Seminar Algebra II SS 2005 Endlichdimensionale Schiefkörper über R

Seminar Algebra II SS 2005 Endlichdimensionale Schiefk¨ orper u ¨ ber R Tanja Penner 25.05.2005

Inhaltsverzeichnis Einleitung

2

1 Grundbegriffe aus der Theorie der Quaternionen 1.1 Die Hamiltonsche Quaternionenalgebra H . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3

2 Satz von Frobenius 2.1 Zur Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Satz von Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 4

Anhang

9

Literaturverzeichnis

10

1

Einleitung Hyperkomplexe Systeme von Zahlen heißen seit Beginn des 20. Jahrhunderts reelle Algebren. Ist die Division eindeutig ausf¨ uhrbar, so spricht man von Divisionsalgebren. Die klassische - von R und C verschiedene -Divisionsalgebra ist die vierdimensionale Quaternionenalgebra. In dieser Ausarbeitung wird zun¨achst ein Einblick in die Theorie der Quaternionen gegeben und anschließend, im Kapitel 2, der ber¨ uhmte Satz von Frobenius u ¨ber die Einzigkeit der Quaternionen bewiesen.

2

Kapitel 1 Grundbegriffe aus der Theorie der Quaternionen 1.1

Die Hamiltonsche Quaternionenalgebra H

Die Quaternionen bilden einen 4-dimensionalen reellen Vektorraum mit einer Basis (1, i, j, k), auf dem ein assoziatives und distributives Produkt so erkl¨art ist, dass 1 Einselement ist und dass die Relationen i2 = j 2 = k 2 = −1 und ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j gelten. Das ist die sogenannte Hamiltonsche Multiplikationstafel. Wegen ij 6= ji ist klar: Die Quaternionen-Algebra H ist nicht kommutativ. Die weiteren Produkte der Basisquaternionen entstehen aus ij = k durch die zyklische Vertauschung von i, j, k. Durch distributives Ausrechnen erh¨alt man damit die Produktformel: e +γ e = (αe e (α + βi + γj + δk)(e α + βi ej + δk) α − β βe − γe γ − δ δ) e + (αδe + βe +(αβe + β α e + γ δe − δe γ )i + (αe γ − β δe + γ α e + δ β)j γ − γ βe + δ α e)k. L Auf C = R iR erh¨alt man die gewohnte Multiplikation der komplexen Zahlen, indem man γ = 0 = δ und γ e = 0 = δe setzt.

H ist ein Beispiel f¨ ur einen nicht kommutativen Ring mit Einselement, in dem jedes Element 6= 0 invertierbar ist. (Sei q = α + βi + γj + δk 6= 0. Mit q = α − βi − γj − δk 6= 0 hat man qq = α2 + β 2 + γ 2 + δ 2 und damit f¨ ur q 6= 0 q −1 =

α − βi − γj − δk q = 2 . qq α + β 2 + γ 2 + δ2

= 1 und q −1 q = In der Tat gilt dann wegen qq = qq: qq −1 = qq qq Also qq −1 = q −1 q = 1.) Solche Ringe heißen auch Schiefk¨orper oder Divisionsalgebren.

qq qq

= 1.

Definition 1.1.1 Eine assoziative Algebra D u ¨ber dem K¨orper R der reellen Zahlen mit Einselement mit der Eigenschaft, dass alle Elemente 6= 0 ein Inverses haben, heißt Divisionsalgebra. 3

Kapitel 2 Satz von Frobenius 2.1

Zur Geschichte

In der zweiten H¨alfte des 19. Jahrhunderts wurden neben den Quaternionen viele weitere hyperkomplexe Systeme entdeckt und erforscht. Die Flut neuer hyperkomplexer Systeme u ¨berschwemmte die gesamte Algebra. Einen ersten pr¨azisen Einzigkeitssatz bewies 1877 Ferdinand Georg Frobenius (geb. 1849 in Berlin; Sch¨ uler von Weierstrass, 1875 Professor am Polytechnikum in Z¨ urich, ab 1892 Professor an der Universit¨at in Berlin; f¨orderte die abstrakte Betrachtungsweise in der Algebra, wichtige Anwendungen seiner Darstellungstheorie ergaben sich in der Quaternionentheorie; gest. 1917 in Charlotten¨ burg)(s. Anhang). In seiner im Crelleschen Journal ver¨offentlichten Arbeit Uber lineare Substitutionen und bilineare Formen zeigte er, dass es bis auf Isomorphie nur drei reelle endlichdimensionale, assoziative Divisionsalgebren gibt: R selbst, C und H. Dieser ber¨ uhmte Satz, der 1881 unabh¨angig von dem amerikanischen Mathematiker Charles Sanders Peirce (1839-1914, Sohn von Benjamin Peirce) bewiesen wurde, zeigte den Algebraikern erstmals Grenzen ihrer f¨ ur allm¨achtig gehaltenen Konstruktionsverfahren. H¨atte Hamilton den Satz von Frobenius gekannt, so w¨aren ihm Jahre harter Arbeit bei seiner vergeblichen Suche nach dreidimensionalen, assoziativen Divisionsalgebren erspart geblieben.

2.2

Satz von Frobenius

Vorbemerkung 2.2.1 Es sei D 6= 0 eine endlichdimensionale Divisionsalgebra u ¨ber dem K¨orper R der reellen Zahlen. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt: Falls D kommutativ ist (ein K¨orper), dann sind zwei F¨alle m¨oglich: 1) D ist isomorph zum K¨orper R der reellen Zahlen. 2) D ist isomorph zum K¨orper C der komplexen Zahlen. Satz 2.2.2 (Frobenius(1877)) Es sei D 6= 0 eine endlichdimensionale Divisionsalgebra u ¨ber dem K¨orper R. Sei D nicht kommutativ, dann gibt es nur eine M¨oglichkeit: D ist isomorph zur Algebra H der Quaternionen. Man kann den Satz von Frobenius auf zwei Arten beweisen: entweder ist es ein elementarer Beweis mit viel Rechnen, oder man folgert den Satz aus allgemeinen Resultaten u ¨ber 4

Algebren. Einen besonders einfachen Beweis des Satzes findet man bei R.S.Palais, was hier vorgef¨ uhrt wird. Bemerkung 2.2.3 Der von 1 und i erzeugte zweidimensionale Untervektorraum von H ist isomorph zum K¨orper C der komplexen Zahlen. H ist ein Vektorraum u ur die Skalaroperati¨ber C (man benutzt die Linksmultiplikation f¨ on). Ferner ist C = {x ∈ H | ix = xi}. (Sei x = α + βi + γj + δk, dann xi = αi + βii + γji + δki = αi + β(−1) + γ(ji) + δ(ki), ix = αi + βii + γij + δik = αi + β(−1) + γ(ij) + δ(ik). Also ix = xi ⇐⇒ γ = 0 = δ.) Und der von j und k aufgespannte zweidimensionaler Raum ist {x ∈ H | ix = −xi}. Beweis des Satzes: Sei 1 das Einselement von D. Denken wir uns R als in D eingebettet per x 7→ x · 1. Sei d ein Element aus D und nicht aus R, so bezeichnet man den zweidimensionalen Untervektorraum R + Rd, aufgespannt von 1 und d, mit Rhdi. Behauptung 1: Rhdi ist eine maximale kommutative Teilmenge von D, die aus allen Elementen von D besteht, welche mit d kommutieren. Ferner ist es ein zu C isomorpher K¨orper.

Beweis der Beh.1: Unter den Untervektorr¨aumen, die Rhdi enthalten und kommutativ sind, sei F einer von maximaler Dimension. Falls x ∈ D mit allen Elementen aus F kommutiert, dann ist F +Rx kommutativ und muss gleich F sein. Also folgt x ∈ F , sodass F eine maximale kommutative Teilmenge von D ist. Falls x 6= 0 aus F ist, dann kommutiert x−1 mit allen Elementen aus F, da xy = yx ⇒ yx−1 = x−1 y. Also ist x−1 ∈ F und F ist ein K¨orper. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist F u ¨ber R isomorph zu C. Insbesondere hat F Dimension 2, also gilt F = Rhdi. Schließlich, falls x ∈ D mit d kommutiert, so kommutiert x mit allen Elementen aus Rhdi = F , geh¨ort also x zu F. ¤ Nach Behauptung 1 kann man ein Element i ∈ D w¨ahlen, sodass i2 = −1 ist. Dann kann man Rhii mit C identifizieren. D ist nicht nur ein Vektorraum u ¨ber R, sondern auch ein 5

Vektorraum u ¨ber C, und zwar wird die Skalaroperation von C durch die Linksmultiplikation auf D gegeben. Andererseits kann die Rechtsmultiplikation mit i als eine (komplex) lineare Abbildung auf dem komplexen Vektorraum D interpretiert werden. D.h., T x ≡ xi.

(2.1)

Man hat dann T 2 = −id, daher sind +i und −i die einzig m¨oglichen Eigenwerte von T. Die zugeh¨origen Eigenr¨aume seien D+ und D− : D+ = {x ∈ D|xi = ix}, D− = {x ∈ D|xi = −ix}. Nat¨ urlich gilt D+

T

(2.2)

D− = {0}.

Behauptung 2: D = D+

M

D− .

(2.3)

Dies folgt unmittelbar aus der Zerlegung 1 1 x = (x − ixi) + (x + ixi), 2 2 denn x − ixi ∈ D+ [(x − ixi)i = xi − ixii = xi + ix, i(x − ixi) = ix − iixi = ix + xi =⇒ (x − ixi)i = i(x − ixi)] und x + ixi ∈ D− [(x + ixi)i = xi + ixii = xi − ix, −i(x + ixi) = −ix − iixi = −ix + xi =⇒ (x + ixi)i = −i(x + ixi)]. ¤ Behauptung 3: D+ = C; x, y ∈ D− =⇒ xy ∈ D+ .

(2.4)

Beweis der Beh.3: Die erste Aussage folgt aus der Behauptung 1. Beweisen wir nun die zweite Aussage: Seien x, y ∈ D− . xyi = −xiy wegen y ∈ D− , ixy = −xiy wegen x ∈ D− =⇒ xyi = ixy =⇒ xy ∈ D+ . 6

¤ Falls D− = 0 ist, dann gilt nach Beh.2,(2.3) und Beh.3,(2.4) D = C. Also gilt D− 6= 0. Und nun wird gezeigt, dass D zu H isomorph ist. Behauptung 4: dimC D− = 1.

(2.5)

Beweis der Beh.4: W¨ahle ein α ∈ D− , α 6= 0. Dann beschreibt die Rechtsmultiplikation mit α eine komplex lineare Abbildung auf D, die umkehrbar ist (Umkehrabbildung ist die Rechtsmultiplikation mit α−1 ) und dabei gilt wegen (2.4): D− · α = D+ , also dimC D− = dimC D+ = 1. ¤ Damit folgt nach Beh.2, Beh.3 und Beh.4: dimC D = 2, also dimR D = 4. Behauptung 5: F¨ ur α 6= 0 in D− : α2 ∈ R und α2 < 0.

(2.6)

Beweis der Beh.5: Nach der Beh.1 ist Rhαi ein K¨orper, der α2 enth¨alt. Ebenfalls ist α2 ∈ C nach Beh.3,(2.4) und deshalb α2 ∈ C ∩ Rhαi = R. Wir zeigen zuerst: C ∩ Rhαi = R. α 6= 0 in D− , also α2 6= 0 in D+ = C. Andererseits α2 ∈ Rhαi (das ist K¨orper nach Beh.1). α2 = a + bi ∈ C = u + vα ∈ Rhαi W¨are v 6= 0, so folgte vα = α2 − u = a − u + bi ∈ C, also

1 α = (a − u + bi) ∈ C. v 2 Widerspruch! Daher α = u ∈ R. Falls α2 > 0 w¨are, dann w¨ urde α2 zwei Quadratwurzeln in R haben, daher drei Quadratwurzeln im K¨orper Rhαi, was unm¨oglich ist: in einem K¨orper hat ein Polynom x2 + a h¨ochstens zwei Nullstellen. ¤

7

Setzen wir nun j = αr , j ∈ D− mit r ∈ R, sodass r2 = −α2 , so folgt j2 =

α2 = −1. r2

Setzt man schließlich k = ij, so bilden j und k eine R-Basis von D− = Cj. Dann sind 1, i, j, k insgesamt eine R-Basis f¨ ur D. Wegen j, k ∈ D− hat man ij = −ji, ik = −ki. Zusammen mit i2 = j 2 = −1 und k = ij folgt, dass die Multiplikationstafel f¨ ur die Quaternionen erf¨ ullt ist. ¤

8

Anhang

Abbildung 1: Ferdinand Georg Frobenius “Wir sind also zu dem Resultate gelangt, dass ausser den reellen Zahlen (m = 0), den imagin¨aren Zahlen (m = 1) und den Quaternionen (m = 3) keine andern complexen Zahlen in dem oben definirten Sinne existiren.“ (Frobenius [4], S. 63)

9

Literaturverzeichnis [1] R.S.Palais The Classification of Real Division Algebras, Amer. Math. Monthly 75, 366-368 (1968) [2] Ebbinghaus et al. Zahlen, Springer-Verlag, 1992 [3] W.Fischer, J.Gamst, K. Horneffer Skript zur Linearen Algebra, Band 2, MathematikArbeitspapiere Nr. 14, 1997 ¨ [4] F.G.Frobenius Uber lineare Substitutionen und bilineare Formen, Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik 84, 1-63 (1878)

10