Schéma de Bernoulli

Schéma de Bernoulli I) Epreuve de Bernoulli Définition : une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire où l'on s'intéresse à la réalisation d'un certain événement S (appelé succès) ou à sa non-réalisation S (appelé échec). La probabilité p de l’événement succès S est le paramètre de l’expérience. Exemple 1: Une urne contient sept boules rouges, quatre jaunes et trois vertes. Le joueur tire une boule. Il gagne s'il tire une verte. Appelons S l'événement "tirer une boule verte". 3 3 11 p (S ) = p (S) = 1 − = . On a: 14 14 14

II) Schéma de Bernoulli 1) Définition : Si on répète n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p, les épreuves étant indépendantes les unes des autres, on dit que l’on a réalisé un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. Remarque : la condition « les épreuves étant indépendantes les unes des autres » assure que le paramètre p ne change lors des répétitions ; dans les énoncés, c’est ce type de phrase « répétées de façon indépendante » qui introduit souvent un schéma de Bernoulli. Exemple 2: On répète 3 fois l’expérience de l’exemple 1 en remettant à chaque fois la boule tirée dans l’urne avant le 3 tirage suivant : on décrit ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = . 14 On pourrait poser les questions : ¬ quelle est la probabilité de gagner exactement 2 fois ? Á quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ? Remarque : le schéma de Bernoulli intervient souvent quand le tirage est successif avec remise. 2) Variable aléatoire associée à un schéma de Bernoulli A un schéma de Bernoulli donné, correspond la variable aléatoire X égale aux nombre de succés obtenus lors des n épreuves répétées de paramètre p. Exemple : les questions posées dans la situation de l’exemple 2 se reformulent « ¬ calculer p(X = 2) et Á calculer p(X ≥ 1) » en appelant X la variable aléatoire comptant le nombre de fois où le joueur a gagné. Remarque : il est clair que X prend les valeurs de l’ensemble {0,1,2,...,n}. 3) Calcul des probabilités et espérance mathématique de la loi binomiale Propriété : Soit X une variable aléatoire décrivant un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. • Pour tout entier k de l’ensemble {0,1,2,...,n}, la probabilité d'obtenir k succès au cours des n épreuves de Bernoulli est : p(X = k) = C kn pk (1 − p) n − k ; • L’espérance mathématique E(X) est égale à n p : E(X) = n × p . n

Remarque : comme

n

∑ p(X = k) = ∑ C k =0

k=0

k n

pk (1 − p)n −k = ( p + (1 − p ) ) = 1 d’après la formule du binôme, on dit que la n

variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p. 2

Exemple :

1

297  3   11  • La réponse à la question ¬ de l’exemple 2 est p ( X = 2) = C32     = ≈ 0,108 .  14   14  2744 • L’astuce bien connue pour répondre à la question Á est « de passer par le contraire » : en effet le 0

3

3

 3   11   11  1331 contraire de l’événement (X ≥ 1) est (X = 0), et on a p ( X = 0 ) = C30     =   = . On obtient alors 2744  14   14   14  1331 1413 p ( X ≥ 1) = 1 − p ( X = 0 ) = 1 − = ≈ 0,515 . 2744 2744