Skript §12

Geometrie

Oberstufe

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§12. Winkel 1. Wiederholung   Der Zwischenwinkel  zweier Vektoren a und b errechnet sich nach der Formel:    ab  cos   mit a = | a | und b = | b | (vgl. §05) a b Setzt man die Richtungsvektoren zweier Geraden in diese Formel ein, so erhält man den Schnittwinkel der beiden Geraden. Dabei ist zu beachten, dass mn immer denjenigen Winkel verwendet der zwischen 0° und 90° liegt, also für den der cos größer oder gleich Null ist: cos  

u1 u 2 u1  u 2

mit u1 = | u1 | und u2 = | u 2 |

Mit der NF einer Ebene können nun auch Zwischenwinkel zweier Ebenen oder einer Ebene/Gerade bestimmt werden. 2. Winkel zwischen zwei Ebenen E und F    E: n1  (x  a )  0 (NF)    F: n 2  (x  b)  0 (NF) Der Zwischenwinkel von E und F ist so groß wie der Zwischenwinkel der beiden Normalen  vektoren n1 und n 2 Also setzt man diese in die Formel ein und erhält für den Zwischenwinkel  zweier Ebenen: cos  

n1 n 2 n1  n 2

  mit n1 = | n1 | und n2 = | n 2 |

3. Winkel zwischen einer Gerade g und einer Ebene E    E: n  (x  a )  0 (NF)    g: x  a  u  Verwendet man den Normalenvektor n der Ebene und  den Richtungsvektor u der Gerade, so stellt man fest dass der Winkel * zwischen diesen n i c h t der Winkel zwischen Ebene und Gerade ist. Der gesuchte Winkel  und * ergänzen sich jedoch zu 90°. Also gilt: * = 90°–. Außerdem ist cos * = cos(90°–) = sin  und man kann somit den Winkel  zwischen Gerade und Ebene mit folgender Formel bestim– men: sin  

n u nu

© H. Drothler 2012

  mit n = | n | und u = | u |

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