Si deux triangles ont ______ angles égaux deux à deux

Triangle isométriques. Triangles semblables

I)

Triangles isométriques

Définition : On dit que deux triangles sont isométriques lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur. Exemple : Soit ABCD un parallélogramme de centre O. Les triangles OAB et ________ sont isométriques car _____________, ______________,______________ Propriétés (admises) : 1. Si un triangle est l’image d’un autre par une translation, une rotation ou une symétrie axiale, alors les triangles sont isométriques. 2. Si deux triangles sont isométriques, alors l’un est image de l’autre par une translation, rotation ou une symétrie axiale ou une succession de telles transformations. Théorème:  Si deux triangles sont isométriques, alors leurs angles sont égaux deux à deux.  Deux triangles isométriques ont la même aire. Démonstration :

Cas d’isométrie : Théorème (admis) : Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés deux à deux de même longueur, alors ils sont isométriques. Autrement dit si deux triangles ABC et MNP sont tels que _____________, ______________,______________, alors ils sont isométriques.

Théorème (admis) : Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles égaux deux à deux, alors ils sont isométriques. Autrement dit si deux triangles ABC et MNP sont tels que _____________, ______________,______________, alors ils sont isométriques.

Remarque : Sur la figure ci-contre, les triangles ABC et ABC’ ont le côté [AB] en commun, l’angle  en commun et BC=BC’, mais ils ne sont pas isométriques. Donc, si deux triangles ont un angle de même mesure et deux côtés deux à deux de même longueur, cela ne suffit pas pour affirmer qu’ils sont isométriques. Cas particulier pour les triangles rectangles : Si deux triangles rectangles ont leurs hypoténuses de même longueur et un côté de l’angle droit de même longueur, alors ils sont isométriques.

II)

Triangles de même forme – Triangles semblables

Définition : On dit que deux triangles sont de même forme lorsque leurs angles sont égaux deux à deux. Remarque : On dit aussi que deux triangles de même forme sont semblables. Exemples : Deux triangles équilatéraux ABC et EFG sont de même forme car ____________________________ et ____________________________. Si de plus I est le milieu de [BC] et K le milieu de [FG], alors les triangles ABI et EKF (ou EKG) sont de même forme car ______________________________________ ________________________________________________________________________________

Remarque : Si deux triangles ont _____________ angles égaux deux à deux, alors ils sont de même forme.

Théorème : Si deux triangles sont de même forme, alors les côtés opposés aux angles égaux ont leurs longueurs proportionnelles. Démonstration : On considère deux triangles ABC et MNP tels que ̂A = M ̂,B ̂ =P ̂ et Ĉ = N ̂. Construire le point P’ de la demi-droite [AB) tel que AP’=MP et le point N’ de la demi-droite [AC) tel que AN’=MN. Justifier que les triangles MNP et AN’P’ sont isométriques. MP MN NP Montrer que = = AB AC BC

Réciproquement : Si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés proportionnelles, alors ils sont de même forme. Propriété : Soient ABC et MNP deux triangles de même forme et 𝑘 le coefficient de proportionnalité entre les longueurs des côtés, alors le rapport des aires est égal à _______