Signaleringen mellan cellerna i nerver och muskler är elektrisk till

HELSINGIN SEUDUN BIOTEKNIIKAN KOULUTUSOHJELMA VALINTAKOE C-osa 24.5.2010 Sukunimi____________________________ Etunimet____________________________ Henkilötunnus________________________ MATEMATIIKKA (20 p) Solujen välinen viestintä hermoissa ja lihaksissa on luonteeltaan sähköistä. Sähköisen potentiaalieron solukalvon yli synnyttävät ionipitoisuuksien erot solun sisällä ja solun ulkopuolella. Tärkeitä ioneja tässä yhteydessä ovat K+, Na+, Ca2+, ja Cl . Erilaiset herätteet avaavat kalvossa ionikanavia, joiden kautta natrium- ja kaliumionit voivat virrata. Tämä johtaa kalvopotentiaalin hetkellisiin muutoksiin, jotka vuorostaan stimuloivat solukalvon lähialueita. Tuloksena on sähköinen signaali joka etenee pitkin hermosolua. SI-järjestelmän (Système International d’Unité) sähköinen perussuure on sähkövirta (symboli I). Sähkövirran yksikkö on amppeeri (A). Sähkövirta 1 A kuljettaa sekunnissa sähkövarauksen 1 C (coulomb), 1 A = 1 Cs 1, 1 C = 1 As. Tämä on 1/96485 moolia, eli 10,36 mol elektronivarauksia sekunnissa. Kahden pisteen välinen sähköinen potentiaaliero E on 1 V (voltti) jos 1 C varauksen kitkaton kuljettaminen pisteiden välillä vaatii 1 J (joule) työtä, 1 V = 1 JC 1. Fysikaalisia suureita ja niiden yksiköitä käsitellään kerto- ja jakolaskuissa kuten mitä tahansa numeerisia tekijöitä. Sähköä johtavan väliaineen sähkönjohtokykyä g kuvaa konduktanssi, jonka yksikkö on siemen (S),

I

gE.

Tämä on Ohmin laki yksinkertaiselle sähköä johtavalle kappaleelle. Sähkönjohtokyky on 1 S jos kahden pinnan välinen 1 V jännite synnyttää 1 A virran pintojen välille, 1 S = 1 AV 1. Sähköenergia muuttuu lämmöksi. Lämpöteho on 1 W = 1 Js 1. Sähkövastus (resistanssi R) sähkönjohtokyvyn käänteisarvo ja sen yksikkö on ohmi ( ). 1 = 1 V A 1. Ohmin laki voidaan myös kirjoittaa muodossa E

IR.

Suurempi resistanssi johtaa annetulla jännitteellä pienempään virtaan. Homogeenisen sähköä johtavan väliaineen ominaisvastus eli resistiivisyys kuvaa materiaalin sähkönjohtokykyä. Sylinterinmuotoisen kappaleen päiden välinen resistanssi l on R , A 1

missä l tarkoittaa sylinterin pituutta ja A sen poikkipinta-alaa. Käyttökelpoinen ominaisvastuksen yksikkö on cm . Liuoksen ominaisvastus pienenee kun siihen lisätään suolaa. Fosfolipidin muodostaman kaksoiskalvon ominaisvastus on niinkin korkea kuin 1015 ·cm. Siitä huolimatta, että fysiologiset ionit voivat liikkua lipidissä ne ovat mieluummin vesiliuoksessa kuin hydrofobisessa lipidissä. Kalvoille määrittelemme usein ominaisvastusta kalvon vastuksena neliösenttimetriä kohden. Olettaen, että kaksoiskalvon paksuus on 2 nm (2·10 7 cm) on sen ominaisvastus RM l 1015 cm 2 10 7 cm 2 108 cm 2 . 1 Ominaissähkönjohtavuus on g M 0, 5 10 8 S cm 2 5 nS/cm 2 . RM Lipidi ei määrää biologisten kalvojen sähkönjohtavuutta. Sähkönjohtavuuden määrää lipidiin upotetut ionikanavat. a) Oleta, että kalvo sisältää K+-selektiivisiä ionikanavia, jotka jokainen lisää sähkönjohtavuutta 20 pS (20·10 12 S). Oleta, että keskimäärin 0,5 ionikanavaa neliömikrometriä kohti on auki. Määritä kalvon ominaissähkönjohtavuus gK ja ominaisvastus RK. Mallivastaus:

gK RK

0,5 20 10 12 S/ m 2 10-8 cm 2 / m 2 1 103 cm 2 . gK

10 3 S/cm 2

1 mS/cm 2

Solukalvoa voidaan pitää sähköisenä kondensaattorina koska kalvo toimii sähkövarausten erottajana. Kondensaattorin kapasitanssi määritellään kondensaattorilevyjen varausten ja kondensaattorin yli vaikuttavan jännitteen osamääränä, C = q/E. Kapasitanssin SIyksikkö on 1 F (farad). 1 F = 1 C V 1, mikä on hyvin suuri kapasitanssi. Koska kalvo on hyvin ohut, voidaan soveltaa levykondensaattorin kaavaa rajatulle kalvon pinnalle, A C . 0 r d Levykondensaattorin kapasitanssin kaavassa 8,8542 10 12 C V 1 m 1 . 0 on tyhjiön permittivisyys, 0 -

on kalvon suhteellinen permittiivisyys, r 2,1 hiilivetyketjuille. A kondensaattorilevyjen pinta-ala d on kondensaattorilevyjen etäisyys toisistaan. r

Kalvon ominaiskapasitanssia CM määritellään kapasitanssina kalvon neliösenttimetriä kohti. Se on suuruusluokaltaan 1 F/cm2, mikä on hyvin suuri kapasitanssi, mikä selittyy sillä, että kalvo on hyvin ohut.

2

b) Rasvan (lipidin) muodostaman kaksoiskalvon ominaiskapasitanssi on noin 0,8 F/cm2. Määritä kaksoiskalvon eristävän osan paksuus. Mallivastaus:

C

0 r

A d

d

0 r

C

A

8,8542 10

12

C V 1 m 1 2,1 10 0,8 10 6 C V 1

4

m2

2,3 10

9

m.

Jos täydellisesti K+-spesifisiä ionikanavia sisältävä kalvo erottaa eripitoisia K+ioniliuoksia toisistaan, syntyy K+-ionien nettovirta väkevämmästä liuoksesta laimeampaan liuokseen. Koska muiden ionien virtaus kalvon läpi on nolla, syntyy positiivinen varaus sillä puolella kalvoa, johon ionit ovat virranneet. Tämä johtaa lyhyen ajan kuluessa ionivirran tyrehtymiseen. Nernstin yhtälö antaa solun sisäisen ja solun ulkopuolisen kaliumionien konsentraatioeron synnyttämän sähköisen potentiaalieron tasapainotilassa. Vastaavanlainen yhtälö voidaan kirjoittaa muillekin ioneille. K+ RT o ln . EK zF K+ i Tämän yhtälön suureet ovat 1 - EK = potentiaaliero i o. Yksikkö on 1 V (voltti) = 1 J C . i on solukalvon sisäpuolinen sähköpotentiaali ja o solukalvon ulkopuolinen sähköpotentiaali. - R = kaasuvakio = 8,3145 J K 1 mol 1 (K = kelvin, mooli on ainemäärän mitta). - Ainemäärä 1 mol sisältää NA atomia, ionia, molekyyleja tai alkeisvarauksia. - NA = 6,0221·1023 mol 1 on Avogadron luku. - T = absoluuttinen lämpötila (mitataan kelvineissä). - T (kelvin) = t (celsiusasteet) + 273,15 K. - F = 96485 C mol 1 = Faradayn vakio. - z on ionin varaus. Kaliumioneille z = 1. - [K+]o = kaliumionikonsentraatio (mol 1) solun ulkopuolella. 1 = 1 litra - [K+]i = kaliumionikonsentraatio (mol 1) solun sisäpuolella. Nernstin yhtälössä logaritmia edeltävän tekijän yksikkö on R T RT J mol 1 K 1 K J V. Tämä on sähköjännitteen yksikkö. F F C mol 1 C Kaliumionien tasapainopotentiaali nisäkkäiden luustolihasten solukalvon yli lämpötilassa t = 37°C (T = 310,15 K) on 98 mV. 1 mV (millivoltti) = 10 3 V.

c) Määrää solunsisäinen kaliumionipitoisuus tasapainotilassa jos pitoisuus solun ulkopuolisessa nesteessä on 4 mmol/ (1 mmol (millimooli) on 10 3 mol), tasapainopotentiaali on 98 mV ja lämpötila 37°C.

3

Mallivastaus: RT 8,3145 J mol 1 K 1 310,15 K 26, 73 mV zF 1 96485 C mol 1 K+ K+ 98 mV o o 98 mV 26, 73 mV ln ln + + 26, 73 mV K K i

K

+ i

e

3,6667

K

+

e

o

3,6667

K+

3, 6667

K

i

4 mmol/

39,12 4 mmol/

o

+

156,5 mmol/

e

3,6667

i

160 mmol/ .

Jännitys (potentiaaliero) solukalvon yli ei synny heti kun eripitoiset kaliumioniliuokset lisätään kalvon kummallekin puolelle. Sitä mukaa kun kaliumionit kulkeutuvat kalvon läpi kasvaa vastajännite, joka vastustaa diffuusiota. Diffuusiota kalvon läpi voidaan kuvata ekvivalentilla sähköpiirillä, jota muodostaa ionikanava, jonka sähkönjohtavuus on g K ja jossa vaikuttaa sähkövirtaa synnyttävä sähkömotorinen voima EK ja rinnan tämän kanssa kondensaattori kapasitanssilla CM . Sähkövirta ionikanavan läpi varaa kondensaattorin, jonka jännite kasvaa ja lopulta tasapainottaa ionikanavan sähkömotorista voimaa. Prosessia kuvaa yhtälö I K g K E EK . Solukalvon jännitteen muutoksen määrää kulkeutunut sähkövaraus dq dE . CM Ionivirta kanavan läpi on dq dE dE 1 IK CM g K E EK E EK . dt dt dt RK CM Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on E EK 1 e t / , missä piirin aikavakio on

RK CM .

d) Määrää tehtävien a) (RK = 103

·cm2) ja b) (CM = 0,8 F/cm2) kalvon aikavakio.

Mallivastaus: RK CM

103

cm 2 .0,8 10

6

C V 1 cm

2

0,8 ms.

e) Kauanko kestää ennen kuin jännite saavuttaa 50 % loppuarvosta? Mallivastaus: E t

EK 1 e

t/

ln 0, 5

0,693

0,5EK t

1 e 0, 693

t/

0,5

e

t/

0, 693 0,8 10 3 s

0, 5 0,55 ms.

4

HELSINGFORSREGIONENS UTBILDNINGSPROGRAM I BIOTEKNIK URVALSPROVET C-del 24.5.2010 Efternamn___________________________ Förnamn____________________________ Personbeteckning_____________________ MATEMATIK (20 p) Signaleringen mellan cellerna i nerver och muskler är elektrisk till sin natur. Den elektriska potentialskillnaden över ett cellmembran orsakas av skillnaden i jonkoncentration innanför och utanför cellen. Viktiga joner i detta sammanhang är K+, Na+, Ca2+, och Cl . Stimuli av olika slag öppnar jonkanaler i membranet genom vilka natrium- och kaliumjoner kan strömma. Detta leder till momentana förändringar i membranpotentialen, som i sin tur stimulerar angränsande områden i cellmembranet. Resultatet är en elektrisk signal som fortplantas längs med nervcellen. Den elektriska grundstorheten i SI-systemet (Système International d’Unité) är elektrisk ström (symbolen I). Den mäts i ampere (A). Strömmen 1 A transporterar den elektriska laddningen 1 C (coulomb) i sekunden, 1 A = 1 Cs 1, 1 C = 1 As. Detta är 1/96485 mol eller 10,36 mol elektronladdningar i sekunden. Den elektriska potentialskillnaden E mellan två punkter är 1 V (volt) om det krävs arbetet 1 J (joule) för att friktionsfritt transportera den elektriska laddningen 1 C mellan punkterna, 1 V = 1 JC 1. De fysikaliska storheterna och deras enheter behandlas vid multiplikation och division som vilka numeriska faktorer som helst. Ett elektriskt ledande mediums förmåga att leda elektrisk ström beskrivs av konduktansen g (ledningsförmågan), som mäts i siemen (S),

I

gE.

Detta är Ohms lag för en enkel elektrisk konduktor. Ledningsförmågan är 1 S om spänningen 1 V mellan två ytor leder till en elektrisk ström mellan ytorna av storleken 1 A, 1 S = 1 AV 1. Den elektriska energin omvandlas till värme. Värmeeffekten är 1 W = 1 Js 1. Det elektriska motståndet (resistansen R) är inversen av ledningsförmågan, och mäts i ohm ( ). 1 = 1 V A 1. Ohms lag kan också skrivas i formen E

IR.

En större resistans leder till en mindre ström för en given spänning.

5

Den specifika resistansen för ett homogent elektriskt ledande material karakteriserar materialets ledningsförmåga. Resistansen mellan ändytorna av en cylinderformad konduktor är l R , A där l anger längden hos cylindern och A dess tvärsnitt. En användbar enhet för resistiviteten är cm . Resistiviteten sjunker när man adderar salt till en vattenlösning. Resistiviteten hos ett fosfolipid dubbellager i en saltlösning är så hög som 1015 ·cm. Trots att fysiologiska joner kan röra sig i lipiden föredrar de vattenlösningen framom den hydrofoba lipiden. För membraner definierar vi ofta den specifika resistansen som membranets resistans per kvadratcentimeter. Under antagandet att lipid dubbellagrets tjocklek är 2 nm (2·10 7 cm) är dess specifika resistans RM l 1015 cm 2 10 7 cm 2 108 cm 2 . 1 Den specifika konduktansen är g M 0, 5 10 8 S cm 2 5 nS/cm 2 . RM Den elektriska konduktiviteten hos biologiska membraner bestäms inte av lipiden, utan av de jonkanaler som finns inbäddade i lipiden. a) Antag att membranet innehåller K+-selektiva jonkanaler, som var och en bidrar med konduktiviteten 20 pS (20·10 12 S). Antag att i medeltal 0,5 jonkanaler per kvadratmikrometer är öppna. Beräkna membranets specifika konduktivitet gK och specifika resistans RK. Svar:

gK RK

0,5 20 10 12 S/ m 2 10-8 cm 2 / m 2 1 103 cm 2 . gK

10 3 S/cm 2

1 mS/cm 2

Cellmembranet kan betraktas som en elektrisk kondensator eftersom membranet fungerar som en separator av elektriska laddningar. Kondensatorns kapacitans definieras som kvoten av laddningen på kondensatorns plattor och den elektriska spänningen över kondensatorn, C = q/E. SI-enheten för kapacitans är 1 F (farad). 1 F = 1 C V 1, vilket är en mycket stor kapacitans. Eftersom ett membran är väldigt tunt kan vi tillämpa formeln for skivkondensatorns kapacitans på en begränsad del av membranets yta: A C . 0 r d I formeln för skivkondensatorns kapacitans är 8,8542 10 12 C V 1 m 1 . 0 permittiviteten för vakuum, 0

6

-

den relativa dielektricitetskonstanten för membranet. kolvätekedjor. A är skivkondensatorplattornas yta d är avståndet mellan plattorna. r

r

2,1 för

Membranets specifika kapacitans CM definieras som kapacitansen per kvadratcentimeter av membranet. Den är av storleksordningen 1 F/cm2, vilket är en mycket stor kapacitans, vilket förklaras av att membranet är mycket tunt. b) Den specifika kapacitansen hos ett dubbellager av fetter (lipider) är ungefär 0,8 F/cm2. Bestäm tjockleken hos den isolerande delen av dubbellagret. Svar:

C

0 r

A d

d

0 r

C

A

8,8542 10

12

C V 1 m 1 2,1 10 0,8 10 6 C V 1

4

m2

2,3 10

9

m.

Om ett membran med perfekt K+-specifika jonkanaler separerar lösningar med olika koncentration av K+-joner uppkommer en nettoström av dessa från den mera koncentrerade lösningen till den mera utspädda lösningen. Eftersom flödet av andra joner är noll uppkommer ett överskott av positiv laddning på den sida dit jonerna diffunderat, vilket så småningom minskar nettoflödet till noll. Nernsts ekvation ger den elektriska potentialskillnaden orsakad av skillnaden i kaliumjonkoncentrationen innanför och utanför cellen när jämvikt uppnåtts. Motsvarande ekvation kan skrivas för andra joner. K+ RT o ln . EK + zF K i Storheterna i denna ekvation är 1 - EK = potentialskillnaden i o. Enheten är 1 V (volt) = 1 J C . i är den elektriska potentialen innanför cellmembranen och o den elektriska potentialen utanför cellmembranen. - R = gaskonstanten = 8,3145 J K 1 mol 1 (K = kelvin, mol är ett mått på ämnesmängden). - Ämnesmängden 1 mol innehåller NA atomer, joner, molekyler eller elementarladdningar. - NA = 6,0221·1023 mol 1 är Avogadros tal. - T = den absoluta temperaturen (mäts i kelvin). - T (kelvin) = t (celsiusgrader) + 273,15 K. - F = 96485 C mol 1 = Faradays konstant. - z är jonens laddning. För kaliumjonerna är z = 1. - [K+]o = kaliumjonkoncentrationen (mol 1) utanför cellen. 1 = 1 liter - [K+]i = kaliumjonkoncentrationen (mol 1) innanför cellen.

7

I Nernsts ekvation blir enheten för faktorn framför logaritmen R T RT J mol 1 K 1 K J V. Detta ät enheten för elektrisk spänning. F F C mol 1 C Jämviktspotentialen för kaliumjoner över cellmembranet hos däggdjurens skelettmuskler vid temperaturen t = 37°C (T = 310,15 K) är 98 mV. 1 mV (millivolt) = 10 3 V. c) Bestäm kaliumjonkoncentrationen inne i cellen vid jämvikt om koncentrationen i den extracellulära vätskan är 4 mmol/ (1 mmol (millimol) är 10 3 mol), membranpotentiaalen är 98 mV och temperaturen 37°C Svar: RT 8,3145 J mol 1 K 1 310,15 K 26, 73 mV zF 1 96485 C mol 1 K+ K+ 98 mV o o 98 mV 26, 73 mV ln ln + + 26, 73 mV K K i

K

+ i

e

3,6667

K

+ o

e

3,6667

i

4 mmol/

39,12 4 mmol/

3, 6667

K+ K

156,5 mmol/

o

+

e

3,6667

i

160 mmol/ .

Spänningen (potentialskillnaden) över cellmembranet uppkommer inte omedelbart när kaliumjonlösningarna med olika kaliumjonhalt tillförs på båda sidor av membranet. I takt med att kaliumjonerna diffunderar genom membranet växer motspänningen som motverkar diffusionen. Diffusionen genom membranet kan beskrivas med en ekvivalent elektrisk strömkrets bestående av en jonkanal med konduktiviteten g K i vilken verkar en pådrivande elektromotoriska kraft EK och parallellt med denna en kondensator med kapacitansen CM . Den elektriska strömmen genom jonkanalen laddar kondensatorn, vars spänning växer och till sist balanserar den elektromotoriska kraften i jonkanalen. Processen beskrivs av ekvationen I K g K E EK . Förändringen i spänningen över membranet bestäms av den diffunderade laddningen dq dE . CM Jonströmmen genom kanalen är dq dE dE 1 IK CM g K E EK E EK . dt dt dt RK CM Lösningen till denna differentialekvation är E EK 1 e t / , där kretsens tidskonstant är

RK CM .

8

d) Beräkna tidskonstanten för membranet som behandlades i a) (RK = 103 och b) frågan (CM = 0,8 F/cm2). Svar: RK CM 103 cm 2 .0,8 10 6 C V 1 cm 2 0,8 ms.

·cm2)

e) Hur lång tid tar det för spänningen att nå 50 % av slutvärdet? Svar: E EK 1 e t / 0,5EK 1 e t/ 0,5 e t / 0, 5 t

ln 0, 5

0,693

t

0, 693

0, 693 0,8 10 3 s

0,55 ms.

9