Séance 1

EXERCICES DE MATH-F302  Processus Stochastiques Titulaire : Céline Azizieh

SEANCE 1 :

Assistant : Matthieu Simon

INTRODUCTION

Probabilités Exercice 1.

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres respectifs λ et µ. 1. Déterminer la loi de X + Y . 2. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant que X + Y = n. Exercice 2.

Un centre de calcul possède deux ordinateurs A et B . Les "jobs" arrivant au centre de calcul sont dirigés indépendamment les uns des autres vers l'ordinateur A avec probabilité p, et vers l'ordinateur B avec probabilité 1 − p. Le nombre X de "jobs" arrivant au centre de calcul par unité de temps est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ. Déterminer la loi de probabilité du nombre de jobs reçus par l'ordinateur A par unité de temps. Exercice 3.

Considérons un système en série constitué de composantes indépendantes, ayant chacune une durée de vie aléatoire de fonction de répartition G et de fonction de densité g . A cause des options oertes, le nombre de composantes de ce système est une variable aléatoire Y suivant une loi de Poisson de paramètre λ. Soit X la durée de vie de ce système. Le système tombe en panne dès qu'une de ses composantes tombe en panne. 1. Déterminer la densité de probabilité de X . 2. Déterminer la distribution de probabilité de Y sachant que le système a survécu jusqu'à l'instant t.

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Loi exponentielle Exercice 4.

Considérons un système en série constitué de deux composantes indépendantes, ayant chacune une durée de vie exponentielle de paramètres respectifs λ et µ. Déterminer la probabilité que la seconde composante soit la cause d'une panne du système. Exercice 5.

Soient X1 , X2 , · · · , Xn des variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de paramètres µ1 , µ2 , · · · , µn . Montrer que la variable aléatoire Z = min {X1 , X2 , · · · , Xn } suit également une loi exponentielle. Exercice 6.

Une variable aléatoire positive X est dite "sans mémoire" si ∀s, t ≥ 0 : P (X ≥ t + s | X ≥ s) = P (X ≥ t) .

1. Montrer que les variables exponentielles sont sans mémoire. 2. Pourquoi la seule famille de variables aléatoires continues et sans mémoire est-elle la famille des variables exponentielles ? Exercice 7.

Le nombre de kilomètres couverts par une batterie de voiture avant défaillance est distribuée exponentiellement et sa valeur moyenne est de 20000 kilomètres. Une personne souhaite se lancer dans un voyage de 10000 kilomètres, alors que sa voiture a déjà roulé k kilomètres sans avarie. 1. Quelle est la probabilité qu'elle termine son voyage sans défaillance de la batterie ? 2. Que devient cette probabilité si la distribution n'est pas exponentielle ? Exercice 8.

1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1. On note Y = dXe le plafond de X . (a) Montrer que Y suit une loi géométrique. (b) Soit Z = Y − X . Quelle est la fonction de répartition de Z ? 2. Soient Y1 , Y2 , · · · une suite telle que Yn suit une loi géométrique de paramètre pn . Montrer que si lim pn = 0 ,

lim

n→∞

n→∞

pn = λ > 0, an

alors la suite an Yn converge en loi vers une loi exponentielle de paramètre λ.

2

Espérance conditionnelle Exercice 9.

Soit X une variable aléatoire discrète telle que P (X = n) = 32n ∀n ∈ N0 . A partir de X , on dénit la variable aléatoire Y de la façon suivante : sachant que X = n, Y suit une loi uniforme sur {n, n + 1}. 1. Calculer E [X]. 2. Calculer E [Y |X = n] et en déduire E [Y |X], puis E [Y ]. 3. Calculer la loi jointe de (X, Y ). 4. Déterminer la loi de Y . 5. Calculer E [X|Y = i] (∀i ∈ N0 ) et en déduire E [X|Y ]. 6. Calculer la covariance de X et Y . Exercice 10.

Un mineur est prisonnier dans un puit d'où partent trois tunnels. Le premier de ces tunnels le mènerait à la sortie au bout de 3 heures de marche. Le second tunnel le ramènerait à son point de départ au bout de 5 heures de marches, ainsi que le troisième au bout de 7 heures de marche. Si à chaque choix qu'il fait le mineur emprunte n'importe quel tunnel avec la même probabilité, quelle sera la durée moyenne de sa tentative de sortie ? Exercice 11.

Une poule pond N oeufs, où N suit une loi de Poisson de paramètre λ. Chaque oeuf éclot avec probabilité p, indépendamment des autres oeufs. Soit K le nombre de poussins. Calculer : 1. Le nombre moyen de poussins, sachant le nombre d'oeufs pondus, 2. Le nombre moyen de poussins, 3. Le nombre moyen d'oeufs pondus, connaissant le nombre de poussins qui sont nés. Exercice 12.

Sur un échangeur autoroutier, le nombre de véhicules arrivant en une heure suit une loi de Poisson de paramètre 100. Les véhicules ont alors le choix entre deux directions A ou B, ils choisissent A avec probabilité 13 (indépendamment les uns des autres). Sachant que 100 véhicules ont pris la direction A en une heure, quel est le nombre moyen de voitures qui sont passées par l'échangeur ?

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