Simulations pseudo-aléatoires Techniques et applications

Enseignement des statistiques et des probabilités en LP dan le cadre du nouveau programme Bac pro 3 ans 30.0%

25.0%

20.0%

1 5.0%

1 0.0%

5.0%

0.0% 1

3

5

7

9

1 1

1 3

1 5

1 7

1 9

21

23

25

Rappel des objectifs du stage… Objectif : - Mettre en œuvre les nouveaux programmes. - Savoir utiliser un tableur pour : traiter, résoudre, représenter, simuler des expériences aléatoires et illustrer les lois de probabilités.

Contenu : - Apports théoriques sur les probabilités : vocabulaire probabiliste, variables aléatoires, lois de probabilités, fluctuation d’échantillonnage - Etude et réflexion sur des cas concrets. - Utilisation de tableur comme outil privilégié de traitement des problèmes liés au hasard.

Les objectifs principaux seconde

Première

terminale

- exploiter des données ; - apprendre à identifier, classer, hiérarchiser l'information ; - interpréter un résultat statistique ; - gérer des situations simples relevant des probabilités. Le calcul d’indicateurs, la construction de graphiques et la simulation d’expériences aléatoires à l’aide des TIC sont indispensables et constituent une obligation de formation.

Classe de seconde Statistique à une variable L’objectif de ce module est de consolider les acquis du collège en s’appuyant sur des exemples (…) L'utilisation des TIC est nécessaire.

Classe de première Statistique à une variable Réactiver les capacités et connaissances de seconde professionnelle en statistique et les compléter par les notions d’écart type et d’écart interquartile. (…). L’usage des TIC est nécessaire pour les calculs des indicateurs et les graphiques.

Classe de terminale Statistique à deux variables Etudier un lien éventuel entre deux caractères d’une même population et, lorsqu’il est pertinent, de déterminer une équation de droite d’ajustement;

Représentations graphiques. TP n° 0 : Représentations graphiques. 25000 lancers

1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

0

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

10

15

20

25

30

35

11

Simulation PILE OU FACE 0.515 0.51 0.505 0.5 0.495 0.49 0.485 0.48 0.475 0.47 0.465

0.6 0.5 0.4 0.3 FACE 0.53

0.2 0.1

PILE 0.47

PILE 0.524

FACE 0.476

PILE 0.486

FACE 0.514

0

1

2

3

4

6

CD artisanalement piratés CD industriellement 1 5, 25%

1 3, 53%

5

71, 2% C D non pi tatés

7

8

100 s im ulations

250 s im ulations

1000 s im ulations

40

Boîte à moustaches. Une boîte à moustaches (ou boîte de distribution ou boîte à pattes) est une représentation graphique d’une variable numérique. Elle peut être considérée comme une vue aérienne des principales caractéristiques de la distribution d’un. ou de plusieurs échantillons. 90 Maximum

80 Troisième quartile  

70 Moyenne

60

59 Médiane

50

Le premier quartile  

40

Minimum

30 1

Exemple d’activité Comment sont calculer les quartiles? Un pépiniériste veut établir les prix de vente auprès d’une grande enseigne de jardinerie. Il constitue un échantillon de 40 arbuste de la même espèce. Le prix est fonction de la taille de l’arbuste. Il les range par taille croissante : 0,80; 0,80; 0,85; 0,85; 0,85; 0,90;0,90;0,95;1,00;1,00;1,05;1,05;1,10;1,15 1,15; 1,15; 1,20; 1,20; 1,20; 1,20;1,20;1,25; 1,25; 1,25; 1,25; 1,25; 1,25;1,30 1,30; 1,30 ; 1,35 ; 1,35 ; 1,35 ; 1,40 ; 1,40 ; 1,40 ; 1,40 ; 1,45; 1,45 ; 1,45 ; 1,50 1.Calculer l’étendue de la série (écart entre la + grande et la plus + arbuste) 2. Répartir la série en 4 groupes de même effectifs en suivant un ordre croissant. 3.Quelle est la valeur Q1 du 1er quartile (taille du plus grand arbuste du 1er groupe) ? 4.Quelle est le pourcentage d’arbustes mesurant moins que Q1 ? 5.Quelle est la valeur Q3 du 3ème quartile (taille du plus grand arbuste du 3 èmegroupe) ?

Boîte à moustaches et paramètres de position -La boîte à moustache utilisent principalement cinq valeurs : Q1 Q2 Q3 Max Min 1.80 1.75 1.70 1.65 1.60 1.55 1.50 1.45 1.40 1.35 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40

MAX

3ème quartile

médiane

moyenne

1er quartile

MIN

Bien que la distribution soit partagée en quatre zones de même effectif 1 les plages des valeurs des tailles ne sont pas égales.

Avec Sine qua non. -On considère une série de 9 valeurs : 1 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 9 , 10 , 15 Déterminer une valeur médiane, les valeurs des premier et troisième quartiles, et l'étendue de cette série statistique. Également la moyenne , l’écart type ….

avec Sine qua non y 6 5 4 3 2 1

-4.5 -3 -1.5 0 -1 -2

1.5 D1

3

4.5 6 7.5 Q1 Med

9 10.5 12 13.5 15 16.5 18 x Q3 D9

Sous Excel.

Poids

Parameters de positions et de dispersions

Q1

QUARTILE(taille;1)

Min

MIN (taille)

Médiane

MEDIANE (taille)

Moyenne

MOYENNE (taille)

Max

MAX(taille)

Q3

QUARTILE(taille;3)

Effet placebo Cinquante malades ayant tous des problèmes d’hypertension artérielle sont répartis en deux groupes. - Un groupe est traité avec un nouveau médicament sensé abaisser la tension - l’autre groupe est traité avec un produit placebo Les résultats après traitement sont dans le fichier (effet placebo.xls) 1) Le médicament administré au groupe 1 a-t-il eu un effet ? 2) Quel est le pourcentage de malades du groupe1 (resp groupe2) dont on est sûr que la tension est inférieur à 14 ? 3) Ce médicament est-il efficace ?

Comparer deux série statistiques . La répartition par sexe et par âge des salariés d’une entreprise est le suivant :

Ages

Homme

Femme

]20 ; 30 [

30

50

]30 ; 40[

70

80

]40 ; 50[

50

70

]50 ; 60[

10

40

Quels renseignements peut-on tirer de la comparaison de ces deux séries statistiques?

y

0

y

Homme

10

20

Femme

Pourcentage

40%

Pourcentage

60%

moyenne

37,5

moyenne

39,17

Ecat type

8,29

Ecat type

9,90

étendue

40

étendue

40

30 40 50 D1 Q1 Med Q3 D9

60

70

80

x 0

10

20

30 40 50 60 D1 Q1 Med Q3 D9

70

- Les hommes sont en moyenne plus jeunes que les femmes - Les âges des hommes sont plus resserrés autour de la moyenne - Les âges des femmes sont mieux réparties sur son étendue - La moyenne des âges des hommes est plus représentative que la moyenne des âges des femmes

80

x

TP n° 4 : Ajustement affine . Le tableau ci-dessous fournit, pour la France, la vitesse moyenne des véhicules légers, ainsi que le nombre de morts sur les routes (1986-2006)

Année

Vitesse moyenne des véhicules légers (km/h)

Nombre de morts

1998

88,7

8 437

1999

88,6

8 029

2000

90,1

7 643

2001

89,4

7 720

2002

89,2

7 242

2003

86,8

5 731

2004

84,5

5 593

2005

82,9

5 318

2006

82 4 703 (Source www.securiteroutiere.gouv.fr).

Résolution avec un tableur…. Les deux graphiques sont très semblables, avec une tendance générale à la baisse Ce qui conduit à l’idée d’une corrélation entre la vitesse et le nombre de morts

ajustement affine du nuage La droite indique la « tendance » du nuage : lorsque la vitesse augmente, le nombre de morts à tendance à augmenter.

y = 485.97x + 4283.1

Résolution avec Sine qua non Le nuage de points est ajusté par une droite de régression par la méthode des moindres carrés. Ceci n’est possible évidemment que si le tableau comporte au moins 2 points différents !

Résolution avec Sine qua non Avec Sine qua non, on peut faire afficher le point moyen y 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 x

Probabilité dans le nouveau programme.. seconde Introduire la notion des fluctuations d’échantillonnage par le biais de l’expérimentation (lancers de pièces, de dés, ou tirages dans une urne…), puis par simulation à l’aide du générateur de nombres aléatoires, d’un tableur … Première Reprendre et approfondir l’étude des fluctuations d’échantillonnage menée en seconde en quantifiant la variabilité et préparer le calcul des probabilités en ter. Terminale En terminale, la notion de probabilité est introduite en s’appuyant sur l’observation de la fluctuation d’échantillonnage d’une fréquence et sur la relative stabilité de cette fréquence lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois.

En 3ème DP6 B.O. 19 Avril 2007

Classe de seconde bac pro Fluctuations d’une fréquence selon les échantillons, notion de probabilité, approche fréquentiste des probabilités.

Classe de première bac pro Consolider et d’approfondir l’étude, initiée en seconde professionnelle, de la variabilité lors d’une prise d’échantillon, pour favoriser la prise de décision dans un conteste aléatoire.

Classe de terminale bac pro La notion de probabilité est introduite en s’appuyant sur l’observation de la fluctuation d’échantillonnage d’une fréquence Entrainer les élèves à décrire quelques expériences aléatoires simples , et à calculer des probabilités. Tout développement théorique est exclu.

Simulation d’une expérience aléatoire Comment simuler un lancer de pièce, un lancer de dé ??? La fonction ALEA() sur un tableur ou RND sur une calculatrice permettent de générer des nombres aléatoires (suivant la loi uniforme…) Attention, la fonction alea() est dite volatile ! Activer la touche F9 Sous Excel : menu Outils Options, dans l’onglet « calcul » cocher « sur ordre »

Simulation d’une expérience aléatoire Pour simuler un nombre aléatoire selon une loi uniforme - ALEA() (générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1) - ALEA() + 0.8 donne un nombre entre 0,8 et 1,8 - ENT(ALEA() + 0.8) donne

0 avec une fréquence de 20%

Pour simuler un lancer de pièce on peut utiliser ENT(ALEA()+0,5) On peut ensuite coder les 0 et les 1 par : SI((A1=1); "pile"; "face")

Simulation d’une expérience aléatoire Pour simuler un tirage de boules dans une urne, il suffit de connaître la proportion p des boules « rouges » =ENT(ALEA()+p) Urne

Simulation d’une expérience aléatoire Pour simuler un lancer de dé équilibrer, on utilisera la fonction : ENT(ALEA()*6)+1 qui retourne un entier (ici entre 1 et 6)

On peut aussi utiliser la fonction ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)) après avoir coché l’option « utilitaire d’analyse » dans le menu Outils puis Macro complémentaires…

TP n° 1 : LANCER D’UNE PIECE TP n° 1 : Fluctuation des fréquences Simulons 200 échantillons de taille 50 et remarquons qu’environ plus de 95% des fréquences observées se situent dans l’intervalle [ p −

1 n

,p+

1 n

]

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100

120

LANCER D’UNE PIECE TP n° 1 : stabilisation des fréquences Simulons trois échantillons de taille 100, 250 «et 1000 et remarquons la stabilisation des fréquences quand la taille de l’échantillon croît. Simulation PILE OU FACE 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

PILE 0.47

PILE 0.524 FACE 0.53

100 sim ulations

Exemple

FACE 0.476

250 sim ulations

http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node8.html#SECTION00031020000000000000

PILE 0.486

FACE 0.514

1000 sim ulations

Infographie On peut également visualiser sous forme d’histogramme ou BAM

0.5

0.50

0.50

0.45

0.45

0.45

0.40

0.40

0.35

0.35

0.30

0.30

0.25

0.25

0.20

0.20

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2

0.15

0.15

0.15

0.10

0.10

0.1

20

40

60

80

100

0.13

0.00

0.00 0

0.17

0.05

0.05

0.05

0.20

0

50

simuler avec la touche F9….

100

150

200

Tail e30

Répartition des fréquences Le programme suivant calcule 500 nombres selon une loi normale. Il simule aussi les répartitions dans les intervalles [m - s , m - s], [m - 2s , m - 2s] et [m - 3s , m - 3s].  

[m - s , m + s]

[m - 2s , m + 2s]

[m - 3s , m + 3s]

 

434

610

646

Simulation

66.26%

93.13%

98.63%

Théorie

68.27%

95.45%

99.73%

88.04707

0

1

1

89.23014

0

1

1

96.67043

1

1

1

100.7929

1

1

1

88.19658

0

1

1

93.56121

1

1

1

114.4339

0

1

1

100.3341

1

1

1

101.1911

1

1

1

simuler avec la touche F9….

Lancer d’un dé équilibrer TP n° 2 : Lancer d’un dé équilibrer Simulons 1000 échantillons de taille 25 et remarquons que les fréquences se stabilise et tendent une valeur limite 5000 lancers

•

0.2 0.15 0.1 0.05 0 1

2

3

4

5

6

Les élèves peuvent facilement manipuler un dé puis les résultats de l’ensemble seront Centralisés dans un tableau (rapidement on a une approche de la probabilité

Lancer d’un dé non équilibrer TP n° 3 : Lancer d’un dé non équilibrer Simulons un échantillons de taille 1000 et remarquons les fréquences se stabilisent

7 6

0.50

5 0.40

4 0.30

3 2

0.20

1

0.10

0 0

50

100

150

200

250

0.00 1

2

3

4

5

6

Jeu de Craps Le Craps est un jeu d’argent Américain qui se jeu avec deux dés à six faces Les paris portent sur les combinaisons successives obtenus avec la somme desle lanceur perd s’il fait un Craps. faces des deux dés. Au premier lancer, Un Craps désigne un total des points des 2 faces dont il n’existe qu’une Manière de les obtenir : 2(1 + 1) ou 3(2 + 1) ou 12(6 + 6) Peut-on prévoir que le plus difficile à obtenir est le 12 ? 25000 lancers 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

21

32

43

54

65

76

87

89

9 10

10 11

11 12

Le juge et statisticien

En Novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida était condamné à huit ans de prison. Il attaqua ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté était discriminante à l’égard des Américains d’origine mexicaine. Alors que 79,1% de la population de ce comté était d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoqués pour être jurés lors d’une certaine période de référence, il n’y eut que 339 personnes d’origine mexicaine. 1. Quelle est la fréquence des jurés d’origine mexicaine dans ce comté ? 2. Simuler sur un tableur un échantillons de taille n = 870 dans une population où la fréquence des habitants d’origine mexicaine est p = 0,791.

Le juge et le statisticien

339 = 0,39 La fréquence observée des jurés d’origine mexicaine est 870 On a [0,791 – 0,82]. 0.85

1  ; 870

0,791 +

1 870 ]

c’est-à-dire environ [0,76 ;

0.84 0.83 0.82 0.81 0.80 0.79 0.78 0.77 0.76 0.75 0.74 0.73 0.72 0.71 0.70 0

20

40

60

80

100

120

140

4 points sont en dehors de l’intervalle précédent, soit 4 % des cas. La fréquence observée 0,39 est très loin des valeurs obtenues sur les simulations.

Devenez sourcier, devenez savant

TP n° 7 : d’après G. Charpak et H. Broch Un sourcier prétend posséder des pouvoirs, lui permettant de détecter la présence d’eau à l’aide d’une baguette en bois. On met en place un dispositif permettant de tester les prétendus pouvoirs du sourcier. Cinq. canalisations sont masquées dont une seule contient (aléatoirement) de l’eau. Le sourcier doit désigner la canalisation contenant de l’eau. E répondant au hasard, Est-il rare, d’obtenir au moins 25% de bonnes réponses? Peut-on, d’obtenir 40% de bonnes réponses?

Si, oui, est-ce rare ?

Contrôle de fabrication

TP n° 4 : contrôle de fabrication Une usine de la région rouennaise fabrique des billes métalliques de diamètre nominal 0,8 cm . Une étude statistique sur un échantillon montre que les erreurs de diamètres ont une moyenne nulle et un écart 0,001 par rapport à cette moyenne. Lors du contrôle sont soumis à rebut toutes les billes qui passent dans une bague de diamètre 0,812 cm. Quelle est la probabilité qu'une bille prise au hasard soit rejetée ?

Contrôle de fabrication

TP n° 4 : contrôle de fabrication

0.100

Tailles

Pièces accéptées

Fréquences

0.080

100

3

0.030

500

15

0.030

1000

34

0.034

2000

81

0.041

3000

128

0.043

5000

211

0.042

10000

415

0.042

0.060 0.040 0.020 0.000 1

2

3

4

5

6

7

Feux de circulations TP n° 5 : Feu tricolore Un boulevard contient 10 intersections, dans chaque intersection se trouve un feu de circulation. Les habitants sont courtois, ils s'arrêtent lorsque le feu est jaune, comme s'il est rouge. Un ingénieur civil a évalué que lorsque un véhicule arrive à une Un ingénieur civil a évalué que lorsque un véhicule arrive à une intersection, la probabilité que le feu soit rouge est 1/3 et la probabilité que le feu soit vert est 2/3. Quelle est la probabilité qu'un véhicule s'arrête au 10ème feu ?

Réussir un concours par hasard TP n° 6 : Questions aux choix multiples (QCM) Un concours d'entrée dans une administration consiste à une série de 4 questions indépendantes comptant chacune pour le même nombre de points. A chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Quelle est ma chance de cocher plus de la moitié des questions si je répond au hasard ?

Notion de probabilité Définition Soit une expérience aléatoire et Ω l’univers associé. A chaque événement A, on fait correspondre un nombre réel P(A) appelé probabilité de A :

0 ≤ P( A) ≤ 1

P(φ ) = 0

P (Ω ) = 1

Pour deux événements quelconque : P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) Si deux événements sont incompatibles, alors :

P( A ∪ B) = P( A) + P( B)

Si deux événements sont indépendants :

P( A ∩ B) = P( A) × P( B)

La probabilité p(A) de l’événement A est donnée par la relation :

P( A) = Où card (A) est d’éléments de A

card ( A) card (Ω )

Au programme Connaissance

A∩ A = φ

A

et

A

et

A∪ A = Ω

Événements contraires

A∩ B = φ

A

et

B

Exemple

A∩ A

Tirer une carte rouge et noire

A∪ A Tirer une carte rouge ou noire

A∩ B

Tirer une carte noire et un cœur

sont incompatibles

A∪ B Tirer une carte noire ou un cœur

A∩ B = φ

A et B

A∩ B Tirer une carte noire et un pique

sont incompatibles

A∪ B Tirer une carte noire ou un pique

Calculs

P( A ∩ A) = P(φ ) = 0 P( A ∪ A) = P(Ω ) = 1 P( A ∩ B) = P(φ ) = 0 P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) 16 8 + −0 32 32

P( A ∩ B) = P( B) =

8 32

P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) 16 8 8 + − 32 32 32

Défauts d’un appareil TP probabilité

Exercice

3ème année

Un appareil peut-être défectueux à cause de deux, désignés par A et B. Dans un lot de 1000 appareils, on a constaté que : - 100 appareils présentaient le défaut A (peut-être le défaut B), - 80 appareils présentaient le défaut B (peut-être le défaut A) - 40 appareils présentaient simultanément les deux défauts A et B. Un client achète un des appareils produits. 1. Calculer la probabilité p A pour que cet appareil ne présente que le défaut A 2. Calculer la probabilité p B pour que cet appareil ne présente que le défaut B

Défauts d’un appareil réponse

B A

40

A

80 − 40 = 40

Total

80

Total

B 100 − 40 = 60 900 − 40 = 860 1000 − 80 = 920

100 1000 − 100 = 900 1000

Le nombre d’appareils ne présentant que le défaut A (case AB )

60 = 0,6 100 Le nombre d’appareils ne présentant que le défaut B (case AB) pA =

pB =

40 = 4% 1000

Naissances à pile ou face TP probabilité

Garçon ou fille ?

3ème année

Supposons que l'on a la même chance d'avoir garçon ou une fille. Quelle est la probabilité d'observer deux garçons dans une famille de quatre enfants ? Quelle est la probabilité d'observer trois garçons dans une famille de quatre enfants ? Voir simulation

Naissances à pile ou face G G G G

G G G G

G G G F

G G F G

G

G G F F

G

F

F F

F

G F

G

G F G G

F

G F F G

F G

G F G F

G F

G F F F

G

F G

F

F G G G

F G G F

F

F G F G

G F

F G F F

G

F F G G

P ( x = 2) = 6 × (0,5) 2 × (1 − 0,5) 2 = 0,375

F

F F G F

F G

F F F G

F

F F F F

Tableau de dénombrement Utiliser un tableau pour dénombrer les événements

Tableau de dénombrement réponse

Hommes Infirmiers libéraux Infirmiers hospitaliers

180 − 162 = 18

Femmes 180 ×

90 = 162 100

909 − 765 = 144 1030 − 265 = 765

Autres salariés

123 − 103 = 20

Total

1212 − 1030 = 182

Total

180 1212 ×

75 = 909 100

10 1030 × = 103 1212 − 1089 = 123 100

1030

1212

Loterie Parfois il est utile d’utiliser l’union des événements Dans un loterie de 1000 billets, un des billet gagne 500€, 10 billets 100 € Chacun, 50 billets 20€ chacun et 100 billets 5 € chacun. Tous les autres ne gagne rien. Si j’achète un billet quelle est la probabilité pour que je gagne au moins 20 € Soit A20 l’événement « gagner 20 euros » Soit A100 l’événement « gagner 100 euros » Soit A500 l’événement « gagner 500 euros » Soit A l’événement « gagner au moins 20 euros » Il est clair que A = A20 ∪ A100 ∪ A500 et que A = A20 ∩ A100 ∩ A500 D’où

P ( A) = P ( A20 ) + P ( A100 ) + P ( A500 ) =

50 10 1 + = 0,061 1000 1000 1000

Rater la cible Parfois il est utile d’utiliser l’événement contraire Une cible contient trois zones I, II et III.

La probabilité d’atteindre la zone I est 0,15, la probabilité d’atteindre la zone II est 0,23 la probabilité d’atteindre la zone III est 0,17 Calculer la probabilité de rater la cible

Rater la cible Soit A l’événement « coup la cible » Soit A l’événement « atteindre la cible »

Comme alors

A = AI ∪ AII ∪ AIII

et

AI ∩ AII ∩ AIII = φ

P( A) = P( AI ) + P( AII ) + P( AIII ) P( A) = 0,15 + 0,23 + 0,17 = 0,55

Or d’où

P( A) = 1 − P( A)

P( A) = 1 − 0,55 = 0,45

Tableau ou arbre Un sondage est effectué dans une entreprise comprenant 20% de cadres et 80% d’employés. On sait que 40% des cadres et 15 % des employés parlent anglais On choisi au hasard une personne de l’entreprise. On appelle : C : l’événement « être cadre » E : l’événement « être employé » A : l’événement « parler anglais » - Faire un arbre pondéré(ou un tableau) représentant cette situation - Calculer la probabilité des événements : A∩ C A∩ E - En déduire la probabilité de l’événement A

Hors programme Connaissance

Exemple Tirages successifs avec remise

A A

et

B sont indépendants

et

B sont dépendants

Calculs

A∩ B

P( A ∩ B) = P( A) × P( B) 16 16 × 32 32

Tirer une carte rouge puis une carte noire

Tirages successifs sans remise

A∩ B

P( A ∩ B) = P( A) × P( B) 16 16 × 32 31

Tirer une carte rouge puis une carte noire

Formule de combinaison

Cnk =

n! k!× (n − k )!

Sous ensembles non ordonnés de trois cartes

Formule d’arrangement

n! Ank = (n − k )!

Sous ensembles ordonnés de trois cartes

C323 =

A323 =

32! = 4960 3!× (32 − 3)! 32! = 29760 (32 − 3)!

EXEMPLE ÉVALUATION METTANT EN ŒUVRE LES TIC Surréservation. Niveau : seconde professionnelle. Thématique : jouer avec le hasard (vie sociale et loisirs). Deux énoncés sont proposés. - Dans le premier, l’élève est guidé dans la démarche de résolution

- Dans le second il peut faire preuve de son autonomie et de sa prise d’initiative dans la résolution d’un problème.

EXEMPLE ÉVALUATION METTANT EN ŒUVRE LES TIC Énoncé 1 Une compagnie aérienne dispose d’un avion de 100 places et vend (possède 107 options d’chat) 07 réservations. L’objectif est d’évaluer la probabilité de surréservation de cette compagnie, autrement dit le risque que plus de 100 passagers se présentent à l’embarquement. On suppose que toute personne réservant une place dans un avion a une chance sur 10 de ne pas se présenter à l’embarquement. Réaliser une simulation du nombre de 100 places pour 107 réservations, sur un échantillon aléatoire à l’aide d’un tableur. Pour cela, dans une feuille de calcul du tableur : 1. saisir « =ENT(ALEA()+0,9) » dans la cellule A1 et recopier cette formule jusqu’en DC1 pour obtenir 107 réalisations saisir « =SOMME(A1:DC1) » dans la cellule DD1. Appel n° 1 

EXEMPLE ÉVALUATION METTANT EN ŒUVRE LES TIC 2. Réaliser une simulation du nombre de personnes se présentant à l’embarquement de 1 000 vols de 100 places pour 107 réservations à chaque vol Appel n° 2  3. Déterminer, pour cette simulation de 1 000 vols, la proportion des cas où l’effectif des passagers à l’embarquement est supérieur à 100. Pour cela : - dans une cellule de votre choix, saisir « =NB.SI(DD1:DD1000;">100") », - dans une cellule de votre choix, en déduire la fréquence demandée. Appel n° 3  a) En utilisant la touche F9, réaliser plusieurs simulations, puis évaluer la b) Évaluer, en pourcentage, le risque de surréservation pour la compagnie aérien Appel n° 4 

EXEMPLE ÉVALUATION METTANT EN ŒUVRE LES TIC Énoncé 2 On suppose qu’une personne réservant une place d’avion a une chance sur 10 de ne pas se présenter à l’embarquement. Une compagnie dispose d’un avion de 100 places et vend 107 réservations. Le but de l’exercice est d’évaluer la probabilité de surréservation. 1. Sur un tableur, réaliser une simulation du nombre de personnes se présentant à l’embarquement lorsqu’il y a 107 réservations. 2. Sur un tableur, réaliser une simulation sur un échantillon de taille 1 000 de l’expérience aléatoire précédente et déterminer, pour cette simulation, la fréquence des cas où plus de 100 personnes se présentent à l’embarquement. On pourra utiliser la formule =NB.SI(plage). 3. À l’aide des simulations réalisées, est-il possible d’évaluer le risque de surréservation que prend la compagnie ? On peut utiliser la touche F9.

Compétences évaluées L’élève est capable, en tirant profit des aides éventuelles, de réaliser la simulation de la question 1. L’élève comprend le sens de l’affichage 1 ou 0 de l’instruction =ENT(ALEA()+0,9) et ne confond pas le rôle des valeurs 100 et 107 L’élève est capable, en tirant profit des aides éventuelles, de réaliser la simulation d’un échantillon de taille 1 000. L’élève prend l’initiative de compter les sommes strictement supérieures à 100. L’élève connaît la différence de sens entre effectif et fréquence. L’élève comprend le sens de la question 3. L’élève identifie la probabilité comme l’invariant autour duquel fluctuent les fréquences observées. L’élève donne une estimation convenable du risque de surréservation. L’élève tire profit des indications éventuellement données à l’oral ; ces indications peuvent être des aides logicielles nécessaires pour réaliser ce qu’il a prévu.

Éléments permettant de situer l’élève

Remarques En seconde et première professionnelle - Pas de théorie - Les élèves doivent manipuler, observer, expliquer, déduire, utiliser ou construire des fichiers pour augmenter le nombre d’expériences… En troisième année professionnelle - Les probabilités sont traitées de façon assez classique… en s’appuyant sur des représentations graphiques pertinentes (arbres, tableaux, diagrammes)…

Un peu de vocabulaire Expérience aléatoire Une expérience est dite aléatoire si les résultats sont dus au hasard uniquement Exemple : jeter un dé, prélever une pièce dans une production … Univers l’univers ou l’inventaire, des possibles, est l’ensemble des résultats ou événements élémentaires pour une expérience aléatoire. On le note Ω Exemple : Pour le jeu de dés. l’univers est Ω = {1, 2, 3…6} Pour le tirage de cartes, l’univers est l’ensemble des 32 cartes. Evénements Un événement A est une partie de l’ensemble des événements élémentaires. Exemple :Pour le jeu de dés. L’événement A « obtenir un chiffre pair » A = {2 ; 4 ; 6} Evénement certain : événement toujours réalisé Exemple : « Obtenir pile ou face » est un événement certain

Evénement impossible : événement jamais réalisé Exemple : « Tirer une carte qui soit à la fois trèfle et carreau » Evénements incompatibles : événements qui ne peuvent se réaliser simultanément Evénements contraires : A et A A ∪ A = Ω

A∩ A = φ

Exemple : « Obtenir au jeu de dés un chiffre pair » est l’événement contraire de l’événement « obtenir un chiffre impair » Réunion de deux événements : A ∪ B est réalisé si l’un au moins des deux événements est réalisé. Exemple : « Tirer une noire ou pique » est la réunion des événements A = «tirer une carte noire  » et B = «tirer un pique  » Intersection de deux événement : A ∩ B événement est réalisé si les événements Exemple : « être cadre et parler anglais couramment» Evénements indépendants : quand l’issue de l’un ne dépend pas de l’issue de l’autre

Variable aléatoire Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur l’univers d’une expérience

Ω = (e1; ....; en } aléatoire à valeurs réels :

X : Ω = (e1; ....; en } → IR Notons( x1;....xn } les valeurs prises par X. L’événement « X prend la valeur x » est noté par X = xi avec P ( X = xi ) = pi i

L’ensemble des couple ( xi ; pi ) est par définition la loi de probabilité de X Dans le cas discret, on peut la présenter sous forme d’un tableau

Exemple de variable aléatoire On lance en l’air, trois fois de suite, une pièce de monnaie dont les faces sont P et F. La pièce est supposée équilibrée. Après chaque lancer, on gagne 10 € si on obtient P et on perd 5 € sinon.

Ω = { PPP; PPF ; PFP; FPP; FPF ; FFP; PFF ; FFF }

X : Ω → {− 15;0;15;30} ω → X (ω )

X (ω ) désigne le gain possible à la fin des trois lancers. sorties (ω i ) PPP PPF

PFP

FPP

FPF

FFP

PFF

FFF

0

0

-15

3 8

3 8

1 8

gains ( xi )

30

15

15

15

0

probabilité s (p )

1 8

3 8

3 8

3 8

3 8

i

Paramètres d’une variable aléatoire Espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète :

E( X ) =

∑

xi pi = 30 ×

∑

xi pi =

i

E( X ) =

i

1 3 3 3 3 1 + 15 × + 15 × + 15 × + 3 × 0 × − 15 × 8 8 8 8 8 8

150 = 18,75 8

Variance :

σ ²=

∑

( xi − E ( X ))² P( X = xi )

i

1 1 1 σ ² = (30 − 18,17)² + 3 × (15 − 18,17)² + 3 × 3 × (− 18,17)² = 416,6 8 8 8 Ecart type :

σ = 416,6 = 20,4

Loi normale La loi normale est caractérisée par sa densité de probabilité qui peut s’écrire de la forme : ( x − m )² − 1 f ( x) = e 2σ ² σ 2π 0.014

1

0.012

σ

0.01

2π

0.008 0.006 0.004 0.002 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

La courbe de la loi normale a la forme d’une cloche symétrique.

∑ a P( X = a ) = m σ ² = ∑ (a − m)² P( X = x )

E( X ) =

i

i

i

i

i

i

E ( X ) = ∫ XdP Ω σ ² = ∫ ( x − m)²dP

Fonction de répartition d’une loi normale La fonction de répartition d’une loi normale de moyenne et d’écart-type est donnée par : x ( t − m )²

1 F ( x) = σ 2π

∫e

−

2σ ²

dt

−∞

F est une fonction croissante y

F (− ∞ ) = 0

F (+ ∞ ) = 1

0.36 0.32 0.28

F (x)

0.9750021

0.24

0.2 0.16 0.12 0.08 0.04

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-0.04

Exemple :

1

x

2

3

4

5

6

7

8

x

-0.08

avec un tableur F (1,96) = LOI.NORMALE(1,96;0;1;VRAI) = 0,9750021

Fonction de répartition d’une loi normale

=

F (− x) y

F (− x)

1 − F ( x) y

0.36

1 − F ( x)

0. 36 0.32 0. 32 0.28 0. 28 0.24 0. 24 0.2 0 .2 0.16 0. 16 0.12 0. 12 0.08 0. 08 0.04 0. 04

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x -8

- 0.04

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

- 0. 04 - 0.08 - 0. 08

F ( x) − F (− x)

F (x) y

0.36

0.36

0.36

0.32

0.32

0.32

0.28

0.28

0.28

0.24

0.24

=

0.2 0.16 0.12 0.08

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

0.16 0.12

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

y

_

0.2

0.04

-8

F (− x)

y

0.24 0.2 0.16 0.12

0.08

0.08

0.04

0.04

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-0.04

-0.04

-0.04

-0.08

-0.08

-0.08

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Fonction de répartition d’une loi normale Calcul de

P(− x ≤ X ≤ x) P(− x ≤ X ≤ x) = F ( x) − F (− x)

D’après ce qui précède :

Par exemple, déterminerx pour que :

P (− x ≤ X ≤ x) = 95%

y 0.36 0.32 0.28

0,95

0.24 0.2 0.16 0.12

?

0.08

?

0.04

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-0.04

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Fonction de répartition d’une loi normale P (− x ≤ X ≤ x) = F ( x ) − [1 − F ( x)] = 2 F ( x) − 1 On a vu que F (1,96) = 0,9750 , donc :

P (− 1,96 ≤ X ≤ 1,96) = 2 F (1,96) − 1 P (− 1,96 ≤ X ≤ 1,96) = 2 × 0,9750 = 0,95 On démontre aussi que :

P (− 1,645 ≤ X ≤ 1,645) = 0,90 et que :

P (− 2,575 ≤ X ≤ 2,575) = 0,99

Exemple d’application de la loi normale La quantité de lait produite quotidiennement par une vache est une variable aléatoire normale de moyenne 36 litres et d'écart-type 5 litres. D'après les statistiques 5% des vaches normandes produisent moins que la normale et 5% plus que la normale. A partir de quelles productions journalières peut-on dire qu'une vache normande est une mauvaise laitière ou excellente productrice ?

y 0 .0 72 0 .0 64 0 .0 56

B

0 .0 48 0. 04 0 .0 32

A

C

0 .0 24 0 .0 16 0 .0 08

-4

1

6

11

16

21

x1 26

31

0 36

41

-0 .0 08 -0 .0 16

x2 46

51

56

61

Résoudre ce problème revient à trouver deux valeurs

66

71

76

x

x1 et x2 telle que :

- 5 % des vaches ont une production à inférieure à x1 - 5 % des vaches ont une production supérieur à x 2 On définit ainsi trois catégories A, B et C de vaches : - A : Les mauvaise productrice :

P ( X ≤ x1 ) = 0,05

- B : Les vaches qui produisent normalement : P( x1 ≤ X ≤ x2 ) = 0,90 - C : Les excellentes productrice : P ( X ≥ x2 ) = 0,05

Cherchons

x1

P ( X ≤ x1 ) = 0,05 x1 = LOI .NORMALE.INVERSE. (0,05;36;5) = 27,7775 Ainsi :

x1 = 27,7775

x1 + x 2 ) = 36 Comme x1 et x2 Sont symétriques par rapport à m = 36 ( 2

x2 = 36 × 2 − 27,7775 = 44,22 Finalement - Si la production est inférieur à 27.7 litres par jours la vache est une mauvaises laitière. - Si la production est supérieur à 44,22 litres par jours la vache est une d'excellente productrice.

Loi binomiale - n est un entier naturel

≥ 1 et 0 ≤ p ≤ 1

- La loi binomiale de paramètres n et p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui prend les valeurs 0;1;2...; n avec la probabilité :

P( X = k ) = C nk p k q n − k

où q = 1 − p

P( X = k ) représente la probabilité d’obtenir k succès quand on effectue n épreuves répétées indépendantes On a bien

∑

P( X = k ) =

∑

-

C nk p k q n − k = ∑ ( p + q) n = 1

Cette loi est notée B(n, p) (par exemple un tirage avec remise ou non exhaustif)

Conditions Trois conditions doivent donc être vérifiées pour utiliser une loi binomiale : répétition, indépendance et alternance On peut représenter la situation par un arbre pondéré à n niveau : q

p p

n=3

p

q

p

q

p

q

3

2

2

1

3

2

2

p

p q

p q

pq

p

2 2

2

p q

q

q

p

1

pq

1 pq 2

2

xi

0

1

2

3

pi

q3

3pq2

3p2q

p3

q

0

q3

Ici, n=3, donc :

P( x = 0) = C p = p 0 n

3

P( x = 1) = C n1 p 2 q = 3 p 2 q

3

P( x = 3) = C n3 q 3 = q 3

P( x = 2) = C pq ² = 3 pq ² 2 n

Espérance mathématique pour une loi binomiale : E ( x) = n × p (Résultat intuitif, on répète n épreuves avec à chaque fois la probabilité p d’avoir un succès, le nombre moyen de succès est n p)

Variance et écart-type :

V ( x) = n × p × q

∑

kP( X = k ) =

n. p.q

n! C = k!.(n − k )!

P( X = k ) = C nk p k q n − k E( X ) =

σ ( x) = k n

∑

k .C nk p k q n − k

Exemple d’application On tire 7 fois une carte avec remise dans un jeu de 32 cartes. La variable aléatoire X qui compte le nombre de cœurs obtenus suit 1 B ( 7 ; ) La loi binomiale 4 : : Quelle est la probabilité d’obtenir 3 cœurs Question

Réponse : P(X=3) =

4 3  1  3 3 C7  4   4   0.17    

En moyenne, on obtient 1.75 cœur

Approximation d’une loi binomiale par une loi normale D’après le théorème de Moivre-Laplace : On peut approximer une loi binomiale par une loi normale dès que n est assez grand On donne en général comme conditions d’approximations :

n  30 , n × p  5 et n × (1 − p)  5 Exemple : On lance 50 fois une pièce de monnaie équilibrée (n = 50 et p = 0,5). X est la variable aléatoire qui compte le nombre de « face » obtenu. X suit la loi binomiale B(50;0,5), approchée par la loi normale N (np; npq ) = N (25;3,54)

Approximation d’une loi binomiale par une loi normale

n = 10 et p =0,1 4 5 .0%

n= 10 et p =0,4

n = 10 et p =0,5

30.0%

30.0%

25.0%

25.0%

n = 10 et p =0,9 45.0%

40.0%

4 0.0%

35.0%

3 5 .0%

3 0.0%

20.0%

20.0%

15.0%

15.0%

30.0%

25.0%

2 5 .0%

20.0% 2 0.0%

10.0%

1 5 .0%

15.0%

10.0%

10.0% 1 0.0%

5.0%

5.0% 5.0%

5 .0%

0.0% 0.0% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

13

14

15

0.0%

0.0%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37

1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

11

Fluctuation des fréquences On effectue n épreuves répétées indépendantes, avec deux issues possibles à chaque épreuve. On note p est la probabilité du succès à une épreuve. Par exemple, on effectue n tirages au hasard et avec remise dans une urne contenant des boules noires et des boules blanches et on compte les boules noires tirées p est la proportion de boules noires dans l’urne, la variable aléatoire S qui compte les succès (nombre de boules noires tirées) suit la loi binomiale B(n, p), qu’on approxime (pour n assez grand) par la loi normale N (np; npq ) Pour pouvoir comparer des tirages dont les nombres d’épreuves sont différents (ou des échantillons de tailles différentes), on considère la variable aléatoire

Y=

1 S n

qui mesure la fréquence des succès des tirages

Fluctuation des fréquences C’est la loi de probabilité de cette variable aléatoire qui mesure les fluctuations d’échantillonnage des fréquences sur les échantillons de taille n D’après l’approximation précédente, Y suit alors la loi normale :

1 1 E (Y ) = E ( S ) = × np = p n n

σ (Y ) =

1 1 σ ( S ) = × npq = n n

pq n

y 0.36 0.32

On démontre (loi normale) :

0.28

0,95

0.24 0.2 0.16 0.12

0,95 = P( p − 1,96σ ≤ Y ≤ p + 1,96σ )

0.08 0.04

-8

On majore par 2 :

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1,96

0

-0.04 -0.08

0,95 ≤ P( p − 2σ ≤ Y ≤ p + 2σ )

1

2

1,96

3

4

5

6

7

8

x

Fluctuation des fréquences p(1 − p) n

On remplace σ par

pq pq 0,95 ≤ P( p − 2 ≤ Y ≤ p+ 2 ) n n 1 Comme la fonction f ( x) = x(1 − x) est bornée sur [0 ; 1] par 4 0,25

y

0.2

0.1

1 alors pq ≤ d’où 4

0

pq ≤

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 x

1 1 1 0 , 95 ≤ P ( p − ≤ Y ≤ p + ) , par suite : 2 n n

environ plus de 95 % des tirages fournissent une fréquence de succès dans l’intervalle

I = [p −

1 n

;p+

1 n

]

Stabilisation des fréquences Voici une version de la loi faible des grands nombre : Pour tout entier n >0 et pour tout réel t >0 P ( Y − p  t

p(1 − p) 1 )≤ n t²

Ce théorème indique que la variable aléatoire Y qui mesure la fréquence d’apparition d’un événement A de probabilité p prend une valeur extérieur à l’intervalle [p − t

p (1 − p ) p (1 − p ) ); p + t ] n n

Avec une probabilité inférieur à

1 t²

Ce qui justifie la définition fréquentiste de la probabilité d’un événement comme étant une valeur autour de laquelle la fréquence d’apparition de cet événement se stabilise . lorsque t devient assez grand.

Stabilisation des fréquences Cette loi est d’une grande importance théorique, mais elle produit numériquement un résultat qui semble faible. Par exemple pour t = 1,96, la probabilité pour Y soit dans l’intervalle est supérieure à 0.74 En effet, d’après la loi faible des grands nombre :

p(1 − p) P( Y − p  1,96 ) ≤ 0,26 n p(1 − p) p(1 − p ) P( Y − p ≤ 1,96 ) = 1 − P( Y − p  1,96 ) n n p(1 − p) p (1 − p ) P( p − 1,96 ≤ Y ≤ p + 1,96 ) ≥ 0,74 n n . On est très loin de 95%