Schéma de Bernoulli et loi binomiale

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Schéma de Bernoulli et loi binomiale Semaine du 09/02/15

Situation 1 : On lance une pièce de monnaie trois fois. Donner la liste de tous les résultats possibles. Par exemple PPF est un résultat.

Combien y en a-t-il ? Combien y a-t-il de résultats(ou liste) comportant la face pile deux fois exactement ?

A la calculatrice, saisir : 3 MATH PRB Combinaison(ou nCr) 2 enter Qu’obtient-on ? Situation 2 : On lance une pièce de monnaie quatre fois.(Voir annexe). Combien y a-t-il de résultats comportant la face pile deux fois exactement ?

A la calculatrice saisir : 4 MATH PRB Combinaison(ou nCr) 2 enter Qu’obtient –on ?

Situation 3 : On lance une pièce de monnaie 5 fois. Ecrire une séquence de touche à la calculatrice permettant d’obtenir le nombre de résultats comportant la face pile 3 fois exactement. Donner le résultat.

Situation 4 : Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé bien équilibré quatre fois de suite. On appellera succès l’évènement : «obtenir un 6 ». 1) Quelle est la probabilité d’un succès ? Quelle est la probabilité d’un échec ? Combien y a-t-il de résultats comportant 3 succès.(à la calculatrice). 2) On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de succès. Quelles sont les valeurs que peut prendre X ? On écrit X  , , , , 

3) On désire calculer P(X=3). a) Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe. b) Repérer sur l’arbre à l’aide d’une couleur, un chemin comportant trois succès exactement. Quel est la probabilité de ce chemin sélectionné ? c) Compter sur l’arbre, le nombre de chemins comportant 3 succès excatement? Vérifier qu’on obtient le même résultat qu’à la question 1. 3

1

1 5 d) De quel évènement le résultat du calcul 4       est-il la probabilité ? 6 6 4) En s’inspirant de la question 3 calculer P(X=2) puis P(X=1).

Situation 5 : On lance une pièce de monnaie 5 fois. Cette pièce n’est pas équilibrée si bien que la probabilité d’avoir pile est égale à 0,4. On appellera succès : « avoir pile ». On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de pile au cours de ces 5 lancers. On désire calculer P(X=3). ● Combien y a-t-il de résultats comportant 3 succès exactement ? ● Quelle est la probabilité d’un résultat comportant 3 succès exactement ? ● En déduire : P(X=3) =





=

à 10-3 près.

Définition : On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n et p lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées. ● On répète n fois la même expérience de façon indépendante. ● X compte le nombre de succès. ● La probabilité d’un succès est p. On écriera alors : X  B (n; p )

Situation 6 : Une urne contient 18 boules rouges et 12 boules noires indiscernables au toucher. Un jeu consiste à tirer avec remise 3 boules de l’urne. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de boules noires à la fin de ces trois tirages. 1) X suit-elle une loi binomiale ? Pourquoi ? 2) Réaliser un arbre de probabilité schématisant ce jeu. 3) Calculer la probabilité de tirer au moins une boule noire.

Annexe

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