mellan bildh¨ ojd och objekth¨ ojd. Den kan uttryckas i objekt- och bildavst˚ and enligt nedan. (Storheten blir negativ om bilden ¨ ar inverterad.) i (102) m=− p Hj¨ alpstr˚ alar vid bildkonstruktion: 1. En str˚ ale genom br¨ annpunkten reflekteras parallellt med axeln. 2. En str˚ ale parallell med axeln reflekteras genom br¨annpunkten. 3. En str˚ ale genom kr¨ okningscentrum reflekteras tillbaka samma v¨ag

• Konvex - buktar ut mot betraktaren och vidgar synf¨ altet: Ett parallellt str˚ alknippe som infaller mot en konvex spegel ser ut att divergera fr˚ an en punkt bakom spegeln – br¨ annpunkten, F . Den punkt str˚ alarna ser ut att divergera ifr˚ an ¨ar den konvexa spegelns br¨annpunkt. En konvex spegel har med andra ord en virtuell br¨annpunkt. • Konkav - motsatsen till konvex: Ljusstr˚ alar som utg˚ ar fr˚ an ett objekt och som ligger n¨ara huvudaxeln bryts till en gemensam punkt. Denna punkt kallas bildpunkt. N¨ ar ljusstr˚ alarna n˚ ar ¨ogat tycks de komma fr˚ an bildpunkten och hj¨ arnan tolkar det som om objektet fanns i bildpunkten. Eftersom ljusstr˚ alarna verkligen kommer fr˚ an bildpunkten kallas bilden f¨or reell. Ljusstr˚ alar som ¨ ar parallella med huvudaxeln och som tr¨affar spegeln n¨ara huvudaxeln, bryts mot en gemensam punkt. Denna punkt kallas f¨or br¨ annpunkt, F . Avst˚ andet mellan spegel och br¨ annpunkt, kallas f¨or br¨ annvid (¨aven kallad fokus eller fokall¨ angd) och betecknas f . F¨ or en konkav spegel g¨aller att f = 2r , r = kr¨okningsradie. Parallella str˚ alar som tr¨ affar spegeln l˚ angt fr˚ an huvudaxeln bryts ej mot br¨annpunkten. Detta ger upphov till en suddig bild och kallas f¨or sf¨ arisk aberration. Felet kan minimeras genom att l˚ ata spegelns h¨ ojd vara liten i j¨ amf¨ orelse med kr¨okningsradien.

13.7

Polarisation

Fenomenet polarisation h¨ anger ihop med det faktum att den elektriska f¨altvektorn i den elektromagnetiska v˚ agen sv¨ anger i ett visst plan. Ljuset s¨ages vara polariserat n¨ar det sv¨anger i ett plan endast. Transversella v˚ agor kan polariseras, inte longitudinella. Ljusv˚ agor sv¨ anger alltid i ett visst plan och motsvarigheten till longitudinella v˚ agor (t.ex. kompressionsv˚ agor i luft) existerar inte f¨ or ljus. Polaroid: L˚ anga molekyler inb¨ addade i plast, sl¨apper igenom elektromagnetisk str˚ alning i en viss riktning, absorberar i vinkelr¨ at riktning. Intensiteten hos ljus efter passage av polaroid best¨ams av Malus lag: I = I0 cos2 θ (103) d¨ ar θ ¨ ar vinkeln mellan infallande ljusets polarisationsriktning och polaroidens genomsl¨appsriktning.

20

14 14.1

V˚ agoptik Interferens

Samma grundbegrepp som f¨ or ljud. • Konstruktiv/Destruktiv interferens: Maximal f¨orst¨arkning eller maximal utsl¨ackning. • V¨ agskillnad, δ, och fasskillnad, φ, ger sambandet φ=δ·

2π =δ·k λ

,

(k ¨ar v˚ agtalet)

(104)

(m,n = heltal)

(105)

• Villkor f¨ or konstruktiv interferens: δ = mλ

,

φ = 2nπ

,

φ = (2n + 1)π

• Villkor f¨ or destruktiv interferens: 1 δ = (m + )λ 2

(m,n = heltal)

(106)

En viktig skillnad j¨ amf¨ ort med ljud: Endast ljusv˚ agor med samma sv¨angningsriktning (polarisation) interfererar. Vid reflektion mot optiskt t¨ atare medium (h¨ogre brytningsindex) sker en fas¨andring med π. 14.1.1

Antireflexbehandling

• Ska f¨ orhindra att reflektioner uppst˚ ar (f¨onster, glas¨ogon, kameralinser). • Skikttjocklek och brytningsindex v¨ aljs s˚ a att reflekterade str˚ alar uppfyller villkoret f¨or destruktiv interferens. • Flera skikt f¨ or att flera reflekterade v˚ agl¨angder ska sl¨ackas ut. 14.1.2

Dielektriska speglar

Flera skikt med varierande brytningsindex, nH > nglas och nL < nglas

14.2

Diffraktion (b¨ ojning)

• Huyghensprincip, best¨ ammer v˚ agfronternas utseende. • B¨ ojningen av v˚ agfronterna blir mer markant n¨ar ¨oppningens storlek n¨armar sig v˚ agl¨angden λ. ¨ Oppningen liknar”en punktformig v˚ agk¨alla. Ovanst˚ aende f¨ oruts¨ atter plana v˚ agfronter f¨ore ¨oppningen, detta specialdfall kallas Fraunhoferdiffraktion. Bra approximation om v˚ agk¨ allan ¨ ar l˚ angt ifr˚ an ¨oppningen. Exempel p˚ a diffraktion: Om man belyser ett objekt med cirkul¨ art tv¨arsnitt kommer punkten mitt p˚ a ”skuggan” att bli ljus! Detta kallas f¨ or Fresnel Bright spot. Punkterna p˚ a objektets periferi fungerar som ”s¨andare” (Huyghens), lika l˚ angt till mittpunkten fr˚ an alla.

21

14.2.1

Youngs experiment - Dubbelspaltsexperiment

Dubbeltspaltexperimentet ¨ ar ett experiment inom kvantfysik som visar p˚ a v˚ ag-partikel-dualitet. Experimentuppst¨ allningen best˚ ar av en koherent k¨alla f¨or ljus (eller kvantmekaniska partiklar), en sk¨arm med tv˚ a (eller fler) smala spalter sida vid sida, samt n˚ agon form av detektor (anv¨ander man synligt ljus duger en vit sk¨ arm). N¨ ar ljuset kan passera genom b˚ ada spalterna uppst˚ ar ett tydligt interferensm¨onster. G˚ ar man ¨ over till att bara s¨ anda ut en foton i taget kvarst˚ ar fenomenet, vilket visar p˚ a sj¨alvinterferens. F¨ ors¨ oker man via olika uppst¨ allningar unders¨oka vilken av de tv˚ a spalterna ljuset passerar f¨orst¨ors interferensm¨ onstret: ljuset kan uppvisa v˚ ag- eller partikelegenskaper, men inte b˚ ada samtidigt. V¨ agskillnaden ∆L ∆L = r2 − r1 ≈ dsinθ

(107)

Villkor f¨ or interferensmaxima och minima: dsinθ = mλ

,

1 dsinθ = (m + )λ 2

(108)

Krav f¨ or interferens: koherenta v˚ agk¨ allor (samma frekvens, konstant fasskillnad) I Youngs experiment fungerar spalterna som v˚ agk¨allor. H¨ar betraktas spalterna som punktformiga,ennoggrannare behandling d¨ ar h¨ ansyn tas till spaltbredden kommer senare. 14.2.2

Intensitet fr˚ an dubbelspalt

I en punkt P uppkommer en fasskillnad p˚ a grund av en v¨agskillnad δ. Fasskillnaden blir φ δ = r2 − r1

,

φ=δ

2π λ

(109)

och f¨ or det elektromagnetiska f¨ altet fr˚ an spalt 1 respektive 2 g¨aller i punkten P att E1 = E0 sinωt

och

E2 = E0 sin(ωt + φ) ,

(E0 = amplituden)

(110)

Om vi adderar dessa genom att utnyttja superposition, f˚ ar vi: φ φ E = E1 + E2 = E0 (sinωt + sin(ωt + φ)) = E0 · 2cos( ) · sin(ωt + ) 2 2 14.2.3

(111)

Diffraktion i enkelspalt

Ju st¨ orre spalt desto smalare ¨ ar den centrala delen och desto n¨armare ligger minima intill varandra. Med andra ord ger en smal spalt brett centralmaximun... (Fraunhofer-)Diffraktion ¨ar i sj¨alva verket en Fouriertransformation av spaltens ”transmissionsfunktion”! Villkor f¨ or f¨ orsta intensitetsmininum a agl¨angd: ¨r att v¨agskillnaden = en halv v˚ a λ sinθ = 2 2

eller

asinθ = 1 · λ

(112)

Man kan g¨ ora motsvarande resonemang f¨ or andra minimum, tredje osv. Allm¨ant kan man f¨or en enkelspalt med spaltbredd a uttrycka villkoret f¨ or intensitetsminima som:

22

14.2.4

Elektromagnetiska v˚ agor

Elektromagnetiska v˚ agor, utbredning av elektriska och magnetiska f¨alt som varierar med samma frekvens och vinkelr¨ att mot varandra och mot utbredningsriktningen (transversell v˚ ag). Elektromagnetiska v˚ agor utbreder sig med ljushastigheten. F¨ or elektromagnetiska v˚ agor g¨ aller precis som f¨or ljud att intensiteten ¨ar proportionell mot amplituden i kvadrat. • Diffraktion f¨ orekommer ¨ aven f¨ or andra typer av v˚ agor, tex. ljudv˚ agor. • L¨ att att observera diffraktion av ljudv˚ agor (tex. runt h¨orn). • Enkelspalt: konstant spaltbredd a inneb¨ar att bredden av ventralmaximum minskar d˚ a λ minskar. • L¨ attare att fokusera f¨ or mindre λ, dvs. h¨ogre frekvens. • Exempel: laserljus, ljud (diskant sprids mindre ¨an bas)...

14.3

Gitter

Ett gitter ¨ ar ett optiskt element som best˚ ar av m˚ anga parallella ristade linjer. Genom diffraktion utbreder sig ljuset efter gittret i olika vinklar, beroende p˚ a v˚ agl¨angd, m.a.o. vitt ljus (eller bredbandigt ljus) delas upp till att forma ett spektrum av regnb˚ agsf¨arger ungef¨ar som ett prisma g¨or. Allm¨ant s˚ a o kar diffraktionsvinkeln med v˚ agl¨ a ngden f¨ o r ett givet gitter (tv¨ a rtemot till hur prismor g¨ o r). Det ex¨ isterar dock s.k. gitterordningar, vilket betyder att en given v˚ agl¨angd har samtidigt multipla diskreta diffraktionsvinklar. Ett gitter best˚ ar allts˚ a av m˚ anga spalter. Ger smalare och mer v¨aldefinierade maxima ¨an f¨or enkel-och dubbelspalt. Kan anv¨ andas f¨ or t ex noggrann best¨amning av v˚ agl¨angd. Interferensmaxima (principalmaximaa )intr¨affar d˚ a v¨agskillnaden dsinθ = mλ, m = 0, 1, 2, ...

14.4

Koherens

Koherens ¨ ar en egenskap hos v˚ agor som beskriver hur v¨al en v˚ ags fas korrelerar ¨over hela v˚ agen (autokorrelation) eller med en annan v˚ ags fas. Vill man allts˚ a diskutera detta kvantitativt s˚ a pratar man om en v˚ ags koherensgrad. Man skiljer mellan tidskoherens (longitudinell koherens) och rumslig (spatiell) koherens, allts˚ a koherensgraden l¨ angs utbredningsriktningen respektive vinkelr¨att d¨artill. Koherent ljusk¨ alla: Ljusv˚ agorna har konstant fasskillnad och samma frekvens. Ljus s¨ ands ut vid energi¨ overg˚ angar i atomer/molekyler. Uts¨andningen av ljus genom energi¨overg˚ angar i atomer/molekyler sker under ca 10−8 sedkunder (motsvarar mot ca 106 hela sv¨angningar om frekvensen ar ca 1014 Hz. ¨ Vitt ljus: slumpm¨ assighet, m˚ anga atomer s¨andersamtidigt. Ingen konstant fasrelation, ljuset ¨ar inkoherent. • Rumskoherens: v˚ agorna i fas. • Tidskoherens: l˚ anga v˚ agt˚ ag.

14.5

Laser

Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (ljusf¨ orst¨ arkning genom stimulerad emission av str˚ alning”)

23

Det ¨ ar en teknik som genom stimulerad emission skapar ljusstr˚ alar som ¨ar enf¨argade (monokroma), koherenta (ljusv˚ agorna ¨ ar i fas), har en riktning och har stark intensitet. Med en laser ¨ar det ¨aven m¨ojligt att skapa ljuspulser som ¨ ar mycket korta (ner till i storleksordningen femtosekunder). En maser bygger p˚ a samma princip som en laser, men anv¨ ander mikrov˚ agor ist¨allet f¨or synligt ljus. • Laserljus erh˚ alles genom stimulerad emission, vilket inneb¨ar att de fotoner som s¨ands ut vid energi¨ overg˚ angar a adana att inkommande och uts¨and foton har samma riktning, fas och polarisation. ¨r s˚ • Ljuset ¨ ar koherent och monokromatiskt (liten ”bredd” i v˚ agl¨angd eller frekvens j¨amf¨ort med andra ljusk¨ allor). Liten str˚ aldivergens. • Kan ge mycket h¨ og momentan effekt. Rekordet ¨ar runt 1015 W (1 Petawatt); har bla anv¨ants f¨ or att hetta upp materia till ca 106 K. En s˚ adan laser som ger kortvariga pulser kallas pulsad. Den laser som anv¨ ands vid laborationen ger ca 1mW i uteffekt och ¨ar i st¨allet kontinuerlig. • Flera olika typer finns, t ex gaslaser (He-Ne,CO2), halvledarlaser, f¨arg¨amneslaser, frielektronlaser. • Problem vid korta v˚ agl¨ angder: Den spontana emissionen (ej koherent) ¨okar med minskande v˚ agl¨angd. 14.5.1

Halvledarlaser

• M˚ anga till¨ ampningar: materialteknik, medicin, informationsteknik, m¨atteknik etc. • Olika frekvenser/v˚ agl¨ angder kan vara anv¨andbara beroende p˚ a till¨ampningar. • Laserljus med frekvens i THz-omr˚ adet(v˚ agl¨angd cirka 0.1-1 mm) kan anv¨andas f¨or att se genom dimma, moln, kl¨ ader. 14.5.2

Atomlaser

• Atomer (partiklar) kan uppvisa v˚ agegenskaper! Mycket mindre v˚ agl¨angd a¨n synligt ljus. • Aktivt medium: moln¨ av ultrakalla atomer, Bose-Einstein-kondensat. • Precisionsm¨ atningar. • Atomlitografi, nanoteknologi.

24