Soient k et l deux nombres entiers premiers entre eux tels que 1 l k

Soient k et l deux nombres entiers premiers entre eux tels que 1 l k, {l + km} la progression arithmétique de premier élément l et de raison k et n un nombre entier plus grand ou égal à 2. Le travail présenté dans cette thèse porte principalement sur l’étude des fonctions arithmétiques suivantes : k,l(n) = somme des diviseurs de n dans la progression arithmétique {l + km} . k,l(n) = somme des diviseurs unitaires dans la progression arithmétique {l + km} . On rappelle qu’un diviseur d de n est dit unitaire s’il est premier avec n/d. k,l(n)/k,l(n) = quotient de k,l(n) et

k,l(n).

dk,l(n) = nombre des diviseurs de n dans la progression arithmétique {l + km} . Il s’agit d’étudier le comportement relatif des grandes valeurs de ces fonctions et leurs ordres maximaux qui seraient d'éterminés de fa¸con explicite. Les résultats obtenus généralisent et précisent les travaux, publiés en 1983, 1984 et 1987, par J. -L. Nicolas et G. Robin qui s’ajoutaient à une suite de contributions de S. Ramanujan, P. Erd¨os et L. Alaoglu. Suivant l’idée de S. Ramanujan, ces fonctions atteignent leurs grandes valeurs sur des suites de nombres entiers particuliers dont la structure est fondamentale dans les méthodes utilisées. Le comportement des grandes valeurs des fonctions k,l(n) et k,l(n) est lié à la répartition des nombres premiers dans les progressions arithmétiques et `a la position des zéros complexes des fonctions L de Dirichlet. Cela nous a conduit à établir une méthode de calcul de ces fonctions et de leurs premiers zéros complexes. Cette méthode est inspirée de celle de D. Davies et C. B. Haselgrove en 1961. La dernière partie de cette thèse est consacrée `a la fonction (x) qui, pour un nombre réel x 0, compte le nombre d’entiers positifs n tels que ' (n) x o`u ' est l’indicateur d’Euler. Pour cette fonction, on a établi une évaluation effective comparable `a celle obtenue par A. Smati en 1992.